Conjectura lui Kepler

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În matematică , conjectura lui Kepler este o presupunere referitoare la împachetarea sferelor în spațiul euclidian tridimensional. Se afirmă că nu există nicio modalitate de a aranja sferele în spațiu cu o densitate medie mai mare decât cea a ambalajului cubic centrat pe față sau a ambalajului hexagonal. Densitatea acestor două modalități de aranjare a bilelor este puțin mai mare de 74%.

În 1998 Thomas Hales , în prezent profesor la Universitatea din Pittsburgh , a anunțat că are dovada conjecturii lui Kepler. Dovada sa se face prin epuizare și implică verificarea multor cazuri individuale prin calcule computerizate complexe. Arbitrii , după ce au citit articolul, au anunțat că sunt „99%” siguri de corectitudinea dovezilor lui Hales. Dovada formală a conjecturii lui Kepler a fost finalizată și verificată în 2014 [1] .

Problema

Un exemplu de ambalare cubică: 35 de sfere formează un tetraedru.
Două moduri de a suprapune trei straturi de sfere.

Imaginați-vă că umpleți un recipient cu sfere mici, toate de aceeași dimensiune. Densitatea ambalajului este procentul din volumul containerului care este ocupat de sfere. Pentru a maximiza numărul de sfere din container este necesar să se găsească o modalitate de a aranja sferele care posedă densitatea maximă, astfel încât sferele să fie împachetate cât mai aproape unele de altele.

Prin teste experimentale s-a văzut că, dacă sferele sunt aruncate aleatoriu în interiorul containerului, se obține o densitate de aproximativ 65%. Cu toate acestea, o densitate mai mare poate fi atinsă încercând să aranjăm sferele cu precizie după cum urmează. Începe cu un strat de sfere dispuse în funcție de o grilă hexagonală, apoi un nou strat de sfere este plasat în cele mai joase puncte care pot fi găsite deasupra primului strat și așa mai departe. Această metodă naturală de stivuire a bilelor creează unul dintre cele două ambalaje similare numite ambalaje cubice și ambalaje hexagonale. Aceste două metode au ambele o densitate medie egală cu

Conjectura lui Kepler afirmă că nu se poate face mai bine: nici un alt pachet de sfere nu poate avea o densitate mai mare.

Origini

Conjectura își ia numele de la Giovanni Kepler , care a enunțat-o în 1611 în Strena seu de nive sexangula ( Pe fulgul de zăpadă cu șase colțuri ). Kepler a început studierea aranjamentelor sferice în urma unui schimb de corespondență cu matematicianul și astronomul englez Thomas Harriot în 1606 . Harriot a fost prieten și asistent al lui Walter Raleigh , care i-a atribuit lui Harriot problema stabilirii celui mai bun mod de a aranja ghiulele pe punțile navelor sale. Harriot a publicat un studiu al diferitelor metode de ambalare în 1591 și mai târziu și-a continuat studiile încercând să dezvolte una dintre cele mai vechi teorii atomice .

Secol al XIX-lea

Kepler nu avea o dovadă a conjecturii, iar următorul pas în drumul spre dovadă a fost făcut de matematicianul german Carl Friedrich Gauss , care a publicat o soluție parțială în 1831 . Gauss a demonstrat că conjectura lui Kepler este adevărată dacă sferele urmează a fi aranjate conform unei rețele regulate. Aceasta însemna că orice configurație a sferelor care oferea un contraexemplu conjecturii lui Kepler ar trebui să fie neregulată. Însă eliminarea tuturor ambalajelor neregulate posibile este foarte dificilă și de aceea presupunerea este atât de dificil de dovedit.

Într-adevăr, există ambalaje neregulate care sunt mai dense decât cubul într-un volum suficient de mic, dar orice încercare de a le extinde la volume mai mari reduce întotdeauna densitatea lor. După Gauss, în secolul al XIX-lea nu s-au mai făcut progrese în dovedirea conjecturii lui Kepler. În 1900 David Hilbert a inclus-o în lista sa cu douăzeci și trei de probleme nerezolvate în matematică , cunoscute sub numele de problemele lui Hilbert : face parte din problema a optsprezecea.

Secolul douăzeci

Următorul pas către o soluție a fost făcut de matematicianul maghiar László Fejes Tóth . În 1953, Fejes Tóth a arătat că problema determinării densității maxime a tuturor aranjamentelor sferelor, regulate și neregulate, ar putea fi redusă la un număr finit , deși foarte mare, de calcule. Aceasta însemna că era posibil, cel puțin în principiu, să găsim o dovadă prin epuizare. Un computer suficient de puternic ar fi putut oferi o abordare practică pentru rezolvarea problemei. Între timp, s-a încercat găsirea unei extreme superioare pentru densitatea maximă a oricărui pachet de sfere. Matematicianul britanic Claude Ambrose Rogers a stabilit o limită superioară de aproximativ 78% în 1958 , iar încercările ulterioare ale altor matematicieni au redus ușor această valoare, care era încă mult mai mare decât densitatea ambalajului cubic, care este de 74%.

Au fost produse și dovezi incorecte. Arhitectul și topograful american Richard Buckminster Fuller a susținut că are o dovadă în 1975 , dar s-a descoperit curând că este incorectă. În 1993, Wu-Yi-Hsiang , de la Universitatea din California, Berkeley a publicat un articol în care susținea că a dovedit conjectura lui Kepler folosind metode geometrice. Unii experți au susținut că nu au găsit suficiente motive pentru unele dintre afirmațiile sale. Deși nu s-a găsit nimic greșit în lucrarea lui Hsiang, majoritatea matematicienilor au fost de acord că dovada lui Hsiang era incompletă. Unul dintre cei mai activi critici a fost Thomas Hales, care lucra la demonstrația sa la acea vreme.

Dovada lui Hales

În urma abordării sugerate de László Fejes Tóth, Thomas Callister Hales , la momentul respectiv la Universitatea din Michigan , a stabilit că densitatea maximă a tuturor ambalajelor ar putea fi găsită prin reducerea la minimum a unei funcții de 150 de variabile. În 1992 , asistat de doctorandul său Samuel Ferguson, a început un program de cercetare pentru a aplica sistematic metodele de programare liniară în căutarea unei limite inferioare pentru valoarea acestei funcții în raport cu un set de peste 5000 de configurații diferite de sfere. Dacă, pentru fiecare dintre aceste configurații, ar fi putut găsi o limită inferioară mai mare decât valoarea pentru ambalarea cubică, atunci conjectura lui Kepler ar fi fost dovedită. Căutarea tuturor acestor limitări mai mici ar fi necesitat soluționarea a aproximativ 100.000 de probleme de programare liniară.

Când a prezentat progresul proiectului său în 1996 , Hales a spus că se apropie de sfârșit, dar că va mai avea nevoie de „un an sau doi”. În august 1998, Hales a anunțat că dovada era completă. La acea vreme, acesta consta din 250 de pagini de adnotări și 3 gigaocteți de programe de calculator, date și rezultate. În ciuda naturii neobișnuite a dovezii, redactorii Analelor de matematică au fost de acord să o publice, atâta timp cât a fost acceptată de un grup de doisprezece arbitri . În 2003 , după patru ani de muncă, șeful comisiei, Gábor Fejes Tóth (fiul lui László Fejes Tóth), a anunțat că comisia este „99% sigură” de corectitudinea dovezilor propuse de Hales, dar nu a putut garanta corectitudinea tuturor calculelor computerizate.

În februarie 2003, Hales a publicat un articol de o sută de pagini care detaliază partea ne-computerizată a demonstrației sale. Analele matematicii continuă să publice partea teoretică a dovezii Hales. Partea de calcul va fi publicată într-un jurnal diferit, Discrete and Computational Geometry .

O demonstrație formală

În ianuarie 2003, Hales a anunțat începerea unui proiect de colaborare menit să producă o dovadă formală completă a conjecturii lui Kepler. Scopul este de a elimina orice incertitudine rămasă cu privire la validitatea dovezii prin crearea unei dovezi formale care poate fi verificată prin programe automate de control al probelor, cum ar fi testarea teoremei HOL . Acest proiect se numește Project FlysPecK , unde literele F, P și K sunt inițialele cuvintelor care alcătuiesc propoziția Dovada formală a lui Kepler . Hales a estimat inițial că ar fi nevoie de aproximativ 20 de ani de muncă pentru a produce o demonstrație formală completă, în timp ce proiectul Flyspeck s-a încheiat oficial în august 2014.

Notă

  1. ^ (RO) Anunț de finalizare , pe code.google.com.

Bibliografie

linkuri externe

Controlul autorității LCCN (EN) sh2001008320 · GND (DE) 4786453-9 · BNF (FR) cb13547655w (data)
Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Congettura_di_Keplero&oldid=120288435 ”