Trigonometrie

Funcțiile trigonometrice reprezentate grafic

Trigonometria (din grecescul trígonon (τρίγωνον, triunghi ) și métron (μέτρον, măsură): rezoluția triunghiului) este partea matematicii care studiază triunghiurile pornind de la unghiurile lor. Sarcina principală a trigonometriei, așa cum arată etimologia numelui, constă în calcularea măsurilor care caracterizează elementele unui triunghi ( laturi , unghiuri , mediane etc.) pornind de la alte măsuri deja cunoscute (cel puțin trei, dintre care la cel puțin o lungime), prin intermediul funcțiilor speciale.

Această sarcină este denumită rezolvarea triunghiului . De asemenea, este posibil să se utilizeze calcule trigonometrice în rezolvarea problemelor legate de figuri geometrice mai complexe, cum ar fi poligoane sau figuri geometrice solide, și în multe alte ramuri ale matematicii.

Funcțiile trigonometrice (dintre care cele mai importante sunt sinusul și cosinusul ), introduse în acest domeniu, sunt de asemenea utilizate independent de geometrie , apărând și în alte domenii ale matematicii și aplicațiilor sale, de exemplu în legătură cu funcția exponențială sau cu operații vectoriale .

Originile

Același subiect în detaliu:Istoria funcțiilor trigonometrice .

Timp de multe secole, trigonometria și-a datorat progresul aproape exclusiv muncii marilor astronomi și geografi. De fapt, fundamentul acestei științe se datorează lui Hipparh din Niceea și lui Claudius Ptolemeu , atât mai mulți astronomi, cât și geografi decât matematicieni . Contribuții semnificative au fost aduse la această știință de către arabi, de francezul Levi ben Gershon și, ulterior, de Niccolò Copernico și Tycho Brahe , intenționate să descrie și să prezică fenomenele cerești cu o precizie din ce în ce mai mare, chiar și pentru un calcul mai exact și mai convenabil al longitudinilor. și latitudini .

Funcții trigonometrice

Un instrument indispensabil al trigonometriei sunt funcțiile trigonometrice . Aceste funcții asociază lungimile unghiurilor și invers.

Tabelele din această secțiune prezintă funcțiile trigonometrice, împreună cu proprietățile lor principale; pentru mai multe funcții, consultați articolul pentru funcția respectivă.

Funcții trigonometrice directe

Funcțiile trigonometrice directe sunt cele care asociază o lungime sau un raport între lungimi la un unghi , de obicei exprimat în radiani . Datorită echivalenței circulare a unghiurilor, toate funcțiile trigonometrice directe sunt, de asemenea, funcții periodice cu punct $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ sau $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

Funcții trigonometrice directe
Funcţie	Notaţie	Domeniu	Imagine	Rădăcini	Perioadă	Funcția inversă
in caz contrar	sen, syn	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$	$\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	$\mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ mathbb {Z} \ pi$	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$	subsuoară
cosinus	cos	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$	$\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ frac \ pi2 + \ Z \ pi$	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$	arccosine
tangentă	bronz, tg	$\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + \ mathbb {Z} \ pi \ right)}$ $\ R \ setminus \ left (\ frac \ pi {2} + \ Z \ pi \ right)$	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$	$\mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ Z \ pi$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	arctangent
cotangentă	pătuț, cotg, ctg	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ R \ setminus \ Z \ pi$	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$	${\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ frac \ pi2 + \ Z \ pi$	$\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$	arc tangent
secantă	sec	$\mathbb {R} \setminus \left({\frac {\pi }{2}}+\mathbb {Z} \pi \right)$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + \ mathbb {Z} \ pi \ right)}$ $\ R \ setminus \ left (\ frac \ pi {2} + \ Z \ pi \ right)$	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ ${\ displaystyle \ left (- \ infty, {- 1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)}$ $\ left (- \ infty, {-1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)$	nici unul	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$	arcosecante
cosecant	csc, cosec	$\mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} \pi$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} \ setminus \ mathbb {Z} \ pi}$ $\ R \ setminus \ Z \ pi$	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ ${\ displaystyle \ left (- \ infty, {- 1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)}$ $\ left (- \ infty, {-1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)$	nici unul	$2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$	arcocosecante

Funcții trigonometrice inverse

O funcție inversă este asociată cu fiecare funcție trigonometrică directă. Domeniul fiecărei funcții trigonometrice inverse corespunde, așa cum s-ar putea aștepta, codomainului funcției directe respective. Deoarece funcțiile directe sunt totuși periodice și, prin urmare, nu sunt injective , pentru a le inversa este necesar să le restrângem domeniul făcându-le bijective . Alegerea restricției este teoretic irelevantă și posibilitățile sunt nelimitate. Convenția (strictă în acest domeniu) este însă că domeniile sunt limitate la intervale $\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- \ frac \ pi2, \ frac \ pi2 \ right]$ sau $\left[0,\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right]}$ $\ left [0, \ pi \ right]$ , în care funcțiile - și deci și inversele lor - sunt monotone . Funcțiile arcosecante și arcocosecante sunt definite și prin inversarea funcțiilor directe restricționate la unul dintre aceste intervale.

Funcții trigonometrice inverse
Funcţie	Notaţie	Domeniu	Codominio	Rădăcini	Tendinţă	Funcția inversă
subsuoară	arcsen, arcsin, asin, sen ⁻¹ ^[1]	$\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- \ frac \ pi2, \ frac \ pi2 \ right]$	0	$\nearrow$ ${\ displaystyle \ nearrow}$ $\ nearrow$	in caz contrar
arccosine	arccos, acos, cos ⁻¹	$\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	$\left[0,\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right]}$ $\ left [0, \ pi \ right]$	1	$\searrow$ ${\ displaystyle \ searrow}$ $\ searrow$	cosinus
arctangent	arctan, arctg, atan, tan ⁻¹	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$	$\left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right)}$ $\ left (- \ frac \ pi2, \ frac \ pi2 \ right)$	0	$\nearrow$ ${\ displaystyle \ nearrow}$ $\ nearrow$	tangentă
arc tangent	arccot, arccotg, arcctg, acot, cot ⁻¹	$\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb R$	$\left(0,\pi \right)$ ${\ displaystyle \ left (0, \ pi \ right)}$ $\ left (0, \ pi \ right)$	$+\infty$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$	$\searrow$ ${\ displaystyle \ searrow}$ $\ searrow$	cotangentă
arcosecante	arcsec, asec, sec ⁻¹	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ ${\ displaystyle \ left (- \ infty, {- 1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)}$ $\ left (- \ infty, {-1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)$	$\left[0,\pi \right]$ ${\ displaystyle \ left [0, \ pi \ right]}$ $\ left [0, \ pi \ right]$	1	crescând, cu o discontinuitate în $\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	secantă
arcocosecante	arccsc, arccosec, acsc, csc ⁻¹	$\left(-\infty ,{-1}\right]\cup \left[1,+\infty \right)$ ${\ displaystyle \ left (- \ infty, {- 1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)}$ $\ left (- \ infty, {-1} \ right] \ cup \ left [1, + \ infty \ right)$	$\left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}$ $\ left [- \ frac \ pi2, \ frac \ pi2 \ right]$	$\pm \infty$ ${\ displaystyle \ pm \ infty}$ $\ pm \ infty$	descrescătoare, cu o discontinuitate în $\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ $\ left [-1, 1 \ right]$	cosecant

Relații fundamentale de goniometrie

Prima relație fundamentală

\cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1.

{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ alpha + \ sin ^ {2} \ alpha = 1.}

\ cos ^ 2 \ alpha + \ sin ^ 2 \ alpha = 1.

Din aceasta derivă

\cos \alpha =\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }},

{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ pm {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} \ alpha}},}

\ cos \ alpha = \ pm \ sqrt {1- \ sin ^ 2 \ alpha},

\sin \alpha =\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}.

{\ displaystyle \ sin \ alpha = \ pm {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} \ alpha}}.}

\ sin \ alpha = \ pm \ sqrt {1- \ cos ^ 2 \ alpha}.

Nu uitați să evaluați poziția $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pentru alegerea adecvată a semnelor.

A doua relație fundamentală

\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},

{\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}},}

\ tan \ alpha = \ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha},

care se aplică numai pentru $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ frac {\ pi} 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ .

Din definiția lui $\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ $\ tan \ alpha$ iar din prima relație fundamentală rezultă că

\cos ^{2}\alpha ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\alpha }},

{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ alpha = {\ frac {1} {1+ \ tan ^ {2} \ alpha}},}

\ cos ^ 2 \ alpha = \ frac {1} {1+ \ tan ^ 2 \ alpha},

care se aplică numai pentru $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ frac {\ pi} 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ .

Din aceasta derivăm

\cos \alpha =\pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\alpha }}}.

{\ displaystyle \ cos \ alpha = \ pm {\ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} \ alpha}}}.}

\ cos \ alpha = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {1+ \ tan ^ 2 \ alpha}}.

Nu uitați să evaluați poziția $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pentru alegerea adecvată a semnelor.

A treia relație fundamentală

\cot \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},

{\ displaystyle \ cot \ alpha = {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}},}

\ cot \ alpha = \ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha},

care se aplică numai pentru $\alpha \neq k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq k \ pi}$ $\ alpha \ neq k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ .

A patra relație fundamentală

\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},

{\ displaystyle \ sec \ alpha = {\ frac {1} {\ cos \ alpha}},}

\ sec \ alpha = \ frac {1} {\ cos \ alpha},

care se aplică numai pentru $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ frac {\ pi} 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ .

A cincea relație fundamentală

\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},

{\ displaystyle \ csc \ alpha = {\ frac {1} {\ sin \ alpha}},}

\ csc \ alpha = \ frac {1} {\ sin \ alpha},

care se aplică numai pentru $\alpha \neq k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq k \ pi}$ $\ alpha \ neq k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$ .

Formule de unghi asociat

În circumferința goniometrică numim unghiuri asociate unghiurile $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , $\pi -\alpha$ ${\ displaystyle \ pi - \ alpha}$ $\ pi- \ alpha$ , $\pi +\alpha$ ${\ displaystyle \ pi + \ alpha}$ $\ pi + \ alfa$ Și $2\pi -\alpha$ ${\ displaystyle 2 \ pi - \ alpha}$ $2 \ pi- \ alpha$ . Aceste unghiuri au în valoare absolută același sinus și același cosinus.

Formule ale unghiurilor asociate ale celui de-al doilea cadran

$\cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ cos (\ pi - \ alpha) = - \ cos \ alpha}$ $\ cos (\ pi - \ alpha) = - \ cos \ alpha$

$\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi - \ alpha) = \ sin \ alpha}$ $\ sin (\ pi - \ alpha) = \ sin \ alpha$

$\tan(\pi -\alpha )=-\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan (\ pi - \ alpha) = - \ tan \ alpha}$ $\ tan (\ pi- \ alpha) = - \ tan \ alpha$

Formule ale unghiurilor asociate ale celui de-al treilea cadran

$\cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ cos (\ pi + \ alpha) = - \ cos \ alpha}$ $\ cos (\ pi + \ alpha) = - \ cos \ alpha$

$\sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi + \ alpha) = - \ sin \ alpha}$ $\ sin (\ pi + \ alpha) = - \ sin \ alpha$

$\tan(\pi +\alpha )=\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan (\ pi + \ alpha) = \ tan \ alpha}$ $\ tan (\ pi + \ alpha) = \ tan \ alpha$

Formule ale unghiurilor asociate cu al patrulea cadran

$\cos(2\pi -\alpha )=\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ pi - \ alpha) = \ cos \ alpha}$ $\ cos (2 \ pi- \ alpha) = \ cos \ alpha$

$\sin(2\pi -\alpha )=-\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin (2 \ pi - \ alpha) = - \ sin \ alpha}$ $\ sin (2 \ pi - \ alpha) = - \ sin \ alpha$

$\tan(2\pi -\alpha )=-\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan (2 \ pi - \ alpha) = - \ tan \ alpha}$ $\ tan (2 \ pi- \ alpha) = - \ tan \ alpha$

Formule de unghi opus

$\cos(-\alpha )=\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ cos (- \ alpha) = \ cos \ alpha}$ $\ cos (- \ alpha) = \ cos \ alpha$

$\sin(-\alpha )=-\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin (- \ alpha) = - \ sin \ alpha}$ $\ sin (- \ alpha) = - \ sin \ alpha$

$\tan(-\alpha )=-\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan (- \ alpha) = - \ tan \ alpha}$ $\ tan (- \ alpha) = - \ tan \ alpha$

Se spune că $\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha}$ $\ cos \ alpha$ este o funcție uniformă, în timp ce $\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha}$ $\ sin \ alpha$ Și $\tan \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha}$ $\ tan \ alpha$ sunt ciudate.

Formule unghiulare complementare (suma lor este un unghi drept)

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha \ right) = \ sin \ alpha}$ $\ cos \ left ({\ frac {\ pi} 2} - \ alpha \ right) = \ sin \ alpha$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha \ right) = \ cos \ alpha}$ $\ sin \ left ({\ frac {\ pi} 2} - \ alpha \ right) = \ cos \ alpha$

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cot \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ alpha \ right) = \ cot \ alpha}$ $\ tan \ left (\ frac {\ pi} 2- \ alpha \ right) = \ cot \ alpha$

Formulele unghiurilor care diferă de un unghi drept

$\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\sin \alpha$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + \ alpha \ right) = - \ sin \ alpha}$ $\ cos \ left ({\ frac {\ pi} 2} + \ alpha \ right) = - \ sin \ alpha$

$\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=\cos \alpha$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + \ alpha \ right) = \ cos \ alpha}$ $\ sin \ left ({\ frac {\ pi} 2} + \ alpha \ right) = \ cos \ alpha$

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+\alpha \right)=-\cot \alpha$ ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ pi} {2}} + \ alpha \ right) = - \ cot \ alpha}$ $\ tan \ left (\ frac {\ pi} 2+ \ alpha \ right) = - \ cot \ alpha$

Formule de transportoare

În trigonometrie, formulele de adunare și scădere permit transformarea funcțiilor trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri într-o expresie compusă din funcții trigonometrice ale celor două unghiuri.

Formule de adăugare

$\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ ${\ displaystyle \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta}$ $\ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta + \ cos \ alpha \ sin \ beta$
$\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ ${\ displaystyle \ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta}$ $\ cos (\ alpha + \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta - \ sin \ alpha \ sin \ beta$
$\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$ ${\ displaystyle \ tan (\ alpha + \ beta) = {\ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta}}}$ $\ tan (\ alpha + \ beta) = {\ frac {\ tan \ alpha + \ tan \ beta} {1- \ tan \ alpha \ tan \ beta}}$
$\cot(\alpha +\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta -1}{\cot \alpha +\cot \beta }}$ ${\ displaystyle \ cot (\ alpha + \ beta) = {\ frac {\ cot \ alpha \ cot \ beta -1} {\ cot \ alpha + \ cot \ beta}}}$ $\ cot (\ alpha + \ beta) = {\ frac {\ cot \ alpha \ cot \ beta -1} {\ cot \ alpha + \ cot \ beta}}$

Formula tangentă este valabilă pentru $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ alpha + \ beta \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha, \ beta, \ alpha + \ beta \ neq \ frac \ pi 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formula cotangentă este valabilă pentru $\alpha ,\beta ,\alpha +\beta \neq k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ alpha + \ beta \ neq k \ pi}$ $\ alpha, \ beta, \ alpha + \ beta \ neq k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formule de scădere

$\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \,\sin \beta$ ${\ displaystyle \ sin (\ alpha - \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta - \ cos \ alpha \, \ sin \ beta}$ $\ sin (\ alpha - \ beta) = \ sin \ alpha \ cos \ beta - \ cos \ alpha \, \ sin \ beta$
$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ ${\ displaystyle \ cos (\ alpha - \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta}$ $\ cos (\ alpha - \ beta) = \ cos \ alpha \ cos \ beta + \ sin \ alpha \ sin \ beta$
$\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$ ${\ displaystyle \ tan (\ alpha - \ beta) = {\ frac {\ tan \ alpha - \ tan \ beta} {1+ \ tan \ alpha \ tan \ beta}}}$ $\ tan (\ alpha - \ beta) = \ frac {\ tan \ alpha - \ tan \ beta} {1 + \ tan \ alpha \ tan \ beta}$
$\cot(\alpha -\beta )={\frac {\cot \alpha \cot \beta +1}{\cot \beta -\cot \alpha }}$ ${\ displaystyle \ cot (\ alpha - \ beta) = {\ frac {\ cot \ alpha \ cot \ beta +1} {\ cot \ beta - \ cot \ alpha}}}$ $\ cot (\ alpha - \ beta) = \ frac {\ cot \ alpha \ cot \ beta + 1} {\ cot \ beta - \ cot \ alpha}$

Formula tangentă este valabilă pentru $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ alpha - \ beta \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha, \ beta, \ alpha- \ beta \ neq \ frac \ pi 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formula cotangentă este valabilă pentru $\alpha ,\beta ,\alpha -\beta \neq k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha, \ beta, \ alpha - \ beta \ neq k \ pi}$ $\ alpha, \ beta, \ alpha- \ beta \ neq k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formule de duplicare

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$ ${\ displaystyle \ sin (2 \ alpha) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha}$ $\ sin (2 \ alpha) = 2 \ sin \ alpha \ cos \ alpha$
$\cos(2\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =1-2\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$ ${\ displaystyle \ cos (2 \ alpha) = \ cos ^ {2} \ alpha - \ sin ^ {2} \ alpha = 1-2 \ sin ^ {2} \ alpha = 2 \ cos ^ {2} \ alpha -1}$ $\ cos (2 \ alpha) = \ cos ^ {2} \ alpha - \ sin ^ {2} \ alpha = 1-2 \ sin ^ {{2}} \ alpha = 2 \ cos ^ {{2}} \ alfa -1$
$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}$ ${\ displaystyle \ tan (2 \ alpha) = {\ frac {2 \ tan \ alpha} {1- \ tan ^ {2} \ alpha}}}$ $\ tan (2 \ alpha) = {\ frac {2 \ tan \ alpha} {1- \ tan ^ {2} \ alpha}}$

Ultima formulă este valabilă pentru $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ frac \ pi 2 + k \ pi$ Și $\alpha \neq \pm {\frac {\pi }{4}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq \ pm {\ frac {\ pi} {4}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ pm \ frac \ pi 4+ k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formule de linearitate

$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos(2\alpha )}{2}}$ ${\ displaystyle \ cos ^ {2} \ alpha = {\ frac {1+ \ cos (2 \ alpha)} {2}}}$ $\ cos ^ {2} \ alpha = {\ frac {1+ \ cos (2 \ alpha)} {2}}$
$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos(2\alpha )}{2}}$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} \ alpha = {\ frac {1- \ cos (2 \ alpha)} {2}}}$ $\ sin ^ {2} \ alpha = {\ frac {1- \ cos (2 \ alpha)} {2}}$
$\tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos(2\alpha )}{1+\cos(2\alpha )}}$ ${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ alpha = {\ frac {\ sin ^ {2} \ alpha} {\ cos ^ {2} \ alpha}} = {\ frac {1- \ cos (2 \ alpha) } {1+ \ cos (2 \ alpha)}}}$ $\ tan ^ {2} \ alpha = {\ frac {\ sin ^ {2} \ alpha} {\ cos ^ {2} \ alpha}} = {\ frac {1- \ cos (2 \ alpha)} {1 + \ cos (2 \ alpha)}}$

Ultima formulă este valabilă pentru $\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ frac \ pi 2 + k \ pi$ cu $k\in \mathbb {Z}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}}$ $k \ in \ mathbb {Z}$

Formule de bisecție

Atenție: este necesar să se evalueze în ce cadran se încadrează ${\frac {\alpha }{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ alpha} {2}}}$ ${\ frac {\ alpha} {2}}$ pentru a putea alege semnele adecvate ale următoarelor formule

$\cos \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}}}$ $\ cos \ left ({\ frac {\ alpha} 2} \ right) = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1+ \ cos \ alpha} {2}}}}$
$\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}$ ${\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}}}$ $\ sin \ left ({\ frac {\ alpha} 2} \ right) = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos \ alpha} {2}}}}$
$\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}$ ${\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right) = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ alpha} {1+ \ cos \ alpha}}}$ $\ tan \ left ({\ frac {\ alpha} 2} \ right) = \ pm {\ sqrt {{\ frac {1- \ cos \ alpha} {1+ \ cos \ alpha}}}}$

Ultima formulă este valabilă pentru $\alpha \neq \pi +2k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq \ pi + 2k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ pi + 2k \ pi$ .

Formule parametrice

$\cos \alpha ={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}}$ $\ cos \ alpha = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}}$
$\sin \alpha ={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}}$ $\ sin \ alpha = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2}}}$
$\tan \alpha ={\frac {2t}{1-t^{2}}}$ ${\ displaystyle \ tan \ alpha = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}}$ $\ tan \ alpha = {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}}$

unde este $t=\tan \left({\frac {\alpha }{2}}\right)$ ${\ displaystyle t = \ tan \ left ({\ frac {\ alpha} {2}} \ right)}$ $t = \ tan \ left (\ frac {\ alpha} {2} \ right)$ cu $\alpha \neq \pi +2k\pi$ ${\ displaystyle \ alpha \ neq \ pi + 2k \ pi}$ $\ alpha \ neq \ pi + 2k \ pi$ .

Formule de prosterefereză

Același subiect în detaliu: formule de prostaapheresis .

$\sin p+\sin q=2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ sin p + \ sin q = 2 \ sin \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {pq} {2}} \ right) }$ $\ sin p + \ sin q = 2 \ sin \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {p-q} {2}} \ right)$
$\sin p-\sin q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ sin p- \ sin q = 2 \ cos \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {pq} {2}} \ right) }$ $\ sin p- \ sin q = 2 \ cos \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {p-q} {2}} \ right)$
$\cos p+\cos q=2\cos \left({\frac {p+q}{2}}\right)\cos \left({\frac {p-q}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ cos p + \ cos q = 2 \ cos \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {pq} {2}} \ right) }$ $\ cos p + \ cos q = 2 \ cos \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ cos \ left ({\ frac {p-q} {2}} \ right)$
$\cos p-\cos q=-2\sin \left({\frac {p+q}{2}}\right)\sin \left({\frac {p-q}{2}}\right)$ ${\ displaystyle \ cos p- \ cos q = -2 \ sin \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {pq} {2}} \ right )}}$ $\ cos p- \ cos q = -2 \ sin \ left ({\ frac {p + q} {2}} \ right) \ sin \ left ({\ frac {p-q} {2}} \ right)$

Formulele de prosterefereză transformă sume de funcții goniometrice în produse.

Formule Werner (inversul formulelor de prosterafere)

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )\right]$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} \ left [\ sin (\ alpha + \ beta) + \ sin (\ alpha - \ beta) \ right]}$ $\ sin \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} \ left [\ sin (\ alpha + \ beta) + \ sin (\ alpha - \ beta) \ right]$
$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )\right]$ ${\ displaystyle \ cos \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} \ left [\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta) \ right]}$ $\ cos \ alpha \ cos \ beta = {\ frac {1} {2}} \ left [\ cos (\ alpha + \ beta) + \ cos (\ alpha - \ beta) \ right]$
$\sin \alpha \sin \beta =-{\frac {1}{2}}\left[\cos(\alpha +\beta )-\cos(\alpha -\beta )\right]$ ${\ displaystyle \ sin \ alpha \ sin \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ left [\ cos (\ alpha + \ beta) - \ cos (\ alpha - \ beta) \ right]}$ $\ sin \ alpha \ sin \ beta = - {\ frac {1} {2}} \ left [\ cos (\ alpha + \ beta) - \ cos (\ alpha - \ beta) \ right]$

Formulele lui Werner transformă produsele funcțiilor goniometrice în sume.

Formule ale unghiului adăugat

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\phi ),$ ${\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ sin (x + \ phi),}$ ${\ displaystyle a \ sin x + b \ cos x = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} \ sin (x + \ phi),}$

unde unghiul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ este orice unghi care satisface

{\begin{cases}\cos \phi ={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\\sin \phi ={\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos \ phi = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \\\ sin \ phi = {\ frac {b } {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ cos \ phi = {\ frac {a} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}} \\\ sin \ phi = {\ frac {b } {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}}}. \ end {cases}}}

Dacă alegeți unghiul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ în interval $(-\pi ,\pi ]$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ ${\ displaystyle (- \ pi, \ pi]}$ , poate fi explicitat în felul următor:

\phi ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}}),&{\text{se }}a>0,\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b\geq 0,\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi ,&{\text{se }}a<0{\text{ e }}b<0,\\{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b>0,\\-{\frac {\pi }{2}},&{\text{se }}a=0{\text{ e }}b<0.\end{cases}}

{\ displaystyle \ phi = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {b} {a}}) și {\ text {se}} a> 0, \\\ arctan ({\ frac {b} {a}}) + \ pi, & {\ text {se}} a <0 {\ text {e}} b \ geq 0, \\\ arctan ({\ frac {b} {a}}) - \ pi, & {\ text {se}} a <0 {\ text {e}} b <0, \\ {\ frac {\ pi} {2}}, și {\ text {se}} a = 0 { \ text {e}} b> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} și {\ text {se}} a = 0 {\ text {e}} b <0. \ end { cazuri}}}

{\ displaystyle \ phi = {\ begin {cases} \ arctan ({\ frac {b} {a}}) și {\ text {se}} a> 0, \\\ arctan ({\ frac {b} {a}}) + \ pi, & {\ text {se}} a <0 {\ text {e}} b \ geq 0, \\\ arctan ({\ frac {b} {a}}) - \ pi, & {\ text {se}} a <0 {\ text {e}} b <0, \\ {\ frac {\ pi} {2}}, și {\ text {se}} a = 0 { \ text {e}} b> 0, \\ - {\ frac {\ pi} {2}} și {\ text {se}} a = 0 {\ text {e}} b <0. \ end { cazuri}}}

Coltul $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ nu este definit dacă $a=b=0,$ ${\ displaystyle a = b = 0,}$ ${\ displaystyle a = b = 0,}$ în acest caz egalitatea inițială se reduce la identitate $0=0.$ ${\ displaystyle 0 = 0.}$ ${\ displaystyle 0 = 0.}$

Rezoluția triunghiurilor dreptunghiulare

Convenție pentru nomenclatura elementelor unui triunghi dreptunghiular

În jargonul matematic, rezolvarea unui triunghi dreptunghi înseamnă calculul măsurătorilor laturilor și unghiurilor triunghiului. Prin convenție există o nomenclatură în triunghiurile unghiulare care pot fi văzute în figură. Vă rog să vă amintiți asta

$\alpha =90^{o}$ ${\ displaystyle \ alpha = 90 ^ {o}}$ $\ alfa = 90 ^ o$ Și $\beta +\gamma =90^{o}$ ${\ displaystyle \ beta + \ gamma = 90 ^ {o}}$ $\ beta + \ gamma = 90 ^ o$
un colț este adiacent unui catet dacă catetul se dovedește a fi una dintre laturile unghiului în cauză.
un unghi este opus unei laturi dacă partea nu este una dintre laturile unghiului în cauză.

De exemplu $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ este opus catetului $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ și adiacent catetului $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ .

În conformitate cu aceste convenții, într-un triunghi dreptunghiular se mențin următoarele teoreme

Teorema. Într-un triunghi dreptunghiular, un picior este egal cu produsul hipotenuzei cu sinusul unghiului opus laturii

Teorema. Într-un triunghi dreptunghiular, o parte este egală cu produsul hipotenuzei cu cosinusul unghiului acut adiacent laturii.

Teorema. Într-un triunghi dreptunghiular, o parte este egală cu produsul celeilalte laturi cu tangenta unghiului opus laturii care urmează să fie calculată.

Teorema. Într-un triunghi dreptunghiular, o parte este egală cu produsul celeilalte laturi cu cotangenta unghiului acut adiacent laturii care urmează să fie calculată.

Aceste teoreme se traduc în următoarele formule pentru rezoluția triunghiurilor dreptunghiulare

a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma

{\ displaystyle a = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma}

a = {\ frac c {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma

 $a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma$  $la$   $=$   $b$   $cos$    $γ$   $\Rightarrow$   $b$   $=$   $la$   $\cdot$   $cos$    $γ$   ${\ displaystyle a = {\ frac {b} {\ cos \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma}$   $a = \ frac b {\ cos \ gamma} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma$

{\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma

{\ displaystyle {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma}

{\ frac cb} = {\ frac {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma

 ${\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$  $b$   $c$   $=$   $cos$    $γ$   $păcat$    $γ$   $\Rightarrow$   $b$   $=$   $c$   $\cdot$   $pat$    $γ$   ${\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ cos \ gamma} {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = c \ cdot \ cot \ gamma}$   ${\ frac bc} = {\ frac {\ cos \ gamma} {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = c \ cdot \ cot \ gamma$

a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

{\ displaystyle a = {\ frac {b} {\ sin \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ sin \ beta}

a = {\ frac b {\ sin \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ sin \ beta

 $a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta$  $la$   $=$   $c$   $cos$    $β$   $\Rightarrow$   $c$   $=$   $la$   $\cdot$   $cos$    $β$   ${\ displaystyle a = {\ frac {c} {\ cos \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ cos \ beta}$   $a = \ frac c {\ cos \ beta} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ cos \ beta$

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

{\ displaystyle {\ frac {b} {c}} = {\ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = c \ cdot \ tan \ beta}

{\ frac bc} = {\ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = c \ cdot \ tan \ beta

 ${\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$  $c$   $b$   $=$   $cos$    $β$   $păcat$    $β$   $\Rightarrow$   $c$   $=$   $b$   $\cdot$   $pat$    $β$   ${\ displaystyle {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ cot \ beta}$   ${\ frac cb} = {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ cot \ beta$

Demonstrație

Luați în considerare un triunghi dreptunghiular $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ cu unghi drept de vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Spus $C. LA$ ${\ displaystyle CA}$ $CA$ axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , pe vârf $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ se construiește un cerc de rază $CP=1$ ${\ displaystyle CP = 1}$ $CP = 1$ . Coordonatele punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ reprezinta $\cos \gamma$ ${\ displaystyle \ cos \ gamma}$ $\ cos \ gamma$ si $\operatorname {sen} \gamma$ ${\ displaystyle \ operatorname {sen} \ gamma}$ $\ operatorname {sen} \ gamma$ , și de atunci $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este acută indică și lungimile picioarelor $C. H.$ ${\ displaystyle CH}$ $CH$ Și $P. H.$ ${\ displaystyle PH}$ $PH$ .

Demonstrarea formulelor de triunghi dreptunghiular

.

Din figură se vede că cele două triunghiuri dreptunghiulare $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ Și $H. P. C.$ ${\ displaystyle HPC}$ $HPC$ sunt similare prin faptul că au două unghiuri congruente: $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ în unghiuri comune și verticale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Prin urmare, este posibil să se construiască proporția dintre laturile omoloage ale celor două triunghiuri similare (laturile opuse unghiurilor congruente):

{\frac {\overline {BC}}{\overline {PC}}}={\frac {\overline {BA}}{\overline {PH}}}={\frac {\overline {CA}}{\overline {CH}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {PC}}} = {\ frac {\ overline {BA}} {\ overline {PH}}} = {\ frac {\ overline {CA} } {\ overline {CH}}}}

{\ frac {\ overline {BC}} {\ overline {PC}}} = {\ frac {\ overline {BA}} {\ overline {PH}}} = {\ frac {\ overline {CA}} {\ subliniază {CH}}}

Se obține înlocuirea măsurătorilor laturilor

{\frac {a}{1}}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {b}{\cos \gamma }}

{\ displaystyle {\ frac {a} {1}} = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} = {\ frac {b} {\ cos \ gamma}}}

{\ frac a1} = {\ frac c {\ sin \ gamma}} = {\ frac b {\ cos \ gamma}}

prin urmare

a={\frac {c}{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \sin \gamma

{\ displaystyle a = {\ frac {c} {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma}

a = {\ frac c {\ sin \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = a \ cdot \ sin \ gamma

 $a={\frac {b}{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \cos \gamma$  $la$   $=$   $b$   $cos$    $γ$   $\Rightarrow$   $b$   $=$   $la$   $\cdot$   $cos$    $γ$   ${\ displaystyle a = {\ frac {b} {\ cos \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma}$   $a = \ frac b {\ cos \ gamma} \ quad \ Rightarrow \ quad b = a \ cdot \ cos \ gamma$

din acestea două derivăm și noi

{\frac {c}{b}}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma

{\ displaystyle {\ frac {c} {b}} = {\ frac {\ sin \ gamma} {\ cos \ gamma}} \ quad \ Rightarrow \ quad c = b \ cdot \ tan \ gamma}

{\frac cb}={\frac {\sin \gamma }{\cos \gamma }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \tan \gamma

 ${\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$  $b$   $c$   $=$   $cos$    $γ$   $sin$    $γ$   $\Rightarrow$   $b$   $=$   $c$   $\cdot$   $cot$    $γ$   ${\frac {b}{c}}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$   ${\frac bc}={\frac {\cos \gamma }{\sin \gamma }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \cot \gamma$

Questo ragionamento può essere chiaramente esteso anche al terzo angolo $\beta$ $\beta$ $\beta$ in modo da ottenere formule analoghe

a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

a={\frac {b}{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

a={\frac b{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=a\cdot \sin \beta

 $a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta$  $a$   $=$   $c$   $cos$    $β$   $\Rightarrow$   $c$   $=$   $a$   $\cdot$   $cos$    $β$   $a={\frac {c}{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=a\cdot \cos \beta$   $a = \frac c {\cos \beta} \quad \Rightarrow \quad c = a \cdot \cos \beta$

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

{\frac {b}{c}}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

{\frac bc}={\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}\quad \Rightarrow \quad b=c\cdot \tan \beta

 ${\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$  $c$   $b$   $=$   $cos$    $β$   $sin$    $β$   $\Rightarrow$   $c$   $=$   $b$   $\cdot$   $cot$    $β$   ${\frac {c}{b}}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$   ${\frac cb}={\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}\quad \Rightarrow \quad c=b\cdot \cot \beta$

Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

Calcolo dell'altezza di una torre

Si consideri il seguente problema: calcolare l'altezza di una torre $A B$ ${\displaystyle AB}$ $AB$ , potendo stare solo alla base (piano orizzontale) della stessa. Si distinguono due casi

Il piede A della torre è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A raggiungibile

In questo caso basta misurare il cateto $A C$ ${\displaystyle AC}$ $AC$ ( $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ ), e dal punto $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ misurare l'angolo acuto $A C B$ ${\displaystyle ACB}$ $ACB$ ( $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ ) sotto cui si vede la sommità della torre $A B$ ${\displaystyle AB}$ $AB$ ( $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

h_{torre}=c=b\cdot \tan \gamma

h_{torre}=c=b\cdot \tan \gamma

h_{torre} = c = b \cdot \tan \gamma

Il piede A della torre non è raggiungibile

Calcolo altezza di una torre con piede A non raggiungibile

In questo caso $A C$ ${\displaystyle AC}$ $AC$ ( $b_{1}=x$ $b_{1}=x$ $b_1=x$ ) è incognita (in quanto il piede $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ non è raggiungibile). Si fa dunque una misura orizzontale $C D$ ${\displaystyle CD}$ $CD$ ( $d$ ${\displaystyle d}$ $d$ ) (quindi il cateto $A D$ ${\displaystyle AD}$ $AD$ è $b_{2}=x+d$ $b_{2}=x+d$ $b_2=x+d$ ). Dal punto $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ si misura l'angolo acuto $A C B$ ${\displaystyle ACB}$ $ACB$ ( $\gamma _{1}$ $\gamma _{1}$ $\gamma_1$ ) e da $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ si misura l'angolo acuto $A D B$ ${\displaystyle ADB}$ $ADB$ ( $\gamma _{2}$ $\gamma _{2}$ $\gamma _{2}$ ) sotto cui si vede la sommità della torre $A B$ ${\displaystyle AB}$ $AB$ ( $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ ). Applicando opportunamente le formule si ottiene

h_{torre}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}=x\cdot \tan \gamma _{1}

h_{torre}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}=x\cdot \tan \gamma _{1}

h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1 = x \cdot \tan \gamma_1

 $h_{torre}=c=b_{2}\cdot \tan \gamma _{2}=(x+d)\cdot \tan \gamma _{2}$  $h$   $t$   $o$   $r$   $r$   $e$   $=$   $c$   $=$   $b$   $2$   $\cdot$   $tan$    $γ$   $2$   $=$   $($   $x$   $+$   $d$   $)$   $\cdot$   $tan$    $γ$   $2$   $h_{torre}=c=b_{2}\cdot \tan \gamma _{2}=(x+d)\cdot \tan \gamma _{2}$   $h_{torre} = c = b_2 \cdot \tan \gamma_2 = (x+d) \cdot \tan \gamma_2$

Confrontando le due altezze si ottiene una equazione nell'incognita $x$ ${\displaystyle x}$ $x$

x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+d)\cdot \tan \gamma _{2}

x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+d)\cdot \tan \gamma _{2}

x\cdot \tan \gamma _{1}=(x+d)\cdot \tan \gamma _{2}

questa equazione è facilmente risolvibile noti d, $\gamma _{1}$ $\gamma _{1}$ $\gamma_1$ e $\gamma _{2}$ $\gamma _{2}$ $\gamma_2$

Trovato $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ si ha $b_{1}$ $b_{1}$ $b_1$ e quindi si può calcolare

h_{torre}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}

h_{torre}=c=b_{1}\cdot \tan \gamma _{1}

h_{torre} = c = b_1 \cdot \tan \gamma_1

Calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi

l'altezza h può essere vista come cateto del triangolo CHA

Per calcolare l'area del triangolo $A B C$ ${\displaystyle ABC}$ $ABC$ , di base $CB=a$ ${\displaystyle CB=a}$ $CB=a$ , serve l'altezza $A H$ ${\displaystyle AH}$ $AH$ . Nel triangolo rettangolo $C H A$ ${\displaystyle CHA}$ $CHA$ , di ipotenusa $AC=b$ ${\displaystyle AC=b}$ $AC=b$ , l'altezza $AH=h$ ${\displaystyle AH=h}$ $AH=h$ può essere vista come il cateto che si oppone all'angolo $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ . Utilizzando in modo opportuno le formule dei triangoli rettangoli si ottiene

AH=h=b\cdot \sin \gamma

AH=h=b\cdot \sin \gamma

AH=h=b\cdot \sin \gamma

e quindi

Area={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma

Area={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot h={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma

Area={\frac 12}\cdot a\cdot h={\frac 12}ab\sin \gamma

Questa formula vale anche se $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ è ottuso.

Formule di conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa

Coordinate polari e coordinate cartesiane

Fissato su un piano un punto origine $O(0;0)$ ${\displaystyle O(0;0)}$ $O(0;0)$ e una semiretta $O r$ ${\displaystyle Or}$ $Or$ , dato un punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ del piano esso è univocamente individuato da una coppia di numeri reali $(\rho ,\theta )$ $(\rho ,\theta )$ $( \rho, \theta)$ con la condizione $\rho >0$ $\rho >0$ $\rho>0$ e $0\leq \theta <360^{o}$ $0\leq \theta <360^{o}$ $0\leq \theta < 360^o$ . La coppia di numeri reali rappresenta le coordinate polari di $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ . Geometricamente $\rho$ $\rho$ $\rho$ rappresenta la distanza $O P$ ${\displaystyle OP}$ $OP$ , mentre $\theta$ $\theta$ $\theta$ rappresenta l'angolo $H O P$ ${\displaystyle HOP}$ $HOP$ misurato in senso antiorario con primo lato $O H$ ${\displaystyle OH}$ $OH$ .

È possibile trovare le relazioni esistenti tra le coordinate cartesiane $(x;y)$ ${\displaystyle (x;y)}$ $(x;y)$ e le coordinate polari $(\rho ;\theta )$ $(\rho ;\theta )$ $(\rho;\theta)$ del punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ . Le seguenti considerazioni fatte per un punto $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ sul primo quadrante valgono anche per gli altri quadranti.

Utilizzando le formule dei triangoli rettangoli si trovano le formule per la trasformazione in coordinate cartesiane

{\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}

{\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}

{\begin{cases}x=\rho \cdot \cos \theta \\y=\rho \cdot \sin \theta \end{cases}}

Elevando al quadrato e sommando si ottiene $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$ $x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}$ $x^2+y^2=\rho^2$ e quindi si possono ricavare le formule per la trasformazione in coordinate polari

{\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}

{\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\rho }}\\\sin \theta ={\frac {y}{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\\\sin \theta ={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\end{cases}}

{\begin{cases}\cos \theta ={\frac x{\rho }}\\\sin \theta ={\frac y{\rho }}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad {\begin{cases}\cos \theta ={\frac x{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\sin \theta ={\frac y{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\end{cases}}

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x\end{cases}}

{\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\tan \theta =y/x\end{cases}}

\begin{cases} \rho = \sqrt {x^2+y^2} \\ \tan \theta = y/x \end{cases}

Fare attenzione che la tangente goniometrica non esiste per $x=0$ ${\displaystyle x=0}$ $x=0$ ed è periodica di 180° e dunque bisogna valutare preventivamente la posizione di $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ per calcolare correttamente $\theta$ $\theta$ $\theta$

\theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{se }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{se }}x<0\end{cases}}

\theta ={\begin{cases}\arctan(y/x)&{\text{se }}x>0\\\arctan(y/x)+\pi &{\text{se }}x<0\end{cases}}

\theta = \begin{cases} \arctan(y/x) & \text{se } x>0 \\ \arctan(y/x)+\pi & \text{se } x<0 \end{cases}

Teoremi trigonometrici

I teoremi trigonometrici permettono la risoluzione di problemi di varia natura legata alla figura di un triangolo qualsiasi, esprimendo rapporti tra i lati e gli angoli di questo.

Teorema della corda

Teorema della corda in una circonferenza

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della corda .

Data una circonferenza e una corda $A B$ ${\displaystyle AB}$ $AB$ , il rapporto tra tale corda e il seno di un qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste su di essa è uguale al diametro della circonferenza:

{\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.

{\frac {\overline {AB}}{\sin {\widehat {C}}}}=2r.

{\frac {\overline {AB}}{\sin \widehat {C}}}=2r.

Teorema dei seni

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei seni .

Considerato un triangolo qualsiasi di lati $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ , $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ e $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ , il rapporto tra i lati ei seni dei rispettivi angoli opposti è costante ed è uguale al diametro della circonferenza circoscritta:

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2r.

Teorema del coseno o di Carnot

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del coseno .

Il teorema del coseno (chiamato anche teorema di Carnot ) afferma che in un qualsiasi triangolo, il quadrato di un lato è uguale alla differenza tra la somma dei quadrati degli altri due lati e il doppio prodotto di tali lati per il coseno dell'angolo compreso tra essi.

{\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma

{\overline {BA}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}-2{\overline {AC}}\cdot {\overline {BC}}\cos \gamma

\overline{BA}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma

.

Ovvero, indicando con $a, b, c$ ${\displaystyle a,b,c}$ $a, b, c$ la lunghezza dei lati e $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\alpha ,\beta ,\gamma$ $\alpha, \beta, \gamma$ gli angoli ad essi opposti, si ottiene

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

a^2= b^2+c^2-2bc \cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

b^2= a^2+c^2-2ac \cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

c^2= a^2+b^2-2ab \cdot \cos \gamma

Può essere considerato una generalizzazione del Teorema di Pitagora .

Risoluzione dei triangoli qualsiasi

Convenzione per la nomenclatura degli elementi di un triangolo

Nel gergo matematico risolvere un triangolo significa calcolare le misure dei lati e degli angoli del triangolo.

Per risolvere un triangolo qualsiasi devono essere noti tre elementi dei quali almeno uno deve essere un lato. Si possono presentare quattro casi:

sono noti un lato e due angoli
sono noti tre lati
sono noti due lati e l'angolo compreso
sono noti due lati e uno dei due angoli opposti ai lati dati

La nomenclatura dei lati e degli angoli segue la convenzione in figura.

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli $(\alpha ,\beta )$ $(\alpha ,\beta )$ $( \alpha, \beta )$

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le seguenti condizioni

\alpha +\beta <180^{o}

\alpha +\beta <180^{o}

\alpha+\beta < 180^o

in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

Calcolare l'angolo mancante $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$ $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$ $\gamma = 180^o -(\alpha + \beta)$
Calcolare il lato incognito $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ utilizzando il teorema dei seni: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$ ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}$ ${\frac a{\sin \alpha }}={\frac b{\sin \beta }}$
Calcolare il lato incognito $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ utilizzando il teorema dei seni: ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$ ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$ ${\frac a{\sin \alpha }}={\frac c{\sin \gamma }}$

Risolvere un triangolo noti i tre lati (a, b, c)

Il problema ha sempre una sola soluzione se sono rispettate le disuguaglianze triangolari in caso contrario il problema non ha soluzione.

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

calcolare l'angolo $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ mediante il teorema del coseno: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$ $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$ $\cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}$
calcolare l'angolo $\beta$ $\beta$ $\beta$ mediante il teorema del coseno: $\cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$ $\cos \beta ={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$ $\cos \beta = \frac {a^2+c^2 -b^2}{2ac}$
calcolare l'angolo mancante $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$ $\gamma =180^{o}-(\alpha +\beta )$ $\gamma = 180^o -(\alpha + \beta)$

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo compreso $(\gamma )$ $(\gamma )$ $( \gamma )$

Il problema ha sempre una sola soluzione

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

calcolare il lato $c$ ${\displaystyle c}$ $c$ (opposto all'angolo $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ ) mediante il teorema del coseno: $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$ $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$ $c = \sqrt {a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma}$
calcolare l'angolo $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ (opposto al lato a) mediante il teorema del coseno: $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$ $\cos \alpha ={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$ $\cos \alpha = \frac {b^2+c^2 -a^2}{2bc}$
calcolare l'angolo mancante $\beta =180^{o}-(\gamma +\alpha )$ $\beta =180^{o}-(\gamma +\alpha )$ $\beta = 180^o -(\gamma + \alpha)$

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ opposto al lato a

Il problema può avere nessuna soluzione, una soluzione o due soluzioni.

Si calcola l'angolo incognito $\beta$ $\beta$ $\beta$ con il teorema dei seni ${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$ ${\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\sin \alpha }}$ ${\frac b{\sin \beta }}={\frac a{\sin \alpha }}$
Se $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ è ottuso si otterrà un solo angolo $\beta _{1}$ $\beta _{1}$ $\beta_1$ acuto, altrimenti si trova anche $\beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}$ $\beta _{2}=180^{o}-\beta _{1}$ $\beta_2=180^o-\beta_1$ .
Si calcola $\gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )$ $\gamma _{1}=180^{o}-(\beta _{1}+\alpha )$ $\gamma_1=180^o-(\beta_1+\alpha)$ ed eventualmente $\gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha )$ $\gamma _{2}=180^{o}-(\beta _{2}+\alpha )$ $\gamma_2=180^o-(\beta_2+\alpha)$
Si calcola $c_{1}$ $c_{1}$ $c_1$ e eventualmente $c_{2}$ $c_{2}$ $c_2$ utilizzando il teorema dei seni ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$ ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$ ${\frac a{\sin \alpha }}={\frac c{\sin \gamma }}$

Etimologia dei nomi

Come per il resto delle lingue europee , l' italiano eredita i nomi delle funzioni trigonometriche dalle corrispondenti voci latine . Il termine seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba jaib (letteralmente baia , tradotto in latino sinus a causa di una lettura equivoca: dal momento che l'arabo non scrive le vocali, la sequenza jb , che stava per jiba ricalcando una parola sanscrita, è stata interpretata erroneamente come baia , in luogo del corretto corda ) usata per indicare la metà della corda; in questo senso, il seno denota la corda piegata su se stessa. La parola tangente viene da latino tangens , letteralmente «che tocca», in riferimento alle proprietà geometriche del segmento utilizzato per la definizione grafica di questa funzione. Analogamente si spiega l'etimologia della secante , in latino secans , «che taglia». Le parole coseno , cotangente e cosecante derivano dalla contrazione delle rispettive voci latine complementi sinus , complementi tangens , complementi secans , vale a dire «seno dell'angolo complementare», «tangente dell'angolo complementare», «secante dell'angolo complementare».

Note

^ Le notazioni con esponente negativo usate per le funzioni sin ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc. (usate spesso nelle calcolatrici scientifiche ) non fanno riferimento alle potenze, ma indicano solo il fatto che esse sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni trigonometriche. Pertanto, a meno che non sia esplicitamente indicato, risulta:
$\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$ $\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$ $\sin ^{{-1}}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su trigonometria
Wikizionario contiene il lemma di dizionario « trigonometria »
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su trigonometria

Collegamenti esterni

Trigonometria , su Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana .
( EN ) Trigonometria , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Triangle Calculator - completes triangles when given three elements (sides, angles, area, height etc.), supports degrees, radians and grades; Risolve un triangolo qualsiasi dati tre elementi.
( IT ) Videolezioni di trigonometria - alcune brevi videolezioni sulla goniometria e sulla trigonometria, utili per un veloce ripasso in vista di un compito.
Trigonometria , in Treccani.it – Enciclopedie on line , Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 20799 · LCCN ( EN ) sh85137519 · BNF ( FR ) cb119384742 (data) · NDL ( EN , JA ) 00570153

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] Le notazioni con esponente negativo usate per le funzioni sin ⁻¹ , cos ⁻¹ , etc. (usate spesso nelle calcolatrici scientifiche ) non fanno riferimento alle potenze, ma indicano solo il fatto che esse sono le funzioni inverse delle rispettive funzioni trigonometriche. Pertanto, a meno che non sia esplicitamente indicato, risulta:
$\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$ $\sin ^{-1}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$ $\sin ^{{-1}}x\neq {\frac {1}{\sin x}}.$

[1]

V · D · M Trigonometria
Funzione trigonometrica · Funzione trigonometrica inversa
Funzioni	Seno · Senoverso · Coseno · Cosenoverso · Tangente · Cotangente · Secante · Secante esterna · Cosecante · Cosecante esterna
Funzioni inverse	Arcoseno · Arcocoseno · Arcotangente · Arcocotangente · Arcosecante · Arcocosecante
Teoremi e formule	Teorema della corda · Teorema dei seni · Teorema del coseno · Teorema di Nepero · Teorema delle cotangenti · Teorema di Pitagora · Formule di prostaferesi · Formule di Werner
Altro	Tavola trigonometrica · Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche · Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco · Funzioni iperboliche · Identità trigonometrica · Costanti trigonometriche esatte ·Storia delle funzioni trigonometriche

V · D · M Aree della matematica
Logica matematica	Teoria degli insiemi · Teoria dei modelli · Teoria della dimostrazione
Algebra	Teoria dei gruppi · Teoria degli anelli · Teoria dei campi · Algebra computazionale
Teoria dei numeri	Aritmetica · Teoria algebrica dei numeri · Teoria analitica dei numeri
Matematica discreta	Combinatoria · Teoria degli ordini · Teoria dei giochi
Geometria	Geometria differenziale · Geometria discreta · Topologia · Geometria combinatoria · Geometria algebrica
Analisi matematica	Calcolo infinitesimale · Analisi complessa · Analisi non standard · Analisi armonica · Analisi funzionale · Teoria della misura · Equazioni differenziali · Teoria degli operatori
Teoria della probabilità e Statistica	Processi stocastici
Fisica matematica	Meccanica classica · Sistemi dinamici · Meccanica statistica · Meccanica quantistica · Meccanica dei fluidi
Analisi numerica e Ricerca operativa	Teoria dell'approssimazione · Integrazione numerica · Ottimizzazione
Matematiche complementari	Storia della matematica · Didattica della matematica · Matematica ricreativa
Altro	Biologia matematica · Matematica finanziaria · Crittografia

Trigonometrie

Originile

Funcții trigonometrice

Funcții trigonometrice directe

Funcții trigonometrice inverse

Relații fundamentale de goniometrie

Prima relație fundamentală

A doua relație fundamentală

A treia relație fundamentală

A patra relație fundamentală

A cincea relație fundamentală

Formule de unghi asociat

Formule ale unghiurilor asociate ale celui de-al doilea cadran

Formule ale unghiurilor asociate ale celui de-al treilea cadran

Formule ale unghiurilor asociate cu al patrulea cadran

Formule de unghi opus

Formule unghiulare complementare (suma lor este un unghi drept)

Formulele unghiurilor care diferă de un unghi drept

Formule de transportoare

Formule de adăugare

Formule de scădere

Formule de duplicare

Formule de linearitate

Formule de bisecție

Formule parametrice

Formule de prosterefereză

Formule Werner (inversul formulelor de prosterafere)

Formule ale unghiului adăugat

Rezoluția triunghiurilor dreptunghiulare

Demonstrație

Applicazioni notevoli dei triangoli rettangoli

Calcolo dell'altezza di una torre

Il piede A della torre è raggiungibile

Il piede A della torre non è raggiungibile

Calcolo dell'area di un triangolo qualsiasi

Formule di conversione da coordinate polari a coordinate cartesiane e viceversa

Teoremi trigonometrici

Teorema della corda

Teorema dei seni

Teorema del coseno o di Carnot

Risoluzione dei triangoli qualsiasi

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli ( α , β ) {\displaystyle (\alpha ,\beta )}

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

Risolvere un triangolo noti i tre lati (a, b, c)

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo compreso ( γ ) {\displaystyle (\gamma )}

La procedura per la risoluzione del triangolo è la seguente

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo α {\displaystyle \alpha } opposto al lato a

Etimologia dei nomi

Note

Voci correlate

Altri progetti

Collegamenti esterni

Risolvere un triangolo noti un lato (a) e due angoli $(\alpha ,\beta )$ $(\alpha ,\beta )$ $( \alpha, \beta )$

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo compreso $(\gamma )$ $(\gamma )$ $( \gamma )$

Risolvere un triangolo noti due lati (aeb) e l'angolo $\alpha$ $\alpha$ $\alpha$ opposto al lato a