Formule de prosterefereză

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.

Salt la navigare Salt la căutare

În trigonometrie , formulele de protefereză vă permit să transformați sumele și diferențele funcțiilor trigonometrice ale două unghiuri într-un produs al funcțiilor trigonometrice.

Cuvântul prostaferesis derivă din juxtapunerea a două cuvinte grecești, proteză (πρόσθεσις) și afareză (ἀφαίρεσις), care înseamnă „ adunare ” și „ scădere ”.

Formulele de prostafereză au fost definite, în forma cunoscută în prezent, de Johann Werner la începutul secolului al XVI-lea, totuși este probabil ca, cel puțin parțial, să fie deja cunoscute anterior. ^[1]

Această categorie de formule trigonometrice este utilizată deoarece, în general, conduce la o simplificare a expresiei trigonometrice studiate. Sunt deosebit de utile în descrierea ritmurilor .

Formulele inverse ale formulelor de prostafereză sunt numite formule Werner , pe care se bazează algoritmul de prostafereză .

Prima formulă Prostaferesis

\sin \alpha +\sin \beta =2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ sin \ alpha + \ sin \ beta = 2 \, \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ sin \ alpha + \ sin \ beta = 2 \, \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Demonstrație

Formula de pornire poate fi rescrisă ca:

\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) + \ sin \ left ({\ frac { \ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)}

\ sin \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} + \ frac {\ alpha- \ beta} {2} \ right) + \ sin \ left (\ frac {\ beta + \ alpha} {2 } + \ frac {\ beta- \ alpha} {2} \ dreapta)

Din care, folosind formula de adaos pentru sân , obținem:

\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ beta - \ alpha} {2} } + \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}}}

\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} + \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ beta- \ alpha} {2} + \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ beta- \ alpha} {2}

Din care, folosind relațiile care leagă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor opuse, obținem:

\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} } - \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} + \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Din care, simplificând și colectând, obținem:

2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle 2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

2 \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

A doua formulă Prostaferesis

\sin \alpha -\sin \beta =2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\,\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}

{\ displaystyle \ sin \ alpha - \ sin \ beta = 2 \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \, \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}

{\ displaystyle \ sin \ alpha - \ sin \ beta = 2 \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \, \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}

Demonstrație

Este de fapt prima formulă calculată prin schimbarea semnului celui de-al doilea unghi. Formula de pornire poate fi rescrisă ca:

\sin \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\sin \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) - \ sin \ left ({\ frac { \ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)}

\ sin \ left (\ frac {\ alpha + \ beta} {2} + \ frac {\ alpha- \ beta} {2} \ right) - \ sin \ left (\ frac {\ beta + \ alpha} {2 } + \ frac {\ beta- \ alpha} {2} \ dreapta)

Din care, folosind formula de adaos pentru sân , obținem:

\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ beta - \ alpha} {2} } - \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}}}

\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ beta- \ alpha} {2} - \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ beta- \ alpha} {2}

Din care, folosind relațiile care leagă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor opuse, obținem:

\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} } + \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Din care, simplificând și colectând, obținem:

2\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}

{\ displaystyle 2 \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}

{\ displaystyle 2 \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}}}

A treia formulă Prostaferesis

\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ cos \ alpha + \ cos \ beta = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ cos \ alpha + \ cos \ beta = 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}

Demonstrație

Formula de pornire poate fi rescrisă ca:

\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)+\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)

{\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) + \ cos \ left ({\ frac { \ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)}

\ cos \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) + \ cos \ left ({\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)

Din care, folosind formula de adunare pentru cosinus , obținem:

\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ beta - \ alpha} {2} } - \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}}}

\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ beta- \ alpha} {2} - \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ beta- \ alpha} {2}

Din care, folosind relațiile care leagă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor opuse, obținem:

\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} + \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} } + \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} + \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} + \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Din care, simplificând și colectând, obținem:

2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle 2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

2 \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}

A patra formulă Prostaferesis

\cos \alpha -\cos \beta =-2\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\,\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ cos \ alpha - \ cos \ beta = -2 \, \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \, \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} }}

\ cos \ alpha- \ cos \ beta = -2 \, \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \, \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Demonstrație

Formula de pornire poate fi rescrisă ca:

\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}+{\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)-\cos \left({\frac {\beta +\alpha }{2}}+{\frac {\beta -\alpha }{2}}\right)

{\ displaystyle \ cos \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac { \ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)}

\ cos \ left ({\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} + {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} + {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}} \ right)

Din care, folosind formula de adunare pentru cosinus , obținem:

\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\,\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta -\alpha }{2}}+\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta -\alpha }{2}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \, \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ beta - \ alpha} { 2}} + \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ beta - \ alpha} {2}}}

\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \, \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac { \ alpha - \ beta} {2} - \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ beta- \ alpha} {2} + \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ sin \ frac {\ beta- \ alpha} {2}

Din care, folosind relațiile care leagă funcțiile trigonometrice ale unghiurilor opuse, obținem:

\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\cos {\frac {\beta +\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}-\sin {\frac {\beta +\alpha }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2 }} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}} - \ cos {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ cos {\ frac {\ alpha - \ beta} {2} } - \ sin {\ frac {\ beta + \ alpha} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

\ cos \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha - \ beta} {2} - \ cos \ frac {\ beta + \ alpha} {2} \ cos \ frac {\ alpha- \ beta} {2} - \ sin \ frac {\ beta + \ alpha} {2 } \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Din care, simplificând și colectând, obținem:

-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}

{\ displaystyle -2 \ sin {\ frac {\ alpha + \ beta} {2}} \ sin {\ frac {\ alpha - \ beta} {2}}}

-2 \ sin \ frac {\ alpha + \ beta} {2} \ sin \ frac {\ alpha- \ beta} {2}

Formule de prostafereză pentru tangentă

\tan \alpha \pm \tan \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq (2k+1){\frac {\pi }{2}};k\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle \ tan \ alpha \ pm \ tan \ beta = {\ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} \ qquad \ mathrm {con} \ \ alpha , \ beta \ neq (2k + 1) {\ frac {\ pi} {2}}; k \ in \ mathbb {Z}}

\ tan \ alpha \ pm \ tan \ beta = \ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} \ qquad \ mathrm {with} \ \ alpha, \ beta \ ne (2k + 1) \ frac {\ pi} {2}; k \ in \ Z

Demonstrație

Formula de pornire poate fi rescrisă, în virtutea definiției tangentei , ca:

{\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}\pm {\frac {\sin \beta }{\cos \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha}} \ pm {\ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta}}}

\ frac {\ sin \ alpha} {\ cos \ alpha} \ pm \ frac {\ sin \ beta} {\ cos \ beta}

Prin urmare, deoarece condiția unghiurilor garantează că cosinusul nu este zero:

{\frac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\frac {\sin \beta \cos \alpha }{\cos \beta \cos \alpha }}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}} \ pm {\ frac {\ sin \ beta \ cos \ alpha} {\ cos \ beta \ cos \ alfa}}}

\ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta} {\ cos \ alpha \ cos \ beta} \ pm \ frac {\ sin \ beta \ cos \ alpha} {\ cos \ beta \ cos \ alpha}

Din care, luând numitorul :

{\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \sin \beta \cos \alpha }{\cos \alpha \cos \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ sin \ beta \ cos \ alpha} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}

\ frac {\ sin \ alpha \ cos \ beta \ pm \ sin \ beta \ cos \ alpha} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}

Din care, din moment ce numărătorul este rezultatul formulei de adunare și scădere pentru sinus , obținem prin substituție:

{\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}}}

\ frac {\ sin (\ alpha \ pm \ beta)} {\ cos \ alpha \ cos \ beta}

Formule de prostafereză pentru cotangentă

\cot \alpha \pm \cot \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \,\sin \beta }}\qquad \mathrm {con} \ \alpha ,\beta \neq k\pi ;k\in \mathbb {Z}

{\ displaystyle \ cot \ alpha \ pm \ cot \ beta = {\ frac {\ sin (\ beta \ pm \ alpha)} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}} \ qquad \ mathrm {con} \ \ alpha, \ beta \ neq k \ pi; k \ in \ mathbb {Z}}

\ cot \ alpha \ pm \ cot \ beta = \ frac {\ sin (\ beta \ pm \ alpha)} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} \ qquad \ mathrm {with} \ \ alpha, \ beta \ n și k \ pi; k \ in \ Z

Demonstrație

Formula de pornire poate fi rescrisă, în virtutea definiției cotangentei , ca:

{\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}\pm {\frac {\cos \beta }{\sin \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha}} \ pm {\ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}}}

\ frac {\ cos \ alpha} {\ sin \ alpha} \ pm \ frac {\ cos \ beta} {\ sin \ beta}

Prin urmare, deoarece condiția de pe colțuri garantează că sinele nu sunt nule:

{\frac {\cos \alpha \,\sin \beta }{\sin \alpha \,\sin \beta }}\pm {\frac {\cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \beta \,\sin \alpha }}

{\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}} \ pm {\ frac {\ cos \ beta \, \ sin \ alpha} {\ sin \ beta \, \ sin \ alpha}}}

\ frac {\ cos \ alpha \, \ sin \ beta} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta} \ pm \ frac {\ cos \ beta \, \ sin \ alpha} {\ sin \ beta \, \ sin \ alpha}

Din care, luând numitorul :

{\frac {\cos \alpha \,\sin \beta \pm \cos \beta \,\sin \alpha }{\sin \alpha \,\sin \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ cos \ alpha \, \ sin \ beta \ pm \ cos \ beta \, \ sin \ alpha} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}}}

\ frac {\ cos \ alpha \, \ sin \ beta \ pm \ cos \ beta \, \ sin \ alpha} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}

Din care, din moment ce numărătorul este rezultatul formulei de adunare și scădere pentru sinus , obținem prin substituție:

{\frac {\sin \left(\beta \pm \alpha \right)}{\sin \alpha \,\sin \beta }}

{\ displaystyle {\ frac {\ sin \ left (\ beta \ pm \ alpha \ right)} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}}}

\ frac {\ sin \ left (\ beta \ pm \ alpha \ right)} {\ sin \ alpha \, \ sin \ beta}

Notă

^ Carl B. Boyer, History of Mathematics , 1990, Oscar Saggi Mondadori, ISBN 88-04-33431-2 .

Elemente conexe

Controlul autorității	Tezaur BNCF 20798

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Formule_di_prostaferesi&oldid=116901176 ”

Trigonometrie

Categorii ascunse: