Mediană (geometrie)

Medianele și centrul de greutate al unui triunghi

Într-un triunghi , mediana este un segment care leagă un vârf de punctul mediu al părții opuse.

Mediana unui paralelogram este segmentul care unește punctele medii ale celor două laturi opuse.

Proprietate

Unele proprietăți ale medianei:

1 Triunghiul este împărțit de mediană în două triunghiuri având aceeași suprafață și toate celelalte linii care împart triunghiul în două părți ale aceleiași suprafețe nu trec prin centrul de greutate.

2 Cele trei mediane ale unui triunghi se intersectează într-un punct numit centroid sau centru de masă (pentru o dovadă vezi de exemplu teorema lui Ceva ).

3 Fiecare mediană se află pentru două treimi din lungimea sa între vârf și centrul de greutate, în timp ce cealaltă treime se află între centrul de greutate și punctul de mijloc al părții opuse.

A treia proprietate nu este imediată. Cu referire la figura de mai jos, demonstrez că $BG=2GB'$ ${\ displaystyle BG = 2GB '}$ ${\ displaystyle BG = 2GB '}$ . Lasa-i sa fie $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ punctele medii ale segmentelor respectiv $B. G.$ ${\ displaystyle BG}$ ${\ displaystyle BG}$ Și $C. G.$ ${\ displaystyle CG}$ ${\ displaystyle CG}$ . Prin urmare $BD=DG$ ${\ displaystyle BD = DG}$ ${\ displaystyle BD = DG}$ (1) și $CE=EG$ ${\ displaystyle CE = EG}$ ${\ displaystyle CE = EG}$ . Aplicarea teoremei lui Thales la triunghi $LA B. C.$ ${\ displaystyle ABC}$ $ABC$ tăiat de linia dreaptă care trece prin ${B.}^{'}$ ${\ displaystyle B '}$ ${\ displaystyle B '}$ Și ${C.}^{'}$ ${\ displaystyle C '}$ ${\ displaystyle C '}$ Am asta

$B'C'={\frac {1}{2}}BC$ ${\ displaystyle B'C '= {\ frac {1} {2}} BC}$ ${\ displaystyle B'C '= {\ frac {1} {2}} BC}$ .

Aplicarea teoremei lui Thales la triunghi $G. B. C.$ ${\ displaystyle GBC}$ ${\ displaystyle GBC}$ tăiat de linia dreaptă care trece prin $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ și $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Am asta

$DE={\frac {1}{2}}BC$ ${\ displaystyle DE = {\ frac {1} {2}} BC}$ ${\ displaystyle DE = {\ frac {1} {2}} BC}$ .

Prin urmare $D. ȘI {B.}^{'} {C.}^{'}$ ${\ displaystyle DEB'C '}$ ${\ displaystyle DEB'C '}$ este un paralelogram . Prin urmare, într-un paralelogram diagonalele sunt tăiate interschimbabil în jumătate $DG=GB'$ ${\ displaystyle DG = GB '}$ ${\ displaystyle DG = GB '}$ (2). Încheiem observând că pentru (1) și (2) avem $BG=BD+DG=2DG=2GB'$ ${\ displaystyle BG = BD + DG = 2DG = 2GB '}$ ${\ displaystyle BG = BD + DG = 2DG = 2GB '}$ . Rationament similar pentru celelalte doua mediane.

Lungimea medianelor

Lungimea medianei poate fi obținută grație teoremei mediane . Folosind notația standard pentru elementele unui triunghi și cu $m_{a}$ ${\ displaystyle m_ {a}}$ $dar$ , $m_{b}$ ${\ displaystyle m_ {b}}$ $m_ {b}$ , $m_{c}$ ${\ displaystyle m_ {c}}$ $m_c$ medianele respectiv ieșite din vârfuri $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , avem asta:

$m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}$ ${\ displaystyle m_ {a} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (b ^ {2} + c ^ {2}) - a ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle m_ {a} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (b ^ {2} + c ^ {2}) - a ^ {2}}}}$
$m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}$ ${\ displaystyle m_ {b} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - b ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle m_ {b} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} + c ^ {2}) - b ^ {2}}}}$
$m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}$ ${\ displaystyle m_ {c} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle m_ {c} = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {2 (a ^ {2} + b ^ {2}) - c ^ {2}}}}$

Dovadă: Sia ${LA}^{'}$ ${\ displaystyle A '}$ $LA'$ punctul de mijloc al laturii $B. C.$ ${\ displaystyle BC}$ $Î.Hr.$ . Consider triunghiurile $LA B. {LA}^{'}$ ${\ displaystyle ABA '}$ ${\ displaystyle ABA '}$ Și $LA {LA}^{'} C.$ ${\ displaystyle AA'C}$ ${\ displaystyle AA'C}$ . Pentru prima proprietate sunt echivalente, prin urmare au aceeași suprafață, adică $ABA'=AA'C$ ${\ displaystyle ABA '= AA'C}$ ${\ displaystyle ABA '= AA'C}$ . Calculând aria celor două triunghiuri prin aplicarea formulei lui Heron (a doua formă propusă este convenabilă) obțin prima afirmație. Rationament similar pentru celelalte doua.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe mediană

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică