Teorema mediană

În geometria plană , teorema mediană este o teoremă care leagă lungimea medianei într-un triunghi de lungimile celor trei laturi. Este atribuit lui Apollonius . ^[1] Dovada sa poate fi urmărită înapoi la legea cosinusului sau teorema lui Carnot .

Afirmație

Într-un triunghi, dublul pătratului medianei față de o parte este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi scăzute cu jumătate din pătratul primei laturi.

Cu alte cuvinte, cu referire la triunghiul OAB, identitatea este valabilă:

$\displaystyle 2{\overline {OM}}^{2}={\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}-{{\overline {AB}}^{2} \over 2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2 {\ overline {OM}} ^ {2} = {\ overline {OA}} ^ {2} + {\ overline {OB}} ^ {2} - {{\ overline {AB}} ^ {2} \ peste 2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2 {\ overline {OM}} ^ {2} = {\ overline {OA}} ^ {2} + {\ overline {OB}} ^ {2} - {{\ overline {AB}} ^ {2} \ peste 2}}$ , unde M este punctul de mijloc al lui AB .

Prima demonstrație

Prin plasarea:

$\displaystyle {\overrightarrow {\displaystyle OA}}={\vec {a}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OB}}={\vec {b}}\quad {\overrightarrow {\displaystyle OM}}={\vec {m}}.$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ overrightarrow {\ displaystyle OA}} = {\ vec {a}} \ quad {\ overrightarrow {\ displaystyle OB}} = {\ vec {b}} \ quad {\ overrightarrow {\ displaystyle OM }} = {\ vec {m}}.}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ overrightarrow {\ displaystyle OA}} = {\ vec {a}} \ quad {\ overrightarrow {\ displaystyle OB}} = {\ vec {b}} \ quad {\ overrightarrow {\ displaystyle OM }} = {\ vec {m}}.}$

Avem:

$\displaystyle {\vec {a}}={\vec {m}}-{\vec {u}},\quad {\vec {b}}={\vec {m}}+{\vec {u}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {m}} - {\ vec {u}}, \ quad {\ vec {b}} = {\ vec {m}} + {\ vec {u}}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {a}} = {\ vec {m}} - {\ vec {u}}, \ quad {\ vec {b}} = {\ vec {m}} + {\ vec {u}}}$

Ridicând pătratul urcăm membrii ultimelor egalități pe care le avem:

$\displaystyle {\vec {a}}^{2}=({\vec {m}}-{\vec {u}})^{2}\quad {\vec {b}}^{2}=({\vec {m}}+{\vec {u}})^{2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {a}} ^ {2} = ({\ vec {m}} - {\ vec {u}}) ^ {2} \ quad {\ vec {b}} ^ {2 } = ({\ vec {m}} + {\ vec {u}}) ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {a}} ^ {2} = ({\ vec {m}} - {\ vec {u}}) ^ {2} \ quad {\ vec {b}} ^ {2 } = ({\ vec {m}} + {\ vec {u}}) ^ {2}}$

dezvoltând calculele pe care le obținem:

$\displaystyle {\vec {m}}^{2}-2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {a}}^{2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {m}} ^ {2} -2 {\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u}} + {\ vec {u}} ^ {2} = {\ vec {a}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {m}} ^ {2} -2 {\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u}} + {\ vec {u}} ^ {2} = {\ vec {a}} ^ {2}}$

$\displaystyle {\vec {m}}^{2}+2{\vec {m}}\cdot {\vec {u}}+{\vec {u}}^{2}={\vec {b}}^{2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {m}} ^ {2} +2 {\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u}} + {\ vec {u}} ^ {2} = {\ vec {b}} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ vec {m}} ^ {2} +2 {\ vec {m}} \ cdot {\ vec {u}} + {\ vec {u}} ^ {2} = {\ vec {b}} ^ {2}}$

adăugând ulterior membru la membru:

$\displaystyle 2m^{2}+2u^{2}=a^{2}+b^{2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2m ^ {2} + 2u ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2m ^ {2} + 2u ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$

și, în sfârșit:

$\displaystyle 2m^{2}=a^{2}+b^{2}-{(2u)^{2} \over 2}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2m ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - {(2u) ^ {2} \ over 2}}$ ${\ displaystyle \ displaystyle 2m ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} - {(2u) ^ {2} \ over 2}}$ .

A doua dovadă

Prin plasarea:

$\displaystyle {\widehat {OMA}}=\theta ,\quad {\widehat {OMB}}=\pi -\theta$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ widehat {OMA}} = \ theta, \ quad {\ widehat {OMB}} = \ pi - \ theta}$ ${\ displaystyle \ displaystyle {\ widehat {OMA}} = \ theta, \ quad {\ widehat {OMB}} = \ pi - \ theta}$

aplicând, acum, teorema cosinusului triunghiurilor OMA și OMB , avem:

$\displaystyle b^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\theta )$ ${\ displaystyle \ displaystyle b ^ {2} = m ^ {2} + u ^ {2} -2mu \ cos (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ displaystyle b ^ {2} = m ^ {2} + u ^ {2} -2mu \ cos (\ theta)}$

$\displaystyle a^{2}=m^{2}+u^{2}-2mu\cos(\pi -\theta )=m^{2}+u^{2}+2mu\cos(\theta )$ ${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} = m ^ {2} + u ^ {2} -2mu \ cos (\ pi - \ theta) = m ^ {2} + u ^ {2} + 2mu \ cos ( \ theta)}$ ${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} = m ^ {2} + u ^ {2} -2mu \ cos (\ pi - \ theta) = m ^ {2} + u ^ {2} + 2mu \ cos ( \ theta)}$

Prin urmare, adăugând membru la membru ultimele egalități ajungem la identitatea necesară.

Notă

^ Apollonius din Perga , pe imati.cnr.it . Accesat la 7 octombrie 2012 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Apollonius din Perga , pe imati.cnr.it . Accesat la 7 octombrie 2012 .

[1]