Teorema lui Ceva

Teorema lui Ceva este o teoremă bine cunoscută în geometria elementară. Își datorează numele lui Giovanni Ceva , care l-a demonstrat în lucrarea sa De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio din 1678 , deși primul care a demonstrat-o a fost Yusuf al-Mu'tamin ibn Hud , în jurul secolului al XI-lea. O linie ceviană este definită ca o linie dreaptă care unește un vârf cu un punct pe partea opusă a unui triunghi . Teorema oferă o condiție necesară și suficientă pentru ca trei cevieni să se întâlnească în același punct.

Afirmație

Fie A, B, C vârfurile unui triunghi; uniti-le cu un punct O al planului si indicati cu D, E, F intersectiile cu laturile triunghiului.
Avem următoarea relație:

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1.}

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = 1.}

Demonstrație

Luați în considerare triunghiurile $\triangle AFO$ ${\ displaystyle \ triangle AFO}$ ${\ displaystyle \ triangle AFO}$ Și $\triangle FBO$ ${\ displaystyle \ triangle FBO}$ ${\ displaystyle \ triangle FBO}$ . Se poate observa că au o înălțime relativă la cele două segmente $LA F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ Și $F. B.$ ${\ displaystyle FB}$ ${\ displaystyle FB}$ , bazele primului și respectiv al doilea triunghi . Din aceasta, luând în considerare formula $A={\frac {bh}{2}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {bh} {2}}}$ ${\ displaystyle A = {\ frac {bh} {2}}}$ , pentru aria unui triunghi, deducem că raportul dintre ariile celor două triunghiuri este egal cu raportul dintre bazele lor respective:

{\frac {\triangle AFO}{\triangle FBO}}={\frac {AF}{FB}}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFO} {\ triangle FBO}} = {\ frac {AF} {FB}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFO} {\ triangle FBO}} = {\ frac {AF} {FB}}}

.

În mod similar, se poate arăta că deține și:

{\frac {\triangle AFC}{\triangle FBC}}={\frac {AF}{FB}},

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFC} {\ triangle FBC}} = {\ frac {AF} {FB}},}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFC} {\ triangle FBC}} = {\ frac {AF} {FB}},}

și în consecință, prin proprietatea tranzitivă a egalității ajungem la:

{\frac {\triangle AFC}{\triangle FBC}}={\frac {\triangle AFO}{\triangle FBO}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFC} {\ triangle FBC}} = {\ frac {\ triangle AFO} {\ triangle FBO}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AFC} {\ triangle FBC}} = {\ frac {\ triangle AFO} {\ triangle FBO}}.}

Referindu-ne la figură și luând în considerare proprietatea proporțiilor :

{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\Longrightarrow {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}={\frac {a-c}{b-d}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} \ Longrightarrow {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} \ Longrightarrow {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}}

în cele din urmă putem scrie că:

{\frac {\triangle AOC}{\triangle OBC}}={\frac {AF}{FB}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AOC} {\ triangle OBC}} = {\ frac {AF} {FB}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AOC} {\ triangle OBC}} = {\ frac {AF} {FB}}.}

Raționând în mod similar pentru părți $B. C.$ ${\ displaystyle BC}$ $Î.Hr.$ Și $C. LA$ ${\ displaystyle CA}$ $CA$ vom scrie și proporțiile:

{\frac {\triangle BOA}{\triangle AOC}}={\frac {BD}{DC}}{\text{ e }}{\frac {\triangle CBO}{\triangle BAO}}={\frac {CE}{EA}}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle BOA} {\ triangle AOC}} = {\ frac {BD} {DC}} {\ text {e}} {\ frac {\ triangle CBO} {\ triangle BAO}} = {\ frac {CE} {EA}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle BOA} {\ triangle AOC}} = {\ frac {BD} {DC}} {\ text {e}} {\ frac {\ triangle CBO} {\ triangle BAO}} = {\ frac {CE} {EA}}}

.

Putem folosi ceea ce a fost demonstrat până acum pentru a rescrie formula inițială:

{\frac {\triangle AOC}{\triangle OBC}}\cdot {\frac {\triangle BOA}{\triangle AOC}}\cdot {\frac {\triangle OBC}{\triangle BOA}}=1.

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AOC} {\ triangle OBC}} \ cdot {\ frac {\ triangle BOA} {\ triangle AOC}} \ cdot {\ frac {\ triangle OBC} {\ triangle BOA}} = 1.}

{\ displaystyle {\ frac {\ triangle AOC} {\ triangle OBC}} \ cdot {\ frac {\ triangle BOA} {\ triangle AOC}} \ cdot {\ frac {\ triangle OBC} {\ triangle BOA}} = 1.}

Așa cum am vrut să demonstrăm, această expresie este egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ deoarece fiecare termen apare o dată în numărător și o dată în numitor.