Ceviana

În geometrie , un cevian este generic un segment care leagă un vârf al triunghiului de latura sa opusă sau de extensia sa; în timp ce cu linia ceviană înțelegem prin extensie linia pe care se află.

Deosebit de importante sunt Cevians concurente într - un singur punct , numit ceviană - ale căror condiții de suficiență sunt dictate de teorema CEVA - care desemnează pe laturile opuse , de asemenea , trei puncte , care sunt vârfurile relative triunghiului ceviană a cărui circumscris se numește cercul ceviană .

Lungime

Un triunghi cu o ceviana de lungime d

Teorema lui Stewart

Lungimea unui cevian poate fi calculată cu teorema lui Stewart . În figură, lungimea ceviana $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este dat de formula:

\,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).

{\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}

{\ displaystyle \, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}

Median

Ceviana poate fi o mediană . În acest caz, lungimea sa este dată de formula:

\,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})

{\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

{\ displaystyle \, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}

sau

\,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}

{\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

{\ displaystyle \, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}

de la care

\,a=2m.

{\ displaystyle \, a = 2m.}

{\ displaystyle \, a = 2m.}

În acest caz

d={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}}.

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

{\ displaystyle d = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}

Bisector

Ceviana poate fi o bisectoare . În acest caz, lungimea sa este dată de formula:

\,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right),

{\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}

{\ displaystyle \, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} \ left ({\ frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 \ right),}

și ^[1]

d^{2}+mn=bc

{\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

{\ displaystyle d ^ {2} + mn = bc}

Și

d={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}

unde jumătate de perimetru s = ( a + b + c ) / 2.

Latura lungimii a este împărțită în funcție de proporția b : c .

Înălţime

Ceviana poate fi o înălțime a triunghiului. În acest caz, lungimea sa este dată de formula:

\,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}

{\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

{\ displaystyle \, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}

Și

d={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}},

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (sa) (sb) (sc)}}} {a}},}

{\ displaystyle d = {\ frac {2 {\ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}} {a}},}

unde jumătate de perimetru s = ( a + b + c ) / 2.

Concurând cu Ceviane

Ori este punctul cevian, iar AA ', BB ' și CC 'sunt cevienii

Trei Cevieni concurenți identifică un punct Cevian care poate fi atât intern cât și extern perimetrului triunghiului; în primul caz, de asemenea, toți cei trei cevieni sunt interni figurii, în schimb, atunci când este externă, doar unul rămâne intern și ajunge la el numai dacă este prelungit, în timp ce ceilalți doi traversează direct punctul și intersectează extensiile laturilor.

Fie este punctul cevian, iar AA ', BB ' și CC 'sunt cevienii

De asemenea, este posibil să se determine lungimea cevienilor concurenți care au coordonate triliniare (α, β, γ) ale punctului de concurență, lungimile laturilor respective a , b și c laturile triunghiului, utilizând următoarea formulă:

o_{i}={\frac {\sqrt {l_{j}l_{k}[l_{j}l_{k}(\omega _{j}^{2}+\omega _{k}^{2})+\omega _{j}\omega _{k}(l_{j}^{2}+l_{k}^{2}-l_{i}^{2})]}}{l_{j}\omega _{j}+l_{k}\omega _{k}}}

{\ displaystyle o_ {i} = {\ frac {\ sqrt {l_ {j} l_ {k} [l_ {j} l_ {k} (\ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2}) + \ omega _ {j} \ omega _ {k} (l_ {j} ^ {2} + l_ {k} ^ {2} -l_ {i} ^ {2})]}} { l_ {j} \ omega _ {j} + l_ {k} \ omega _ {k}}}}

{\ displaystyle o_ {i} = {\ frac {\ sqrt {l_ {j} l_ {k} [l_ {j} l_ {k} (\ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {k} ^ {2}) + \ omega _ {j} \ omega _ {k} (l_ {j} ^ {2} + l_ {k} ^ {2} -l_ {i} ^ {2})]}} { l_ {j} \ omega _ {j} + l_ {k} \ omega _ {k}}}}

unde l _x indică latura și ω _x coordonata relativă triliniară a punctului.

Punctul de competiție marchează, de asemenea, pe cei trei Cevieni trei rapoarte r _i între distanța sa de vârful I și punctul de intersecție cu partea opusă:

r_{a}={\frac {AO}{OA'}}

{\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {AO} {OA '}}}

{\ displaystyle r_ {a} = {\ frac {AO} {OA '}}}

;

r_{b}={\frac {BO}{OB'}}

{\ displaystyle r_ {b} = {\ frac {BO} {OB '}}}

{\ displaystyle r_ {b} = {\ frac {BO} {OB '}}}

;

r_{c}={\frac {CO}{OC'}}

{\ displaystyle r_ {c} = {\ frac {CO} {OC '}}}

{\ displaystyle r_ {c} = {\ frac {CO} {OC '}}}

Pentru aceste rapoarte se aplică următoarele sume și relații de produs:

r_{a}+r_{b}+r_{c}={\frac {b\beta +c\gamma }{a\alpha }}+{\frac {a\alpha +c\gamma }{b\beta }}+{\frac {a\alpha +b\beta }{c\gamma }}

{\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} = {\ frac {b \ beta + c \ gamma} {a \ alpha}} + {\ frac {a \ alpha + c \ gamma} { b \ beta}} + {\ frac {a \ alpha + b \ beta} {c \ gamma}}}

{\ displaystyle r_ {a} + r_ {b} + r_ {c} = {\ frac {b \ beta + c \ gamma} {a \ alpha}} + {\ frac {a \ alpha + c \ gamma} { b \ beta}} + {\ frac {a \ alpha + b \ beta} {c \ gamma}}}

r_{a}r_{b}r_{c}={\frac {(a\alpha +b\beta )(b\beta +c\gamma )(a\alpha +c\gamma )}{abc\alpha \beta \gamma }}

{\ displaystyle r_ {a} r_ {b} r_ {c} = {\ frac {(a \ alpha + b \ beta) (b \ beta + c \ gamma) (a \ alpha + c \ gamma)} {abc \ alpha \ beta \ gamma}}}

{\ displaystyle r_ {a} r_ {b} r_ {c} = {\ frac {(a \ alpha + b \ beta) (b \ beta + c \ gamma) (a \ alpha + c \ gamma)} {abc \ alpha \ beta \ gamma}}}

ale căror valori sunt respectiv ≥6 și ≥8. ^[2]

Notă

^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.
^ Honsberger. Episoade din secolul al XIX-lea și al XX-lea geometrie euclidiană . Washington, Math. Conf. Univ. Amer. 1995 pp. 138-141

linkuri externe

( EN ) Ross Honsberger, Episoade în secolul al XIX-lea și al XX-lea geometrie euclidiană , MAA , Cambridge University Press , 1995 ISBN 978-0-88385-639-0 , p. 13 și 137.
( EN ) Vladimir Karapetoff, Unele proprietăți ale liniilor de vârf corelative într-un triunghi plan , American Mathematical Monthly , 36 (1929), 476-9 jstor .
( EN ) Eric W. Weisstein, Ceviana , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Johnson-1] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929), p. 70.

[2] Honsberger. Episoade din secolul al XIX-lea și al XX-lea geometrie euclidiană . Washington, Math. Conf. Univ. Amer. 1995 pp. 138-141

[1]

[2]