Triunghiul cevian

Dacă luăm ca referință triunghiul negru (extern), în raport cu acesta triunghiul roșu (interior) este un triunghi cevian ; dacă, pe de altă parte, luăm ca recepție triunghiul roșu, cel negru, în raport cu acesta, este un triunghi anticevian

În geometrie , triunghiul Cevian este un triunghi ale cărui vârfuri coincid cu punctele de întâlnire dintre trei Cevians concurenți și laturile opuse (sau extensiile lor) ale aceluiași triunghi de referință ; În mod egal, triunghiul de referință poate fi considerat triunghiul anticevian luând în schimb triunghiul Cevian ca referință și ar avea același punct Cevian în comun.

Prin urmare, având în vedere un triunghi de referință și un punct Cevian specific, este posibil să se obțină datorită acestuia atât un triunghi Cevian specific, cât și unul anticevian .

Relația cu punctul Cevian

Deoarece există o infinitate de puncte ceviene pentru fiecare posibil triunghi de referință, numărul triunghiurilor ceviene și anti-ceviene este, de asemenea, nelimitat, motiv pentru care de fiecare dată când respectivul triunghi este specificat în raport cu acest punct, există astfel triunghiul cevian al centru, triunghiul cevian al ortocentrului sau triunghiului ortic , unii dintre aceștia își asumă propria importanță în geometria triunghiului, alții sunt pur și simplu o posibilă entitate geometrică a graniței până la un punct notabil al triunghiului al cărui ajutor subliniază unele proprietăți specifice.

În ceea ce privește poziția triunghiului Cevian, dacă punctul său Cevian originar se află în perimetrul triunghiului de referință, toate vârfurile vor sta pe laturile proprii ale acestui ultim triunghi; dacă în schimb este extern, o parte sau toată aria triunghiului Cevian va fi externă figurii de referință și două dintre vârfurile sale vor sta pe extensiile laturilor.

Având în vedere (α, β, γ) coordonatele triliniare ale punctului cevian, cele ale vârfurilor de pe laturi, respectiv a , b și c , se dovedește a fi:

{\begin{vmatrix}0&\beta &\gamma \\\alpha &0&\gamma \\\alpha &\beta &o\end{vmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & \ beta & \ gamma \\\ alpha & 0 & \ gamma \\\ alpha & \ beta & o \ end {vmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & \ beta & \ gamma \\\ alpha & 0 & \ gamma \\\ alpha & \ beta & o \ end {vmatrix}}}

Acest lucru se aplică doar triunghiului Cevian

Formule

Triunghiul cevian

laturile: considerând a „omologul laturii a din triunghiul de referință, care unește laturile b și c ,; $l'_{i}={\frac {l_{i}l_{j}l_{k}{\sqrt {(\omega _{i}^{2}\omega _{j}^{2}+\omega _{i}^{2}\omega _{k}^{2}+\omega _{j}^{2}\omega _{k}^{2})+2\omega _{i}\omega _{j}\omega _{k}(\omega _{j}\cos {J}+\omega _{k}\cos {K}-\omega _{i}\cos {I})}}}{(\omega _{i}l_{i}+\omega _{j}l_{j})(\omega _{i}l_{i}+\omega _{k}l_{k})}}$ ${\ displaystyle l _ {i} = {\ frac {l_ {i} l_ {j} l_ {k} {\ sqrt {(\ omega _ {i} ^ {2} \ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {i} ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2} + \ omega _ {j} ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2}) + 2 \ omega _ {i } \ omega _ {j} \ omega _ {k} (\ omega _ {j} \ cos {J} + \ omega _ {k} \ cos {K} - \ omega _ {i} \ cos {I}) }}} {(\ omega _ {i} l_ {i} + \ omega _ {j} l_ {j}) (\ omega _ {i} l_ {i} + \ omega _ {k} l_ {k}) }}}$ ${\ displaystyle l _ {i} = {\ frac {l_ {i} l_ {j} l_ {k} {\ sqrt {(\ omega _ {i} ^ {2} \ omega _ {j} ^ {2} + \ omega _ {i} ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2} + \ omega _ {j} ^ {2} \ omega _ {k} ^ {2}) + 2 \ omega _ {i } \ omega _ {j} \ omega _ {k} (\ omega _ {j} \ cos {J} + \ omega _ {k} \ cos {K} - \ omega _ {i} \ cos {I}) }}} {(\ omega _ {i} l_ {i} + \ omega _ {j} l_ {j}) (\ omega _ {i} l_ {i} + \ omega _ {k} l_ {k}) }}}$

l _x indică latura; ω _{x este} coordonata triliniară cos X este amplitudinea unghiului

zonă: $\Delta '={\frac {2abc|\alpha \beta \gamma |}{|(a\alpha +b\beta )(a\alpha +c\gamma )(b\beta +c\gamma )|}}\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta '= {\ frac {2abc | \ alpha \ beta \ gamma |} {| (a \ alpha + b \ beta) (a \ alpha + c \ gamma) (b \ beta + c \ gamma) |}} \ Delta}$ ${\ displaystyle \ Delta '= {\ frac {2abc | \ alpha \ beta \ gamma |} {| (a \ alpha + b \ beta) (a \ alpha + c \ gamma) (b \ beta + c \ gamma) |}} \ Delta}$

Δ 'zona Ceviano; Δ aria triunghiului de referință.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein, Cevian Triangle , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică