Teorema lui Menelaus

Teorema lui Menelaus este o teoremă binecunoscută în geometria elementară, atribuită matematicianului Menelaus din Alexandria , care se ocupă cu triunghiurile în geometria plană .

Afirmație

Dat fiind un triunghi de vârfuri A , B , C și trei puncte D , E și F care se află respectiv pe liniile BC , AC și AB , D , E și F sunt aliniate dacă și numai dacă:

{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=-1.

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = - 1.}

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} \ cdot {\ frac {BD} {DC}} \ cdot {\ frac {CE} {EA}} = - 1.}

^[1]

În această ecuație, $LA F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ , $F. B.$ ${\ displaystyle FB}$ ${\ displaystyle FB}$ , etc., reprezintă măsura segmentelor considerate cu semn. De exemplu, fracția $AF/FB$ ${\ displaystyle AF / FB}$ ${\ displaystyle AF / FB}$ are un semn pozitiv numai atunci când linia pentru $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ , $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ intersectează latura $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ .

Este luată în considerare și orientarea segmentelor, adică:

AB=-BA

{\ displaystyle AB = -BA}

{\ displaystyle AB = -BA}

Demonstrație

Teorema lui Menelaus, cazul 1: linia DEF nu intersectează triunghiul ABC .

Teorema lui Menelaus, cazul 2: linia DEF intersectează triunghiul ABC .

Se observă că partea stângă a ecuației are un semn negativ dacă toate cele trei rapoarte sunt negative, caz în care linia $D. ȘI F.$ ${\ displaystyle DEF}$ ${\ displaystyle DEF}$ nu intersectează triunghiul, sau un raport este negativ și celelalte două pozitive, caz în care linia $D. ȘI F.$ ${\ displaystyle DEF}$ ${\ displaystyle DEF}$ intersectează triunghiul în două puncte (vezi axioma lui Pasch ).

Construiți perpendicularele din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ Și $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ pe $D. ȘI F.$ ${\ displaystyle DEF}$ ${\ displaystyle DEF}$ , Le numesc respectiv $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . Acum, pentru similaritatea triunghiurilor, rezultă că:

\left|{\frac {AF}{FB}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\right|\ ,\ \left|{\frac {BD}{DC}}\right|=\left|{\frac {b}{c}}\right|\ ,\ \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {c}{a}}\right|

{\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ right | = \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | \, \ \ left | {\ frac {BD} {DC }} \ right | = \ left | {\ frac {b} {c}} \ right | \, \ \ left | {\ frac {CE} {EA}} \ right | = \ left | {\ frac {c } {a}} \ right |}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ right | = \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | \, \ \ left | {\ frac {BD} {DC }} \ right | = \ left | {\ frac {b} {c}} \ right | \, \ \ left | {\ frac {CE} {EA}} \ right | = \ left | {\ frac {c } {a}} \ right |}

Acesta este:

\left|{\frac {AF}{FB}}\right|\cdot \left|{\frac {BD}{DC}}\right|\cdot \left|{\frac {CE}{EA}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{c}}\cdot {\frac {c}{a}}\right|=1

{\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {BD} {DC}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {CE} {EA }} \ right | = \ left | {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {b} {c}} \ cdot {\ frac {c} {a}} \ right | = 1}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {AF} {FB}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {BD} {DC}} \ right | \ cdot \ left | {\ frac {CE} {EA }} \ right | = \ left | {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {b} {c}} \ cdot {\ frac {c} {a}} \ right | = 1}

În cazul în care ultima egalitate a fost obținută prin simplificarea fracțiilor din cadrul modulului.

Pe de altă parte a implicației:

sunt $D,\ E$ ${\ displaystyle D, \ E}$ ${\ displaystyle D, \ E}$ și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ apartinand respectiv liniilor $BC,\ AC$ ${\ displaystyle BC, \ AC}$ ${\ displaystyle BC, \ AC}$ Și $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , astfel încât ecuația să se mențină. Este ${F.}^{'}$ ${\ displaystyle F '}$ ${\ displaystyle F '}$ punctul în care liniile $D. ȘI$ ${\ displaystyle DE}$ ${\ displaystyle DE}$ Și $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ se intersectează. Apoi, așa cum s-a demonstrat mai sus $D,\ E$ ${\ displaystyle D, \ E}$ ${\ displaystyle D, \ E}$ și ${F.}^{'}$ ${\ displaystyle F '}$ ${\ displaystyle F '}$ verificați ecuația. Comparându-le:

{\frac {AF}{FB}}={\frac {AF'}{F'B}}

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {AF '} {F'B}}}

{\ displaystyle {\ frac {AF} {FB}} = {\ frac {AF '} {F'B}}}

Dar cel mult un punct poate sparge un segment în două cu un raport dat, deci concluzionăm că:

F=F'.

{\ displaystyle F = F '.}

{\ displaystyle F = F '.}

Notă

^ (EN) Branko Grünbaum și GC Shepard, Ceva, Menelaus și Principle Area (PDF), în Revista matematică, vol. 68, Mathematical Association of America, octombrie 1995, 254-268. Accesat la 2 august 2014 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre teorema lui Menelaus

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Teorema lui Menelaus , în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Branko Grünbaum, GC Shepard, Ceva, Menelaus și principiul zonei ( PDF ), în Revista matematică , vol. 68, Mathematical Association of America, octombrie 1995, 254-268.
Giuseppe Peano, Calcul geometric după Ausdehnungslhere de H. Grassmann, Fratelli Bocca Editori, 1888, pp. 44-48. http://mathematica.sns.it/opere/138/

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[mma-1] (EN) Branko Grünbaum și GC Shepard, Ceva, Menelaus și Principle Area (PDF), în Revista matematică, vol. 68, Mathematical Association of America, octombrie 1995, 254-268. Accesat la 2 august 2014 .

[1]