Metoda poziției false în Fibonacci

Metoda poziției false , sau regula falsi , este o metodă iterativă antică pentru rezolvarea problemelor matematice care în prezent tind să fie dezvoltate cu algebră, prin stabilirea de ecuații sau sisteme de ecuații liniare . Apare pentru prima dată în papirusul Rhind , dar este încă folosit în secolul al XIII-lea în Liber abbaci al lui Leonardo Fibonacci .

Metoda are în vedere atribuirea oricărei valori, chiar false, necunoscutului care urmează să fie determinat. Valoarea exactă se obține ulterior prin intermediul unei proporții aritmetice.

Exemplu de soluție a unei ecuații liniare

De exemplu, problema 24 a papirusului Rhind arată cum se determină o anumită cantitate care, adăugată la a șaptea parte, dă rezultatul 19.

În termeni algebrici moderni problema poate fi stabilită prin indicarea cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cantitatea necunoscută și rezolvarea ecuației $x+{\frac {1}{7}}x=19$ ${\ displaystyle x + {\ frac {1} {7}} x = 19}$ ${\ displaystyle x + {\ frac {1} {7}} x = 19}$ .

Conform metodei poziției false, o valoare inițială este aleasă în mod arbitrar pentru cantitatea care urmează să fie determinată: dacă valoarea necunoscută ar fi 7, atunci, adăugând aceasta la a șaptea parte, s-ar obține $7+1=8$ ${\ displaystyle 7 + 1 = 8}$ ${\ displaystyle 7 + 1 = 8}$ în loc de 19.

Pentru a ajunge la valoarea exactă a necunoscutului, trebuie să înmulțim valoarea falsă 7 cu $19/8$ ${\ displaystyle 19/8}$ ${\ displaystyle 19/8}$ .

Reprezentarea grafică a metodei poziției false

Puteți vizualiza grafic metoda poziției false folosind instrumente de geometrie analitică . Pentru exemplul luat în considerare, trasăm graficul liniei de ecuație $\,y=7/12x$ ${\ displaystyle \, y = 7 / 12x}$ ${\ displaystyle \, y = 7 / 12x}$ (trecând prin origine) ca în figură:

Fig. 1 - Reprezentare grafică pentru problema arborelui

Abscisa punctului $\,H_{fp}$ ${\ displaystyle \, H_ {fp}}$ ${\ displaystyle \, H_ {fp}}$ este „poziția falsă” aleasă, 24, iar ordonata sa este aproximarea corespunzătoare, 14; soluția căutată este în schimb abscisa punctului H cu o ordonată cunoscută egală cu 21. Deoarece segmentul $\,A_{fp}H_{fp}$ ${\ displaystyle \, A_ {fp} H_ {fp}}$ ${\ displaystyle \, A_ {fp} H_ {fp}}$ este paralel cu segmentul $\,AH$ ${\ displaystyle \, AH}$ ${\ displaystyle \, AH}$ , triunghiurile $\,OA_{fp}H_{fp}$ ${\ displaystyle \, OA_ {fp} H_ {fp}}$ ${\ displaystyle \, OA_ {fp} H_ {fp}}$ Și $\,OAH$ ${\ displaystyle \, OAH}$ ${\ displaystyle \, OAH}$ au aceleași unghiuri corespunzătoare, deci sunt triunghiuri similare ; asta presupune că:

{\overline {A_{fp}H_{fp}}}:{\overline {AH}}={\overline {OA_{fp}}}:{\overline {OA}}

{\ displaystyle {\ overline {A_ {fp} H_ {fp}}}: {\ overline {AH}} = {\ overline {OA_ {fp}}}: {\ overline {OA}}}

{\ displaystyle {\ overline {A_ {fp} H_ {fp}}}: {\ overline {AH}} = {\ overline {OA_ {fp}}}: {\ overline {OA}}}

adică (1.2) se obține din nou, unde h este segmentul OA .

Soluția unui sistem de două ecuații liniare

Metoda prezentată este aplicabilă și problemelor care pot fi atribuite sistemelor cu mai multe ecuații liniare în mai multe variabile. Aplicabilitatea metodei este, de fapt, legată de liniaritatea ecuațiilor și nu de numărul de variabile implicate.

Să presupunem că vrem să rezolvăm următoarea problemă. Doi bărbați au o anumită sumă de bani. Dacă primul om primește 7 monede de la al doilea, are de 5 ori banii rămași de celălalt; dacă, pe de altă parte, cel de-al doilea om primește 5 monede din prima, are de 7 ori ceea ce rămâne din prima. Vrem să determinăm câte monede au respectiv ambii bărbați.

Observăm că, dacă notăm cu A suma de bani a primului om și cu B suma de bani a celuilalt, problema este echivalentă cu un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute:

\left\{{\begin{matrix}A+7&=\;5(B-7)\\B+5&=\;7(A-5)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} A + 7 & = \; 5 (B-7) \\ B + 5 & = \; 7 (A-5) \ end {matrix}} \ right. }

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} A + 7 & = \; 5 (B-7) \\ B + 5 & = \; 7 (A-5) \ end {matrix}} \ right. }

(1.4)

În primul rând, este necesar să se stabilească care este cota de bani atribuită fiecărui om în raport cu suma totală. În acest scop, pentru a vizualiza mai bine problema, lucrăm așa cum a propus Fibonacci, cu segmentele prezentate în figură:

Să presupunem că segmentul .ab. (indicăm segmentele cu notația folosită în traducerea în engleză a lui Liber abbaci de Laurence E. Sigler) și suma totală de bani, .ag. ambele fac parte din prima și .gb. ce posedă al doilea. Punctul d al segmentului .gb. iar punctul și apartenența la .ag. sunt de așa natură $.gd.=7$ ${\ displaystyle .gd. = 7}$ ${\ displaystyle .gd. = 7}$ Și $.eg.=5$ ${\ displaystyle .eg. = 5}$ ${\ displaystyle .eg. = 5}$ . Atunci

.ad.=.ag.+.gd.=5.db.\;

{\ displaystyle .ad. =. ag. +. gd. = 5.db. \;}

{\ displaystyle .ad. =. ag. +. gd. = 5.db. \;}

.eb.=.eg.+.gb.=7.ae.\;

{\ displaystyle .eb. =. ex. +. gb. = 7.ae. \;}

{\ displaystyle .eb. =. ex. +. gb. = 7.ae. \;}

de aici rezultă că $.ab.=5.db.+.db.=.ae.+7.ae.$ ${\ displaystyle .ab. = 5.db. +. db. =. ae. + 7.ae.}$ ${\ displaystyle .ab. = 5.db. +. db. =. ae. + 7.ae.}$ , adică $.db.=1/6.ab.$ ${\ displaystyle .db. = 1 / 6.ab.}$ ${\ displaystyle .db. = 1 / 6.ab.}$ Și $.ae.=1/8.ab.$ ${\ displaystyle .ae. = 1 / 8.ab.}$ ${\ displaystyle .ae. = 1 / 8.ab.}$ . Prin urmare:

.ag.={\frac {1}{8}}\,.ab.\,+5\,;\quad \quad .gb.={\frac {1}{6}}\,.ab.\,+7

{\ displaystyle .ag. = {\ frac {1} {8}} \,. ab. \, + 5 \ ,; \ quad \ quad .gb. = {\ frac {1} {6}} \,. ab. \, + 7}

{\ displaystyle .ag. = {\ frac {1} {8}} \,. ab. \, + 5 \ ,; \ quad \ quad .gb. = {\ frac {1} {6}} \,. ab. \, + 7}

(1,5)

În plus:

.ab.-(.ae.+.db.)=.ed.=.eg.+.gd.=\,12

{\ displaystyle .ab .- (. ae. +. db.) =. ed. =. ex. +. gd. = \, 12}

{\ displaystyle .ab .- (. ae. +. db.) =. ed. =. ex. +. gd. = \, 12}

.ae.+.db.={\frac {7}{24}}\,.ab.

{\ displaystyle .ae. +. db. = {\ frac {7} {24}} \,. ab.}

{\ displaystyle .ae. +. db. = {\ frac {7} {24}} \,. ab.}

Astfel .ab. trebuie să satisfacă ecuația liniară:

.ab.-{\frac {7}{24}}\,.ab.=\,12\,

{\ displaystyle .ab .- {\ frac {7} {24}} \,. ab. = \, 12 \,}

{\ displaystyle .ab .- {\ frac {7} {24}} \,. ab. = \, 12 \,}

(1.6)

Expresiile obținute în (1.5) ne permit, prin urmare, să readucem sistemul (1.4) înapoi la ecuația liniară precedentă, care poate fi rezolvată cu regula falsi . Noi alegem $.ab._{fp}=24$ ${\ displaystyle .ab ._ {fp} = 24}$ ${\ displaystyle .ab ._ {fp} = 24}$ ca o poziție falsă; aproximarea obținută este:

.ab._{fp}-{\frac {7}{24}}\,.ab._{fp}=\,17

{\ displaystyle .ab ._ {fp} - {\ frac {7} {24}} \,. ab ._ {fp} = \, 17}

{\ displaystyle .ab ._ {fp} - {\ frac {7} {24}} \,. ab ._ {fp} = \, 17}

Valoarea exactă a .ab. prin urmare, prin aplicarea regulii celui de-al patrulea proporțional cu proporția:

17:12=24:.ab.\;

{\ displaystyle 17: 12 = 24: .ab. \;}

{\ displaystyle 17: 12 = 24: .ab. \;}

acesta este:

.ab.={\frac {12\cdot 24}{17}}={\frac {288}{17}}

{\ displaystyle .ab. = {\ frac {12 \ cdot 24} {17}} = {\ frac {288} {17}}}

{\ displaystyle .ab. = {\ frac {12 \ cdot 24} {17}} = {\ frac {288} {17}}}

Banii primului bărbat sunt astfel:

.ag.={\frac {1}{8}}\cdot {\frac {288}{17}}\,+\,5={\frac {121}{17}}

{\ displaystyle .ag. = {\ frac {1} {8}} \ cdot {\ frac {288} {17}} \, + \, 5 = {\ frac {121} {17}}}

{\ displaystyle .ag. = {\ frac {1} {8}} \ cdot {\ frac {288} {17}} \, + \, 5 = {\ frac {121} {17}}}

banii celui de-al doilea om sunt:

.bg.={\frac {1}{6}}\cdot {\frac {288}{17}}\,+\,7={\frac {167}{17}}.

{\ displaystyle .bg. = {\ frac {1} {6}} \ cdot {\ frac {288} {17}} \, + \, 7 = {\ frac {167} {17}}.}

{\ displaystyle .bg. = {\ frac {1} {6}} \ cdot {\ frac {288} {17}} \, + \, 7 = {\ frac {167} {17}}.}

Soluția unui sistem de trei ecuații liniare

Regula falsi este aplicabilă oricărui sistem de ecuații liniare care are o soluție, indiferent de numărul de variabile implicate. De exemplu, să presupunem că vrem să rezolvăm o problemă similară celei anterioare, în care banii sunt împărțiți între trei bărbați, pornind de la cunoașterea a trei fapte: dacă primul om ia 7 monede de la celelalte, are de 5 ori suma lor de bani; dacă al doilea ia 9 monede, el are de 6 ori suma rămasă pe prima și pe a treia, iar aceasta din urmă, cu 11 monede, are de 7 ori suma rămasă pe prima și a doua. Transcriem problema în simboluri algebrice care indică cu A , B , C respectiv banii primului, al doilea și al treilea om; obținem următorul sistem de trei ecuații liniare în trei variabile

\left\{{\begin{matrix}A+7&=\;5(B+C-7)\\B+9&=\;6(A+C-9)\\C+11&=\;7(A+B-11)\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} A + 7 & = \; 5 (B + C-7) \\ B + 9 & = \; 6 (A + C-9) \\ C + 11 & = \; 7 (A + B-11) \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} A + 7 & = \; 5 (B + C-7) \\ B + 9 & = \; 6 (A + C-9) \\ C + 11 & = \; 7 (A + B-11) \\\ end {matrix}} \ right.}

(1.7)

Urmând aceeași procedură folosită pentru problema anterioară, încercăm mai întâi să stabilim câți bani sunt atribuiți fiecărui om în raport cu suma totală $T=A+B+C$ ${\ displaystyle T = A + B + C}$ ${\ displaystyle T = A + B + C}$ . Dacă primul om, care a primit 7 monede, are de 5 ori suma de bani rămasă celorlalte două, de atunci

T\,=\,(A+7)+(B+C-7)=5(B+C-7)+(B+C-7)=6(B+C-7)

{\ displaystyle T \, = \, (A + 7) + (B + C-7) = 5 (B + C-7) + (B + C-7) = 6 (B + C-7)}

{\ displaystyle T \, = \, (A + 7) + (B + C-7) = 5 (B + C-7) + (B + C-7) = 6 (B + C-7)}

asa de

A={\frac {5}{6}}\,T\,-7

{\ displaystyle A = {\ frac {5} {6}} \, T \, - 7}

{\ displaystyle A = {\ frac {5} {6}} \, T \, - 7}

(1,8)

În mod similar, rezultă că:

B={\frac {6}{7}}\,T\,-9

{\ displaystyle B = {\ frac {6} {7}} \, T \, - 9}

{\ displaystyle B = {\ frac {6} {7}} \, T \, - 9}

(1.9)

C={\frac {7}{8}}\,T\,-11

{\ displaystyle C = {\ frac {7} {8}} \, T \, - 11}

{\ displaystyle C = {\ frac {7} {8}} \, T \, - 11}

(1.10)

Relațiile (1.8), (1.9) și (1.10) ne permit să reducem sistemul (1.7) la ecuația liniară

\left({\frac {5}{6}}+{\frac {6}{7}}+{\frac {7}{8}}\right)T\,-T\,=\,27

{\ displaystyle \ left ({\ frac {5} {6}} + {\ frac {6} {7}} + {\ frac {7} {8}} \ right) T \, - T \, = \ , 27}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {5} {6}} + {\ frac {6} {7}} + {\ frac {7} {8}} \ right) T \, - T \, = \ , 27}

(1,11)

rezolvabilă cu regula falsă. Dacă considerăm ca o poziție falsă cel mai mic numitor comun între 6, 7, 8, adică $\,T_{fp}=168$ ${\ displaystyle \, T_ {fp} = 168}$ ${\ displaystyle \, T_ {fp} = 168}$ , primul membru al (1.11) este aproximat la

{\frac {5}{6}}\,168+{\frac {6}{7}}\,168+{\frac {7}{8}}\,168\,-168=140+144+147-168=263

{\ displaystyle {\ frac {5} {6}} \, 168 + {\ frac {6} {7}} \, 168 + {\ frac {7} {8}} \, 168 \, - 168 = 140 + 144 + 147-168 = 263}

{\ displaystyle {\ frac {5} {6}} \, 168 + {\ frac {6} {7}} \, 168 + {\ frac {7} {8}} \, 168 \, - 168 = 140 + 144 + 147-168 = 263}

Se obține astfel proporția

263:27=168:T

{\ displaystyle 263: 27 = 168: T}

{\ displaystyle 263: 27 = 168: T}

din care rezultă, pentru regula trimestrială proporțională,

T={\frac {27\cdot 168}{263}}

{\ displaystyle T = {\ frac {27 \ cdot 168} {263}}}

{\ displaystyle T = {\ frac {27 \ cdot 168} {263}}}

În special:

A={\frac {140\cdot 27}{263}}\,-7\,={\frac {1939}{263}}

{\ displaystyle A = {\ frac {140 \ cdot 27} {263}} \, - 7 \, = {\ frac {1939} {263}}}

{\ displaystyle A = {\ frac {140 \ cdot 27} {263}} \, - 7 \, = {\ frac {1939} {263}}}

B={\frac {144\cdot 27}{263}}\;-9\,={\frac {1521}{263}}

{\ displaystyle B = {\ frac {144 \ cdot 27} {263}} \; - 9 \, = {\ frac {1521} {263}}}

{\ displaystyle B = {\ frac {144 \ cdot 27} {263}} \; - 9 \, = {\ frac {1521} {263}}}

C={\frac {147\cdot 27}{263}}\,-11\,={\frac {1076}{263}}

{\ displaystyle C = {\ frac {147 \ cdot 27} {263}} \, - 11 \, = {\ frac {1076} {263}}}

{\ displaystyle C = {\ frac {147 \ cdot 27} {263}} \, - 11 \, = {\ frac {1076} {263}}}

Soluție prin metoda directă

În Liber abaci este propusă o altă soluție posibilă pentru sistemele liniare, prin așa-numita metodă directă .

Arătăm cum se poate aplica această metodă, de exemplu, la problema echivalentă cu sistemul (1.4). Definim ca „necunoscut” (= „lucru”, în terminologia lui Fibonacci) o valoare necunoscută, care trebuie determinată prin rezolvarea problemei. Pentru comoditate, indicăm necunoscutul cu notația de astăzi x . În cazul nostru, considerăm ca necunoscută x suma de bani care ar rămâne pentru al doilea om, îi dăm 7 monede primului, adică $\,x=B-7$ ${\ displaystyle \, x = B-7}$ ${\ displaystyle \, x = B-7}$ . Dacă primul om, după ce a primit cele 7 monede, are de 5 ori mai mult decât a rămas pentru a doua, atunci $\,A=5x-7$ ${\ displaystyle \, A = 5x-7}$ ${\ displaystyle \, A = 5x-7}$ . Din a doua ecuație a sistemului (1.4), rezultă că $\,x+12=7(5x-12)$ ${\ displaystyle \, x + 12 = 7 (5x-12)}$ ${\ displaystyle \, x + 12 = 7 (5x-12)}$ , acesta este

x+12=35x-84

{\ displaystyle x + 12 = 35x-84}

{\ displaystyle x + 12 = 35x-84}

(1,12)

Deoarece, adăugând sau scăzând aceeași valoare la două cantități egale, egalitatea nu se schimbă, adăugăm 84 de monede și scădem x de pe ambele fețe ale ecuației. (1.12). Se obține

34x\,=\,96

{\ displaystyle 34x \, = \, 96}

{\ displaystyle 34x \, = \, 96}

.

În acest moment este suficient să împărțiți ambele părți la 34 pentru a determina valoarea necunoscutului $\,x=96/34=48/17$ ${\ displaystyle \, x = 96/34 = 48/17}$ ${\ displaystyle \, x = 96/34 = 48/17}$ , din care se are $\,B=167/17$ ${\ displaystyle \, B = 167/17}$ ${\ displaystyle \, B = 167/17}$ Și $\,A=121/17$ ${\ displaystyle \, A = 121/17}$ ${\ displaystyle \, A = 121/17}$ , așa cum am găsit anterior.

Toate problemele și metodele algoritmice propuse de Fibonacci în Liber abaci sunt ilustrate numai prin intermediul descrierilor colocviale, fără a recurge vreodată la formule. Simbolismul algebric inserat în explicațiile anterioare, utilizat pentru o mai bună înțelegere a procedurii soluției, nu există în Liber abaci , la fel ca și reprezentarea grafică a falsi regula, dezvoltată cu metodele geometriei analitice.

O altă metodă, deductibilă din aceasta, este metoda dublei poziții false sau metoda elchataym . Pentru a o contrasta cu aceasta din urmă, metoda actuală se numește metoda simplă de poziționare falsă .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre metoda poziției false Fibonacci

linkuri externe

(EN) Metoda poziției false , a Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.