Metoda de poziție dublă Fibonacci falsă

Metoda dublei poziții false de origine indiană, cunoscută și sub numele de metoda elchataym , permite să se confrunte cu probleme atribuite ecuațiilor liniare ale formei $\,ax=b$ ${\ displaystyle \, ax = b}$ ${\ displaystyle \, ax = b}$ sau forma $\,ax+b=c$ ${\ displaystyle \, ax + b = c}$ ${\ displaystyle \, ax + b = c}$ . În acest articol vedem cum această metodă este expusă în Liber abbaci a lui Leonardo Fibonacci ; ca autor luăm în considerare doar cazurile cu $\,a,b,c>0$ ${\ displaystyle \, a, b, c> 0}$ ${\ displaystyle \, a, b, c> 0}$ ).

Spre deosebire demetoda poziției false , sau regula falsă în elchataym, se aleg în mod arbitrar două „poziții false” din care să se obțină două aproximări distincte ale condiției fixe pe care trebuie să o îndeplinească soluția exactă.

Pentru o mai mare lizibilitate, așa cum se face în general, folosim simbolismul algebric; indicăm cu $fp_{1}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ , $fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ , $a_{1}$ ${\ displaystyle a_ {1}}$ $a_1$ , $a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {2}}$ $a_2$ , $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , v , respectiv cele două poziții false, cele două aproximări, soluția căutată și valoarea cunoscută a condiției pe care soluția o îndeplinește.

Să presupunem, fără a afecta în general, că $fp_{1}<fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {1} <fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {1} <fp_ {2}}$ prin urmare $a_{1}<a_{2}$ ${\ displaystyle a_ {1} <a_ {2}}$ ${\ displaystyle a_ {1} <a_ {2}}$ (fiind, în ecuație $ax+b=c$ ${\ displaystyle ax + b = c}$ ${\ displaystyle ax + b = c}$ , $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ pentru cazurile avute în vedere).

Dorind să rezumăm în formule, elchataym se bazează pe următoarea proporție:

(a_{2}-a_{1})\,:\,(fp_{2}-fp_{1})\,=\,(v-a_{2})\,:\,(s-fp_{2})\;

{\ displaystyle (a_ {2} -a_ {1}) \ ,: \, (fp_ {2} -fp_ {1}) \, = \, (v-a_ {2}) \ ,: \, (s -fp_ {2}) \;}

{\ displaystyle (a_ {2} -a_ {1}) \ ,: \, (fp_ {2} -fp_ {1}) \, = \, (v-a_ {2}) \ ,: \, (s -fp_ {2}) \;}

(1.1)

din care rezultă, prin a patra regulă proporțională , că

s=fp_{2}\,+\,{\frac {(fp_{2}-fp_{1})\,(v-a_{2})}{(a_{2}-a_{1})}}

{\ displaystyle s = fp_ {2} \, + \, {\ frac {(fp_ {2} -fp_ {1}) \, (v-a_ {2})} {(a_ {2} -a_ {1 })}}}

{\ displaystyle s = fp_ {2} \, + \, {\ frac {(fp_ {2} -fp_ {1}) \, (v-a_ {2})} {(a_ {2} -a_ {1 })}}}

(1.2)

Ecuația (1.1) poate fi derivată direct din falsi regula.
Într-adevăr, deoarece pentru fiecare poziție falsă pe care o avem $\,a_{1}:v=fp_{1}:s\;,\;a_{2}:v=fp_{2}:s$ ${\ displaystyle \, a_ {1}: v = fp_ {1}: s \ ;, \; a_ {2}: v = fp_ {2}: s}$ ${\ displaystyle \, a_ {1}: v = fp_ {1}: s \ ;, \; a_ {2}: v = fp_ {2}: s}$ , prin proprietățile proporțiilor, obținem că

a_{2}:fp_{2}=a_{1}:fp_{1}\;

{\ displaystyle a_ {2}: fp_ {2} = a_ {1}: fp_ {1} \;}

{\ displaystyle a_ {2}: fp_ {2} = a_ {1}: fp_ {1} \;}

(a_{2}-a_{1}):(fp_{2}-fp_{1})=a_{2}:fp_{2}=v:s

{\ displaystyle (a_ {2} -a_ {1}) :( fp_ {2} -fp_ {1}) = a_ {2}: fp_ {2} = v: s}

{\ displaystyle (a_ {2} -a_ {1}) :( fp_ {2} -fp_ {1}) = a_ {2}: fp_ {2} = v: s}

și în mod similar

v:s=(v-a_{2}):(s-fp_{2})

{\ displaystyle v: s = (v-a_ {2}) :( s-fp_ {2})}

{\ displaystyle v: s = (v-a_ {2}) :( s-fp_ {2})}

;

prin urmare, pentru proprietatea tranzitivă a relațiilor egale, avem (1.1).

Arătăm cum metoda elchataym poate fi aplicată la rezolvarea ecuațiilor de tip $ax=b$ ${\ displaystyle ax = b}$ ${\ displaystyle ax = b}$ , reconsiderând ca exemplu problema arborelui , adică ecuația $(7/12)h=21$ ${\ displaystyle (7/12) h = 21}$ ${\ displaystyle (7/12) h = 21}$ .

Dacă alegem ${fp}_{1}=h=12$ ${\ displaystyle {fp} _ {1} = h = 12}$ ${\ displaystyle {fp} _ {1} = h = 12}$ ca prima poziție falsă, prima aproximare se dovedește a fi $a_{1}=(7/12)12=7$ ${\ displaystyle a_ {1} = (7/12) 12 = 7}$ ${\ displaystyle a_ {1} = (7/12) 12 = 7}$ , din care urmează prima eroare $e_{1}=b-a_{1}=21-7=14$ ${\ displaystyle e_ {1} = b-a_ {1} = 21-7 = 14}$ ${\ displaystyle e_ {1} = b-a_ {1} = 21-7 = 14}$ . Din a doua poziție falsă $fp_{2}=h=24$ ${\ displaystyle fp_ {2} = h = 24}$ ${\ displaystyle fp_ {2} = h = 24}$ în schimb urmează $a_{2}=(7/12)24=14$ ${\ displaystyle a_ {2} = (7/12) 24 = 14}$ ${\ displaystyle a_ {2} = (7/12) 24 = 14}$ , și a doua greșeală $e_{2}=b-a_{2}=21-14=7$ ${\ displaystyle e_ {2} = b-a_ {2} = 21-14 = 7}$ ${\ displaystyle e_ {2} = b-a_ {2} = 21-14 = 7}$ .

Observăm că, prin creșterea poziției false cu 12, în trecerea de la $fp_{1}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ la $fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ , prin liniaritatea ecuației, eroarea scade cu un factor de 7 din $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ la $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ .

Ne întrebăm cât de mult trebuie să creștem $fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ pentru a obține soluția și a reduce astfel $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ la zero. Cu alte cuvinte, vrem să determinăm $\,(s-fp_{2})$ ${\ displaystyle \, (s-fp_ {2})}$ ${\ displaystyle \, (s-fp_ {2})}$ pe care o satisfaci

7:12=7:(s-fp_{2})\,

{\ displaystyle 7: 12 = 7: (s-fp_ {2}) \,}

{\ displaystyle 7: 12 = 7: (s-fp_ {2}) \,}

(1.3)

Este suficient să aplicați regula trimestrului proporțional pentru a obține

s=fp_{2}+(s-fp_{2})=24+{\frac {12\cdot 7}{7}}=36

{\ displaystyle s = fp_ {2} + (s-fp_ {2}) = 24 + {\ frac {12 \ cdot 7} {7}} = 36}

{\ displaystyle s = fp_ {2} + (s-fp_ {2}) = 24 + {\ frac {12 \ cdot 7} {7}} = 36}

Rețineți că (1.3) este proporția (1.2) aplicată exemplului luat în considerare, deoarece $\,a_{2}-a_{1}=(v-a_{1})-(v-a_{2})=e_{1}-e_{2}$ ${\ displaystyle \, a_ {2} -a_ {1} = (v-a_ {1}) - (v-a_ {2}) = e_ {1} -e_ {2}}$ ${\ displaystyle \, a_ {2} -a_ {1} = (v-a_ {1}) - (v-a_ {2}) = e_ {1} -e_ {2}}$ .

Fixate arbitrar două poziții false, indicăm cu $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ , $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ erorile obținute ca diferență între valoarea cunoscută v și aproximările respective (adică $e_{1}=v-a_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1} = v-a_ {1}}$ ${\ displaystyle e_ {1} = v-a_ {1}}$ , $e_{2}=v-a_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2} = v-a_ {2}}$ ${\ displaystyle e_ {2} = v-a_ {2}}$ ); relația (1.2) poate fi rescrisă ca

s=fp_{2}+{\frac {e_{2}\,(fp_{2}-fp_{1})}{(e_{1}-e_{2})}}

{\ displaystyle s = fp_ {2} + {\ frac {e_ {2} \, (fp_ {2} -fp_ {1})} {(e_ {1} -e_ {2})}}}

{\ displaystyle s = fp_ {2} + {\ frac {e_ {2} \, (fp_ {2} -fp_ {1})} {(e_ {1} -e_ {2})}}}

(1.4)

sau cum

s={\frac {(fp_{2}e_{1}\,-\,fp_{1}e_{2})}{(e_{1}-e_{2})}}

{\ displaystyle s = {\ frac {(fp_ {2} e_ {1} \, - \, fp_ {1} e_ {2})} {(e_ {1} -e_ {2})}}}

{\ displaystyle s = {\ frac {(fp_ {2} e_ {1} \, - \, fp_ {1} e_ {2})} {(e_ {1} -e_ {2})}}}

(1,5)

Această ultimă expresie reprezintă în formulă o variație a metodei elchataym, adică ceea ce Fibonacci prezintă ca metoda „creștere și scădere”. Observăm că, în funcție de alegerea $fp_{1}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ Și $fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ , $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ și $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ pot fi erori prin exces sau prin defect, adică algebric $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ , $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ pot fi cantități negative sau, respectiv, pozitive.

Acest lucru nu creează probleme din punct de vedere algebric. Formulele (1.4), (1.5) au valabilitate generală dacă luăm în considerare $e_{1}$ ${\ displaystyle e_ {1}}$ $e_ {1}$ , $e_{2}$ ${\ displaystyle e_ {2}}$ $e_ {2}$ cu semnele lor respective. Cu toate acestea, este important să subliniem că Fibonacci în Liber abbaci funcționează numai cu numere pozitive (chiar și în primele capitole, introducând operația de scădere, el se ocupă doar de diferențe pozitive între un număr și o secundă minoră); erorile de aproximare sunt considerate doar ca mărimi pozitive și reprezintă, în funcție de alegerea pozițiilor false, excesul sau defectul aproximării în raport cu valoarea cunoscută.

Din acest motiv, în tratamentul elchataym, remediați pozițiile false $fp_{1}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ ${\ displaystyle fp_ {1}}$ , $fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {2}}$ , Fibonacci distinge trei cazuri:

ambele erori sunt implicite (în simboluri $e_{1},e_{2}>0$ ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}> 0}$ ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2}> 0}$ ; cand $fp_{1},fp_{2}<s$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2} <s}$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2} <s}$ )
ambele erori sunt în exces (în simboluri $e_{1},e_{2}<0$ ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2} <0}$ ${\ displaystyle e_ {1}, e_ {2} <0}$ ; cand $fp_{1},fp_{2}>s$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2}> s}$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2}> s}$ )
o eroare este în mod implicit și cealaltă în exces (în simboluri $e_{1}>0,~e_{2}<0$ ${\ displaystyle e_ {1}> 0, ~ e_ {2} <0}$ ${\ displaystyle e_ {1}> 0, ~ e_ {2} <0}$ ; cand $fp_{1}<s<fp_{2}$ ${\ displaystyle fp_ {1} <s <fp_ {2}}$ ${\ displaystyle fp_ {1} <s <fp_ {2}}$ )

Această distincție devine mai relevantă atunci când se introduce metoda „creștere și scădere”.

Arătăm cum acesta din urmă poate fi dedus din elchataym, funcționând, așa cum a propus Fibonacci, cu segmente.

Deosebind și cele trei cazuri anterioare $. la b .$ ${\ displaystyle .ab.}$ ${\ displaystyle .ab.}$ (indicăm segmentele cu notația folosită în traducerea în limba engleză a Liber abbaci editată de Laurence E. Sigler ) soluția exactă a oricărei probleme care poate fi rezolvată cu metoda dublei poziții false.

Cazul 1. $fp_{1},fp_{2}<s$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2} <s}$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2} <s}$

Lasa-i sa fie $. la g .$ ${\ displaystyle .ag.}$ ${\ displaystyle .ag.}$ Și $. la d .$ ${\ displaystyle .ad.}$ ${\ displaystyle .ad.}$ prima și a doua poziție falsă și sunt $. Și z .$ ${\ displaystyle .ez.}$ ${\ displaystyle .ez.}$ Și $. the z .$ ${\ displaystyle .iz.}$ ${\ displaystyle .iz.}$ ca în figura (1.1) erorile de aproximare corespunzătoare.

Atâta timp cât $.ei.=e_{1}-e_{2}$ ${\ displaystyle .ei. = e_ {1} -e_ {2}}$ ${\ displaystyle .ei. = e_ {1} -e_ {2}}$ Și $.gd.=fp_{2}-fp_{1}$ ${\ displaystyle .gd. = fp_ {2} -fp_ {1}}$ ${\ displaystyle .gd. = fp_ {2} -fp_ {1}}$ , aplicând proporția (1.1),

.ei.\,:\,.gd.\,=\,.iz.\,:\,.db.

{\ displaystyle .ei. \ ,: \,. gd. \, = \,. iz. \ ,: \,. db.}

{\ displaystyle .ei. \ ,: \,. gd. \, = \,. iz. \ ,: \,. db.}

(1.6)

din care rezultă $.db..ei.=.gd..iz.$ ${\ displaystyle .db..ei. =. gd..iz.}$ ${\ displaystyle .db..ei. =. gd..iz.}$ . Atunci:

{\begin{matrix}.ez..ad.&=&(.ei.+.iz.).ad.\\\ &=&.ei..ad.+.iz..ad.\\\ &=&.ei..ad.+.iz.(.ag.+.gd.)\\\ &=&.ei..ad.+.iz..ag.+.db..ei.\\\ &=&.ei.(.ad.+.db.)+.iz..ag.\\\ &=&.ei..ab.+.iz..ag.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .ez..ad. & = & (. ei. +. iz.). ad. \\\ & = &. ei..ad. +. iz..ad. \ \\ & = &. ei..ad. +. iz. (. ag. +. gd.) \\\ & = &. ei..ad. +. iz..ag. +. db..ei. \\\ & = &. ei. (. ad. +. db.) +. iz..ag. \\\ & = &. ei..ab. +. iz..ag. \ end {matrix}} }

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .ez..ad. & = & (. ei. +. iz.). ad. \\\ & = &. ei..ad. +. iz..ad. \ \\ & = &. ei..ad. +. iz. (. ag. +. gd.) \\\ & = &. ei..ad. +. iz..ag. +. db..ei. \\\ & = &. ei. (. ad. +. db.) +. iz..ag. \\\ & = &. ei..ab. +. iz..ag. \ end {matrix}} }

acesta este

.ab.=\,{\frac {.ez..ad.-.iz..ag.}{.ei.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}-e_{2}fp_{1}}{e_{1}-e_{2}}}

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.ez..ad .-. iz..ag.} {. ei.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} -e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} -e_ {2}}}}

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.ez..ad .-. iz..ag.} {. ei.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} -e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} -e_ {2}}}}

(1.7)

Cazul 2. $fp_{1},fp_{2}>s\;$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2}> s \;}$ ${\ displaystyle fp_ {1}, fp_ {2}> s \;}$

Este $. la f .$ ${\ displaystyle .af.}$ ${\ displaystyle .af.}$ prima poziție falsă e $. la Și .$ ${\ displaystyle .ae.}$ ${\ displaystyle .ae.}$ este a doua. Lasa-i sa fie $. g the .$ ${\ displaystyle .gi.}$ ${\ displaystyle .gi.}$ Și $. g k .$ ${\ displaystyle .gk.}$ ${\ displaystyle .gk.}$ prima și a doua eroare de aproximare. Deoarece este posibil să se aplice elchataym, trebuie să fie adevărat că

.ki.\,:\,.ef.\,=\,.gk.\,:\,.be.

{\ displaystyle .ki. \ ,: \,. și f. \, = \,. gk. \ ,: \,. be.}

{\ displaystyle .ki. \ ,: \,. și f. \, = \,. gk. \ ,: \,. be.}

(1,8)

din care se are $.ef..gk.=.ki..be.$ ${\ displaystyle .ef..gk. =. ki..be.}$ ${\ displaystyle .ef..gk. =. ki..be.}$

Atunci:

{\begin{matrix}.gi..ae.&=&(.gk.+.ki.).ae.\\\ &=&.gk..ae.+.ki.(.ab.+.be.)\\\ &=&.gk..ae.+.ki..ab.+.ef..gk.\\\ &=&.gk.(.ae.+.ef.)+.ki..ab.\\\ &=&.gk..af.+.ki..ab.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .gi..ae. & = & (. gk. +. ki.). ae. \\\ & = &. gk..ae. +. ki. (. ab. + .be.) \\\ & = &. gk..ae. +. ki..ab. +. ef..gk. \\\ & = &. gk. (. ae. +. ef.) + .ki..ab. \\\ & = &. gk..af. +. ki..ab. \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .gi..ae. & = & (. gk. +. ki.). ae. \\\ & = &. gk..ae. +. ki. (. ab. + .be.) \\\ & = &. gk..ae. +. ki..ab. +. ef..gk. \\\ & = &. gk. (. ae. +. ef.) + .ki..ab. \\\ & = &. gk..af. +. ki..ab. \ end {matrix}}}

acesta este

.ab.=\,{\frac {.gi..ae.-.gk..af.}{.ki.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}-e_{2}fp_{1}}{e_{1}-e_{2}}}

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.gi..ae .-. gk..af.} {. ki.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} -e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} -e_ {2}}}}

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.gi..ae .-. gk..af.} {. ki.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} -e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} -e_ {2}}}}

(1.9)

Cazul 3. $fp_{1}<s<fp_{2}\;$ ${\ displaystyle fp_ {1} <s <fp_ {2} \;}$ ${\ displaystyle fp_ {1} <s <fp_ {2} \;}$

Lasa-i sa fie $. la g .$ ${\ displaystyle .ag.}$ ${\ displaystyle .ag.}$ , $. la d .$ ${\ displaystyle .ad.}$ ${\ displaystyle .ad.}$ , $. Și z .$ ${\ displaystyle .ez.}$ ${\ displaystyle .ez.}$ , $. z the .$ ${\ displaystyle .zi.}$ ${\ displaystyle .zi.}$ , respectiv prima și a doua poziție falsă și prima și a doua eroare de aproximare, ca în figură. Observăm că, în acest caz, pentru metoda „elchataym”, trebuie să se mențină următoarea proporție

.ei.\,:\,.gd.\,=\,.zi.\,:\,.bd.\,

{\ displaystyle .ei. \ ,: \,. gd. \, = \,. zi. \ ,: \,. bd. \,}

{\ displaystyle .ei. \ ,: \,. gd. \, = \,. zi. \ ,: \,. bd. \,}

(1.10)

Unde $. Și the .$ ${\ displaystyle .ei.}$ ${\ displaystyle .ei.}$ este suma celor două erori (prima în mod implicit, a doua prin exces); în mod similar, dacă luați în considerare $(s-fp_{1})$ ${\ displaystyle (s-fp_ {1})}$ ${\ displaystyle (s-fp_ {1})}$ ,

.ei.:.gd.=.ez.:.gb.

{\ displaystyle .ei.:. gd. =. ez.:.gb.}

{\ displaystyle .ei.:. gd. =. ez.:.gb.}

din care rezultă că $.ez..gd.=.gb..ei.$ ${\ displaystyle .ez..gd. =. gb..ei.}$ ${\ displaystyle .ez..gd. =. gb..ei.}$ .

Atunci

{\begin{matrix}.ez..ad.+.zi..ag.&=&.ez..ag.+.ez..gd.+.zi..ag.\\\ &=&.ez..gd.+(.ez.+.zi.).ag.\\\ &=&.ei..gb.+.ei..ag.\\\ &=&.ei.(.gb.+.ag.)\\\ &=&.ei..ab.\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .ez..ad. +. zi..ag. & = &. ez..ag. +. ez..gd. +. zi..ag. \\\ & = & .ez..gd. + (. ez. +. zi.). ag. \\\ & = &. ei..gb. +. ei..ag. \\\ & = &. ei. (. gb. +. ag.) \\\ & = &. ei..ab. \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} .ez..ad. +. zi..ag. & = &. ez..ag. +. ez..gd. +. zi..ag. \\\ & = & .ez..gd. + (. ez. +. zi.). ag. \\\ & = &. ei..gb. +. ei..ag. \\\ & = &. ei. (. gb. +. ag.) \\\ & = &. ei..ab. \ end {matrix}}}

adică se ține de fapt

.ab.=\,{\frac {.ez..ad.+.zi..ag.}{.ei.}}\,={\frac {e_{1}fp_{2}+e_{2}fp_{1}}{e_{1}+e_{2}}}\;

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.ez..ad. +. zi..ag.} {. ei.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} + e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} + e_ {2}}} \;}

{\ displaystyle .ab. = \, {\ frac {.ez..ad. +. zi..ag.} {. ei.}} \, = {\ frac {e_ {1} fp_ {2} + e_ {2} fp_ {1}} {e_ {1} + e_ {2}}} \;}

(1,11)

După cum am văzut, chiar și metoda elchataym, la fel ca falsi regula , se bazează doar pe un argument al proporției (adică (1.1)).

Elchataym-ul poate fi utilizat și pentru rezolvarea problemelor atribuite ecuațiilor liniare ale formei

ax+b=c

{\ displaystyle ax + b = c}

{\ displaystyle ax + b = c}

(1,12)

ca o procedură alternativă la soluția algebrică directă a ecuației.

De fapt, dacă luăm în considerare două poziții false $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ , $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ și le substituim în (1.12), obținând astfel cele două aproximări $c_{1}=ax_{1}+b$ ${\ displaystyle c_ {1} = ax_ {1} + b}$ ${\ displaystyle c_ {1} = ax_ {1} + b}$ , $c_{2}=ax_{2}+b$ ${\ displaystyle c_ {2} = ax_ {2} + b}$ ${\ displaystyle c_ {2} = ax_ {2} + b}$ , observăm că $c_{2}-c_{1}=a(x_{2}-x_{1})$ ${\ displaystyle c_ {2} -c_ {1} = a (x_ {2} -x_ {1})}$ ${\ displaystyle c_ {2} -c_ {1} = a (x_ {2} -x_ {1})}$ , acesta este $a=(c_{2}-c_{1})/(x_{2}-x_{1})$ ${\ displaystyle a = (c_ {2} -c_ {1}) / (x_ {2} -x_ {1})}$ ${\ displaystyle a = (c_ {2} -c_ {1}) / (x_ {2} -x_ {1})}$ Și $b=c_{2}-x_{2}(c_{2}-c_{1})/(x_{2}-x_{1})$ ${\ displaystyle b = c_ {2} -x_ {2} (c_ {2} -c_ {1}) / (x_ {2} -x_ {1})}$ ${\ displaystyle b = c_ {2} -x_ {2} (c_ {2} -c_ {1}) / (x_ {2} -x_ {1})}$ . Plasând valorile găsite pentru a și b în (1.12), rezultă că

x=x_{2}+(c-c_{2})\left({\frac {x_{2}-x_{1}}{c_{2}-c_{1}}}\right)

{\ displaystyle x = x_ {2} + (c-c_ {2}) \ left ({\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {c_ {2} -c_ {1}}} \ right) }

{\ displaystyle x = x_ {2} + (c-c_ {2}) \ left ({\ frac {x_ {2} -x_ {1}} {c_ {2} -c_ {1}}} \ right) }

(1,13)

complet analog cu (1.2).

Reprezentarea grafică a metodei elchataym

Aplicarea metodei elchataym pentru rezolvarea ecuației. (1.12) poate fi reprezentat grafic cu instrumentele geometriei analitice .

Desenăm graficul liniei $y=ax+b$ ${\ displaystyle y = ax + b}$ ${\ displaystyle y = ax + b}$ (luăm în considerare doar cazul $a,b>0$ ${\ displaystyle a, b> 0}$ $a, b> 0$ iar pentru comoditate considerăm doar punctele pozitive x abscisă); vrem să determinăm valoarea exactă $x=s$ ${\ displaystyle x = s}$ ${\ displaystyle x = s}$ astfel încât $as+b=c$ ${\ displaystyle as + b = c}$ ${\ displaystyle as + b = c}$ , cu c atașat.

A ales în mod arbitrar cele două poziții false $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ , $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ și calculați aproximările respective sau ordonatele corespunzătoare $c_{1}=y(x_{1})$ ${\ displaystyle c_ {1} = y (x_ {1})}$ ${\ displaystyle c_ {1} = y (x_ {1})}$ , $c_{2}=y(x_{2})$ ${\ displaystyle c_ {2} = y (x_ {2})}$ ${\ displaystyle c_ {2} = y (x_ {2})}$ , distingem cele trei cazuri:

de sine $x_{1}<x_{2}<s$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <s}$ ${\ displaystyle x_ {1} <x_ {2} <s}$
de sine $s<x_{1}<x_{2}$ ${\ displaystyle s <x_ {1} <x_ {2}}$ ${\ displaystyle s <x_ {1} <x_ {2}}$
de sine $x_{1}<s<x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {1} <s <x_ {2}}$ ${\ displaystyle x_ {1} <s <x_ {2}}$

Să luăm în considerare cazul 1.

După cum se poate vedea din figură, deoarece segmentul BE este paralel cu segmentul AF și BC este paralel cu DF , triunghiurile ABC și BDE au unghiuri congruente și, prin urmare, sunt similare . Asta presupune că