Piramida (geometrie)

Geometria piramidei
S = vârf; SO = înălțime

În geometrie , o piramidă ^[1] este definită ca un poliedru identificat printr-o față poligonală numită bază și printr-un vârf care nu se află pe planul bazei și care este uneori numit vârful piramidei . Marginile sale sunt laturile poligonului de bază și segmentele delimitate de vârf și de fiecare vârf al bazei. Sunt fețe ale piramidei baza acesteia și fețe triunghiulare (fețe laterale apelate) care au ca vârf vârful.

Definiții

O piramidă bazată pe un poligon de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ laturi ( $n=3,4,\ldots$ ${\ displaystyle n = 3,4, \ ldots}$ ${\ displaystyle n = 3,4, \ ldots}$ ) se numește piramidă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -gonal și are $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ fețe, $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ margini ed $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ vârfuri.

Înălțimea unei piramide este segmentul care are un capăt la vârf și cade ortogonal pe planul care conține baza.

Piramidele pot fi drepte : un cerc poate fi înscris în bază, iar piciorul înălțimii se află în centrul cercului respectiv.

Într-o piramidă dreaptă, se spune că fiecare segment care își unește perpendicular vârful cu partea sa de bază, adică lungimea lor comună, este apotem . Apotema de bază este raza cercului înscris în poligonul de bază.

O piramidă este convexă dacă și numai dacă poligonul de bază este convex. O piramidă oblică este uneori numită piramidă a cărei înălțime cade în afara poligonului de bază (sau a plicului său convex ).

Cele mai considerate piramide sunt cele care au ca bază un poligon regulat și a căror înălțime cade în centrul poligonului respectiv. O astfel de piramidă este uneori numită piramidă simetrică (sau piramidă regulată ); are de fapt simetria ridicată a poligonului de bază. Adesea prin piramidă înțelegem, prin definiție, o piramidă simetrică cu o bază pătrată.

Singurele piramide care sunt, de asemenea, poliedre regulate sunt tetraedrele care au baze triunghiulare și fețe laterale și toate la fel.

Secando o piramidă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ cu un plan paralel cu baza lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , și păstrând partea dintre planul bazei și cel al secțiunii, avem așa-numita piramidă trunchiată (sau piramidă trunchiată). În acest fel, între planul bazei și cel al secțiunii există o corespondență unu-la-unu, numită omotitate .

Fețele laterale ale piramidei trunchiate sunt trapezoide .

Măsurătorile piramidei

Zonă

Zona laterală pentru piramidele drepte este

A={\frac {pa}{2}},

{\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}},}

{\ displaystyle A = {\ frac {pa} {2}},}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este perimetrul de bază e $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este apotema piramidei.

Suprafața totală este calculată ca: Suprafață de bază + Suprafață laterală.

Volum

Volumul unei piramide generice este egal cu o treime din produsul zonei de bază prin măsurarea înălțimii. Spus $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ volumul, $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ zona de bază e $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ înălțimea se calculează ca:

V={\frac {Bh}{3}}.

{\ displaystyle V = {\ frac {Bh} {3}}.}

{\ displaystyle V = {\ frac {Bh} {3}}.}

Adică, volumul piramidei este 1/3 din cel al unei prisme cu aceeași înălțime și bază. Această formulă a fost teorema 7 a cărții a XII-a a Elementelor lui Euclid și a fost demonstrată prin metoda epuizării (astăzi am spune cu calculul infinitesimal).

Demonstrație

Imaginând să disecăm cele două solide (piramida și prisma cu aceeași bază și aceeași înălțime) cu planuri paralele cu bazele la o distanță infinitesimală $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ unul din celălalt, volumul se obține din suma integrală a produsului din aria fiecărei secțiuni înmulțită cu grosimea $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ .

Indicând cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ distanța dintre planul secțiunii și vârful piramidei, este sigur să spunem că aria secțiunii piramidei este proporțională cu pătratul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , acesta este:

S(x)=kx^{2}

{\ displaystyle S (x) = kx ^ {2}}

{\ displaystyle S (x) = kx ^ {2}}

prin urmare

S(h)=B=kh^{2}

{\ displaystyle S (h) = B = kh ^ {2}}

{\ displaystyle S (h) = B = kh ^ {2}}

în timp ce aria secțiunilor de prismă rămâne întotdeauna egală cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Calculând integralele obținem:

volumul prismei:

\int _{0}^{h}B\,dx=Bh=kh^{3}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} B \, dx = Bh = kh ^ {3}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} B \, dx = Bh = kh ^ {3}}

volumul piramidei:

\int _{0}^{h}kx^{2}\,dx={\frac {kh^{3}}{3}}={\frac {Bh}{3}}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} kx ​​^ {2} \, dx = {\ frac {kh ^ {3}} {3}} = {\ frac {Bh} {3}}. }

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} kx ​​^ {2} \, dx = {\ frac {kh ^ {3}} {3}} = {\ frac {Bh} {3}}. }

Cub împărțit în trei piramide egale.

Cub explodat. Volumul unei piramide egal cu o treime din cub.

Puteți vedea o demonstrație grafică a faptului că o piramidă ocupă o treime din volumul prismei care o conține. Lucrul este deosebit de simplu pornind de la un cub și împărțindu-l în trei piramide egale, așa cum se vede în figura din lateral.

Dintr-un vârf al cubului sunt trasate cele patru diagonale care unesc vârful cu cele trei fețe opuse.

În cazul figurii, vedem vârful superior în prim-plan care unește fața inferioară, fața din spate și fața laterală. Se formează trei piramide, fiecare cu o bază (pătrată) care coincide cu o față (ascunsă) a cubului, cu două dintre fețele laterale (fiecare coincidând cu jumătate din fața cubului) formate din triunghiuri unghiulare ortogonale cu baza , și cu celelalte două fețe (în interiorul cubului), delimitate de diagonalele feței și diagonala principală a cubului.

Înălțimea fiecărei piramide coincide cu o parte a cubului.

Prin urmare, vedem că cele trei piramide sunt exact aceleași și împreună constituie cubul de pornire.

Prin urmare, au un volum egal cu 1/3 din cel al cubului.

Pentru a extinde rezultatul la o piramidă de orice formă, precum și la volumul conului în raport cu cilindrul care îl conține, putem folosi principiul Cavalieri .