Metoda indivizibilului

Ilustrația principiului lui Cavalieri: două grămezi de jetoane de același volum decupate din secțiuni plane paralele de zonă egală.

În matematică, metoda indivizibilă este o procedură introdusă în anii de după 1640 de Bonaventura Cavalieri pentru calculul suprafețelor și volumelor și care a contribuit la dezvoltarea calculului integral . Poate fi derivat din principiul Cavalieri :

" Dacă două solide au înălțime egală și dacă secțiunile tăiate de planuri paralele cu bazele și la fel de îndepărtate de ele sunt întotdeauna într-o relație dată, volumele de solide vor fi, de asemenea, în această relație. "

Această afirmație, cunoscută și sub numele de principiul indivizibil al Cavalerilor , conține în sine elemente de bază ale calculului integral . Termenul folosit de Cavalieri, indivizibil , ar putea fi tradus cu expresia modernă a unei figuri geometrice de grosime infinitesimală . Pentru a încerca să justificăm această afirmație, observăm cum a dovedit o teoremă care, folosind notația de calcul , este echivalentă cu formula modernă:

\int _{0}^{a}x^{n}\,dx={\frac {a^{n+1}}{n+1}}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {n} \, dx = {\ frac {a ^ {n + 1}} {n + 1}}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x ^ {n} \, dx = {\ frac {a ^ {n + 1}} {n + 1}}.}

Să vedem în plan, pentru orice eventualitate $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ : pentru a demonstra această formulă a comparat puterile segmentelor unui paralelogram paralel cu bazele cu puterile corespunzătoare ale segmentelor unuia sau altuia dintre cele două triunghiuri în care diagonala împarte paralelogramul.

Paralelogramul $LA F. D. C.$ ${\ displaystyle AFDC}$ ${\ displaystyle AFDC}$ este împărțit la diagonală $C. F.$ ${\ displaystyle CF}$ $CF$ în două triunghiuri și se consideră segmentul $H. ȘI$ ${\ displaystyle HE}$ ${\ displaystyle HE}$ numindu-l indivizibil de triunghi $C. D. F.$ ${\ displaystyle CDF}$ ${\ displaystyle CDF}$ paralel cu baza $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ . Luând $BC=FE$ ${\ displaystyle BC = FE}$ ${\ displaystyle BC = FE}$ și complot $B. M.$ ${\ displaystyle BM}$ ${\ displaystyle BM}$ paralel cu $C. D.$ ${\ displaystyle CD}$ $CD$ se identifică un indivizibil $B. M.$ ${\ displaystyle BM}$ ${\ displaystyle BM}$ a triunghiului $LA C. F.$ ${\ displaystyle ACF}$ ${\ displaystyle ACF}$ pe care se poate suprapune $H. ȘI$ ${\ displaystyle HE}$ ${\ displaystyle HE}$ și deci echivalent cu acesta.

Este posibil să cuplăm toate indivizibilele conținute în triunghi $C. D. F.$ ${\ displaystyle CDF}$ ${\ displaystyle CDF}$ cu corespondenții indivizibili egali cuprinși în triunghi $LA C. F.$ ${\ displaystyle ACF}$ ${\ displaystyle ACF}$ ; cele două triunghiuri au deci arii egale. Deoarece paralelogramul este suma indivizibilelor conținute în cele două triunghiuri, este clar că suma primelor puteri ale segmentelor cuprinse într-unul dintre cele două triunghiuri componente este egală cu jumătatea sumei primelor puteri ale segmentelor conținute în paralelogram: în termeni moderni :: $\int _{0}^{a}x\,dx={\frac {a^{2}}{2}}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x \, dx = {\ frac {a ^ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a} x \, dx = {\ frac {a ^ {2}} {2}}}$ .

Cu un raționament similar Cavalieri a dovedit că suma pătratelor segmentelor dintr-un triunghi era 1/3 din suma pătratelor conținute în paralelogram; pentru cuburi, el a arătat că raportul a fost 1/4, până la declarația generală pentru puterile n- 1647 .

Această teoremă a pregătit calea pentru numeroase proceduri eficiente de calcul ( algoritmi ) de zone și volume, proceduri încadrate ulterior în calcul infinitesimal.

Câteva exemple de calcul pot fi făcute folosind metoda indivizibilă: am văzut cum Cavalieri considera o figură plană convexă constituită din acordurile infinite pe care le interceptează pe un pachet de linii paralele și, ulterior, fiecare dintre aceste acorduri ca un dreptunghi având pentru baza șirului și o înălțime foarte mică (în limbajul modern fiecare indivizibil este reprezentat de produs $f(x)dx$ ${\ displaystyle f (x) dx}$ ${\ displaystyle f (x) dx}$ , care reprezintă aria dreptunghiului de bază $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ și înălțime $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ ). În același mod, el a considerat un solid convex așa cum este constituit din secțiuni cu un sistem de planuri paralele care numesc indivizibil cilindrul având ca bază secțiunea și înălțimea foarte mică.

Exemplul 1: aria triunghiului

Un indivizibil este un acord paralel cu baza. Indivizibilul îndepărtat $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din vârf putem scrie în funcție de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (adică este una $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ ).

Din cauza asemănării triunghiurilor $LA C. B.$ ${\ displaystyle ACB}$ $ACB$ Și $D. C. ȘI$ ${\ displaystyle DCE}$ ${\ displaystyle DCE}$ avem:

AB:CH=DE:CK

{\ displaystyle AB: CH = DE: CK}

{\ displaystyle AB: CH = DE: CK}

acesta este

b:h=f(x):x

{\ displaystyle b: h = f (x): x}

{\ displaystyle b: h = f (x): x}

asa de

f(x)={\frac {b\cdot x}{h}}.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {b \ cdot x} {h}}.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {b \ cdot x} {h}}.}

Aria indivizibilului este ${\frac {b\cdot x}{h}}\,dx$ ${\ displaystyle {\ frac {b \ cdot x} {h}} \, dx}$ ${\ displaystyle {\ frac {b \ cdot x} {h}} \, dx}$ . Aria ABC este suma ariilor indivizibile astfel obținute, ca variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la catre $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , acesta este:

\int _{0}^{h}{\frac {b}{h}}\cdot x\,dx={\frac {b}{h}}\cdot \int _{0}^{h}x\,dx={\frac {b}{h}}\cdot {\frac {1}{2}}\cdot h^{2}={\frac {1}{2}}\cdot b\cdot h

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {b} {h}} \ cdot x \, dx = {\ frac {b} {h}} \ cdot \ int _ {0} ^ { h} x \, dx = {\ frac {b} {h}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot h ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ cdot b \ cdot h}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} {\ frac {b} {h}} \ cdot x \, dx = {\ frac {b} {h}} \ cdot \ int _ {0} ^ { h} x \, dx = {\ frac {b} {h}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ cdot h ^ {2} = {\ frac {1} {2}} \ cdot b \ cdot h}

care este formula cunoscută a ariei triunghiului.

Exemplul 2: Volumul conului

Un indivizibil este un cerc paralel cu baza, distant $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la vârf, de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ ( $=f(x)$ ${\ displaystyle = f (x)}$ ${\ displaystyle = f (x)}$ ).

Prin similitudine avem:

r:h=f(x):x

{\ displaystyle r: h = f (x): x}

{\ displaystyle r: h = f (x): x}

din care se obține

f(x)={\frac {r}{h}}\cdot x.

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {r} {h}} \ cdot x.}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {r} {h}} \ cdot x.}

Volumul acestui indivizibil este cel al cilindrului cu rază de bază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și înălțime $d X$ ${\ displaystyle dx}$ $dreapta$ : Volumul conului este dat de suma tuturor indivizibililor astfel obținuți, ca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la catre $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ , acesta este:

\int _{0}^{h}\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\cdot x^{2}\,dx=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,dx=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}{\frac {1}{3}}h^{3}={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} \ pi {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ cdot x ^ {2} \, dx = \ pi {\ frac { r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} x ^ {2} \, dx = \ pi {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2 }}} {\ frac {1} {3}} h ^ {3} = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {h} \ pi {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ cdot x ^ {2} \, dx = \ pi {\ frac { r ^ {2}} {h ^ {2}}} \ int _ {0} ^ {h} x ^ {2} \, dx = \ pi {\ frac {r ^ {2}} {h ^ {2 }}} {\ frac {1} {3}} h ^ {3} = {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} h.}

Exemplul 3: Volumul sferei

Un indivizibil, un cerc paralel cu cercul mare, îndepărtat $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la suprafața sferică, are rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ care poate fi calculat folosind teorema lui Pitagora :

R^{2}=r^{2}-(r-x)^{2}=2rx-x^{2}.

{\ displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} - (rx) ^ {2} = 2rx-x ^ {2}.}

{\ displaystyle R ^ {2} = r ^ {2} - (r-x) ^ {2} = 2rx-x ^ {2}.}

Volumul indivizibilului este cel al cilindrului cu aceeași rază de bază și înălțime dreaptă:

\pi (2rx-x^{2})\,dx.

{\ displaystyle \ pi (2rx-x ^ {2}) \, dx.}

{\ displaystyle \ pi (2rx-x ^ {2}) \, dx.}

Volumul sferei este dublu față de suma tuturor indivizibililor astfel obținuți ca valoare a $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de la catre $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , acesta este:

2\int _{0}^{r}\pi (2rx-x^{2})\,dx=4\pi r\int _{0}^{r}x\,dx-2\pi \int _{0}^{r}x^{2}\,dx=4\pi r{\frac {r^{2}}{2}}-2\pi {\frac {r^{3}}{3}}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.

{\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {r} \ pi (2rx-x ^ {2}) \, dx = 4 \ pi r \ int _ {0} ^ {r} x \, dx-2 \ pi \ int _ {0} ^ {r} x ^ {2} \, dx = 4 \ pi r {\ frac {r ^ {2}} {2}} - 2 \ pi {\ frac {r ^ {3 }} {3}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

{\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^ {r} \ pi (2rx-x ^ {2}) \, dx = 4 \ pi r \ int _ {0} ^ {r} x \, dx-2 \ pi \ int _ {0} ^ {r} x ^ {2} \, dx = 4 \ pi r {\ frac {r ^ {2}} {2}} - 2 \ pi {\ frac {r ^ {3 }} {3}} = {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}.}

Emisferă și solidă cu secțiuni din aceeași zonă

Volumul emisferei este

{\frac {2}{3}}\pi r^{3}=\pi r^{3}-{\frac {1}{3}}\pi r^{3}

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} = \ pi r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3}}

{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ pi r ^ {3} = \ pi r ^ {3} - {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {3}}

adică este diferența dintre volumul unui cilindru și un con ambele având raza bazei și înălțimea egală cu raza sferei; disecând cele trei solide cu același plan variabil, există trei zone din care cea a cilindrului este suma celorlalte două.

Calculele volumului sferei de către Galileo și Torricelli se bazează pe aceste calcule.

Bibliografie

( LA ) Bonaventura Cavalieri , Exercitationes geometricae sex , Bologna, Monti, 1647.
( EN ) Enrico Giusti , Bonaventura Cavalieri și Theory of Indivisibles , Bologna, Cremonese, 1980.
Amir Alexander, infinit de mic. Teoria matematică la baza lumii moderne , Torino, Codice edizioni, 2015, ISBN 978-887578544-4 .
Umberto Bottazzini, Infinito , Bologna , il Mulino, 2018, ISBN 978-88-15-26735-1 .

Elemente conexe

Problema inelului servetelului

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre metoda indivizibilului

linkuri externe

( EN ) Metoda indivizibilului , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Principiul lui Cavalieri , în MathWorld Wolfram Research.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 38943

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică