Con

În geometrie , conul este un solid de rotație care se obține prin rotirea unui triunghi dreptunghiular în jurul unuia dintre picioarele sale. Axa conului este catetul în jurul căruia este construit solidul; baza conului este și cercul obținut prin rotația celuilalt catet. În cele din urmă, vârful conului este punctul axei opus celui al intersecției cu baza sa.

Adjectivul care definește obiectele de natură conică este conic ; din aceasta derivă și așa-numitele curbe conice și figuri plane , adică rezultate din intersecția unui plan cu un con.

În matematică un con poate fi considerat ca o piramidă cu o bază circulară, având astfel un număr infinit de fețe oblice.

Ilustrație referitoare la un articol intitulat Problemata matematica ... publicat în Acta Eruditorum în 1734

Nomenclatură

Con circular drept (stânga) și con circular circular oblic (dreapta). În prima, apotema este colorată în galben. În al doilea, înălțimea

h

{\ displaystyle h}

h

nu cade în centrul cercului de bază, fiind axa

la

{\ displaystyle a}

la

nu ortogonale. Apotema este de culoare galbenă.

Un con al cărui vârf este tăiat de un plan paralel cu baza sa se numește con trunchiat . Termenul con este uneori extins la cifre mai generale:

Un con eliptic este un con care are o elipsă ca secțiune dreaptă. În mod similar, un con circular are un cerc.
Un con oblic este un con care nu are o axă ortogonală la bază. Un con drept are o axă ortogonală. Cu referire la secțiunea dreaptă, nu există conuri oblice, dar toate sunt drepte. ^[1]
Un con echilateral este un con care are apotema echivalentă cu diametrul bazei.

Termenul "con" fără alte specificații indică, în general, un con circular drept.

Formule

Volum

Volumul $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a unui con cu înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ și cu baza de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și ${1 \over 3}$ ${\ displaystyle {1 \ peste 3}}$ ${\ displaystyle {1 \ peste 3}}$ a volumului cilindrului care are aceleași dimensiuni. Prin urmare:

V={\pi \cdot r^{2}\cdot h \over 3}.

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h \ peste 3}.}

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h \ peste 3}.}

Dacă baza este eliptică de semi-axe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ :

V={\pi \cdot XY\cdot h \over 3}.

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot XY \ cdot h \ over 3}.}

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot XY \ cdot h \ over 3}.}

Volumul conului poate fi calculat prin intermediul calculului integral ca volum al solidului obținut prin rotația unei linii drepte $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ ${\ displaystyle y = mx}$ cu coeficient unghiular pozitiv (pentru simplitate care trece prin originea axelor) în jurul axei absciselor. Avem:

V=\int _{0}^{h}\pi (mx)^{2}dx,

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} \ pi (mx) ^ {2} dx,}

{\ displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} \ pi (mx) ^ {2} dx,}

V={\pi \cdot m^{2}\cdot h^{3} \over 3}.

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot m ^ {2} \ cdot h ^ {3} \ over 3}.}

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot m ^ {2} \ cdot h ^ {3} \ over 3}.}

Fiind $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ unghiul acut format de linia dreaptă $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ ${\ displaystyle y = mx}$ cu axa abscisei, din considerații trigonometrice avem că:

r=h\cdot \tan \gamma ,

{\ displaystyle r = h \ cdot \ tan \ gamma,}

{\ displaystyle r = h \ cdot \ tan \ gamma,}

iar din moment ce coeficientul unghiular $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este egal cu tangenta raportorului lui $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ , pătrând ambele părți ale ecuației anterioare avem:

r^{2}=m^{2}h^{2},

{\ displaystyle r ^ {2} = m ^ {2} h ^ {2},}

{\ displaystyle r ^ {2} = m ^ {2} h ^ {2},}

din care obținem:

V={\pi \cdot r^{2}\cdot h \over 3}.

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h \ peste 3}.}

{\ displaystyle V = {\ pi \ cdot r ^ {2} \ cdot h \ peste 3}.}

Suprafața totală a suprafeței conice

Suprafața totală $S_{t}$ ${\ displaystyle S_ {t}}$ $S_ {t}$ a unei suprafețe conice este dată de suma ariei bazei $S_{b}$ ${\ displaystyle S_ {b}}$ ${\ displaystyle S_ {b}}$ cu zona laterală $S_{l}$ ${\ displaystyle S_ {l}}$ ${\ displaystyle S_ {l}}$ :

S_{t}=S_{b}+S_{l}

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {b} + S_ {l}}

{\ displaystyle S_ {t} = S_ {b} + S_ {l}}

unde este:

S_{b}=\pi \cdot r^{2}

{\ displaystyle S_ {b} = \ pi \ cdot r ^ {2}}

{\ displaystyle S_ {b} = \ pi \ cdot r ^ {2}}

S_{l}=\pi \cdot r\cdot a

{\ displaystyle S_ {l} = \ pi \ cdot r \ cdot a}

{\ displaystyle S_ {l} = \ pi \ cdot r \ cdot a}

după ce am definit apotema $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ a conului ca

a={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}

.

Înlocuind formula, obținem în cele din urmă:

S_{t}=\pi r(r+a)

{\ displaystyle S_ {t} = \ pi r (r + a)}

{\ displaystyle S_ {t} = \ pi r (r + a)}

În general, dacă conul are orice formă (conul, piramida etc. sunt cazuri speciale) de vârf $V=(0,0,h)$ ${\ displaystyle V = (0,0, h)}$ ${\ displaystyle V = (0,0, h)}$ și ecuația polară de bază $R=R(\vartheta )$ ${\ displaystyle R = R (\ vartheta)}$ ${\ displaystyle R = R (\ vartheta)}$ , formula pentru calcularea suprafeței laterale devine:
$S_{l}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }\!\!\!{\sqrt {{[R(\vartheta )]}^{4}+{[R(\vartheta )]}^{2}h^{2}+{[R'(\vartheta )]}^{2}h^{2}}}\,d\vartheta$ ${\ displaystyle S_ {l} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! \! \! {\ sqrt {{[R (\ vartheta)]} ^ {4} + {[R (\ vartheta)]} ^ {2} h ^ {2} + {[R '(\ vartheta)]} ^ {2} h ^ {2}}} \, d \ vartheta}$ ${\ displaystyle S_ {l} = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \! \! \! {\ sqrt {{[R (\ vartheta)]} ^ {4} + {[R (\ vartheta)]} ^ {2} h ^ {2} + {[R '(\ vartheta)]} ^ {2} h ^ {2}}} \, d \ vartheta}$

Centrul masei

Centrul de masă al unui con de densitate uniformă se află pe axă, la înălțime ${1 \over 4}h$ ${\ displaystyle {1 \ over 4} h}$ ${\ displaystyle {1 \ over 4} h}$ , începând de la bază.