Formula Viète

Formula lui Viète, după cum sa raportat în Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII (1593)

În matematică , formula lui Viète , numită astfel în onoarea matematicianului francez François Viète (1540-1603), este următoarea reprezentare prin produsul infinit al constantei matematice π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2} } {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2} } {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

Expresia din dreapta trebuie înțeleasă ca o expresie limitativă (pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ $n \ rightarrow \ infty$ )

\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{i=1}^{n}{a_{i} \over 2}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {a_ {i} \ over 2}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {a_ {i} \ over 2}}

unde a _n este radicalul pătratic dat de formula recursivă $a_{n}={\sqrt {2+a_{n-1}}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = {\ sqrt {2 + a_ {n-1}}}}$ ${\ displaystyle a_ {n} = {\ sqrt {2 + a_ {n-1}}}}$ cu stare inițială $a_{1}={\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$ .

Demonstrație

Să luăm în considerare formula de duplicare pentru funcția sinus

\,\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)

{\ displaystyle \, \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)}

{\ displaystyle \, \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)}

.

Să-l aplicăm de două ori pentru a exprima sinusul unghiului cvadruplu

\,\sin(4x)=2\sin(2x)\cos(2x)=4\sin(x)\cos(x)\cos(2x)

{\ displaystyle \, \ sin (4x) = 2 \ sin (2x) \ cos (2x) = 4 \ sin (x) \ cos (x) \ cos (2x)}

{\ displaystyle \, \ sin (4x) = 2 \ sin (2x) \ cos (2x) = 4 \ sin (x) \ cos (x) \ cos (2x)}

.

Aplicându-l în mod repetat, se obține identitatea

{{\sin(2^{n}x)} \over {2^{n}\sin(x)}}=\prod _{i=0}^{n-1}\cos(2^{i}x)

{\ displaystyle {{\ sin (2 ^ {n} x)} \ over {2 ^ {n} \ sin (x)}} = \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {i} x)}

{\ displaystyle {{\ sin (2 ^ {n} x)} \ over {2 ^ {n} \ sin (x)}} = \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} \ cos (2 ^ {i} x)}

valabil pentru toate numerele întregi pozitive n (dovada detaliată se obține cu schema de dovezi prin inducție ). Setând y: = x 2 ⁿ și împărțind ambele părți la cos ( y / 2) obținem

{{\sin(y)} \over {\cos({y \over 2})}}\cdot {1 \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).

{\ displaystyle {{\ sin (y)} \ over {\ cos ({y \ over 2})}} \ cdot {1 \ over {2 ^ {n} \ sin ({y \ over {2 ^ {n }}})}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ cos \ left ({y \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right).}

{\ displaystyle {{\ sin (y)} \ over {\ cos ({y \ over 2})}} \ cdot {1 \ over {2 ^ {n} \ sin ({y \ over {2 ^ {n }}})}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ cos \ left ({y \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right).}

Folosind din nou formula de duplicare sin y = 2sin ( y / 2) cos ( y / 2) obținem

{{2\sin({y \over 2})} \over {2^{n}\sin({y \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=1}^{n-1}\cos \left({y \over {2^{i+1}}}\right).

{\ displaystyle {{2 \ sin ({y \ over 2})} \ over {2 ^ {n} \ sin ({y \ over {2 ^ {n}}})}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ cos \ left ({y \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right).}

{\ displaystyle {{2 \ sin ({y \ over 2})} \ over {2 ^ {n} \ sin ({y \ over {2 ^ {n}}})}}} = \ prod _ {i = 1} ^ {n-1} \ cos \ left ({y \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right).}

În cazul particular y = π se obține identitatea

{2 \over {2^{n}\sin({\pi  \over {2^{n}}})}}=\prod _{i=2}^{n}\cos \left({\pi  \over {2^{i}}}\right)\ .

{\ displaystyle {2 \ over {2 ^ {n} \ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = \ prod _ {i = 2} ^ {n} \ cos \ left ( {\ pi \ over {2 ^ {i}}} \ right) \.}

{\ displaystyle {2 \ over {2 ^ {n} \ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = \ prod _ {i = 2} ^ {n} \ cos \ left ( {\ pi \ over {2 ^ {i}}} \ right) \.}

Rămâne să legăm factorii celui de-al doilea membru al acestei identități cu termenii a _n introduși inițial. Folosind formula de bisecție a unghiului pentru cosinus ,

2\cos(x/2)={\sqrt {2+2\cos x}},

{\ displaystyle 2 \ cos (x / 2) = {\ sqrt {2 + 2 \ cos x}},}

{\ displaystyle 2 \ cos (x / 2) = {\ sqrt {2 + 2 \ cos x}},}

rezultă că $b_{i}:=2\cos \left({\pi \over {2^{i+1}}}\right)$ ${\ displaystyle b_ {i}: = 2 \ cos \ left ({\ pi \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right)}$ ${\ displaystyle b_ {i}: = 2 \ cos \ left ({\ pi \ over {2 ^ {i + 1}}} \ right)}$ satisface formula recursivă $\,b_{i+1}={\sqrt {2+b_{i}}}$ ${\ displaystyle \, b_ {i + 1} = {\ sqrt {2 + b_ {i}}}}$ ${\ displaystyle \, b_ {i + 1} = {\ sqrt {2 + b_ {i}}}}$ cu stare inițială $b_{1}=2\cos \left({\pi \over 4}\right)={\sqrt {2}}=a_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1} = 2 \ cos \ left ({\ pi \ over 4} \ right) = {\ sqrt {2}} = a_ {1}}$ ${\ displaystyle b_ {1} = 2 \ cos \ left ({\ pi \ over 4} \ right) = {\ sqrt {2}} = a_ {1}}$ . Prin urmare a _n = b _n pentru toate numerele întregi pozitive n .

Formula Viète urmează luând în considerare limita n → ∞. Observăm de fapt că

\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over {2^{n}\sin({\pi  \over {2^{n}}})}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{2 \over \pi }\cdot {{\pi  \over 2^{n}} \over {\sin({\pi  \over {2^{n}}})}}={2 \over \pi }

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {2 \ over {2 ^ {n} \ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {2 \ over \ pi} \ cdot {{\ pi \ over 2 ^ {n}} \ over {\ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = {2 \ peste \ pi}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {2 \ over {2 ^ {n} \ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {2 \ over \ pi} \ cdot {{\ pi \ over 2 ^ {n}} \ over {\ sin ({\ pi \ over {2 ^ {n}}})}} = {2 \ peste \ pi}}

ca o consecință a limitei notabile $\lim _{x\rightarrow 0}\,{x \over {\sin x}}=1$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} \, {x \ over {\ sin x}} = 1}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow 0} \, {x \ over {\ sin x}} = 1}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică