Curba eliptică

Având în vedere două puncte P și Q ale unei curbe eliptice, P + Q se obține prin efectuarea procesului descris în figură

În matematică , o curbă eliptică este o curbă algebrică proiectivă de gen netedă $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ definit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , pe care este specificat un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ . Mai mult, fiecare curbă eliptică are o lege a compoziției interne (în general indicată de simbol $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ) cu privire la care este un grup abelian cu un element neutru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ ; în consecință, curbele eliptice sunt varietăți abeliene de dimensiune $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Orice curbă eliptică definită pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (cu alte caracteristici decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ și din $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ ) poate fi scris ca o curbă algebrică plană definită printr-o ecuație, numită ecuația Weierstrass , de forma:

y^{2}=x^{3}+ax+b

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}

y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b

cu $a,b\in K$ ${\ displaystyle a, b \ în K}$ $a, b \ în K.$ , astfel încât să fie non-singular . Adică curba nu trebuie să aibă vârfuri sau intersecții de sine (atunci când caracteristica câmpului este 2 sau 3 ecuația nu este suficient de generală pentru a conține toate curbele cubice care nu sunt singulare; pentru mai multe informații despre aceasta, a se vedea discuția de mai jos: câmpuri arbitrare ).

De sine $y^{2}=P(x)$ ${\ displaystyle y ^ {2} = P (x)}$ $y ^ {2} = P (x)$ , Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un polinom de grad $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ sau $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ fără rădăcini coincidente, se obține o curbă non-singulară a planului de gen $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Mai general, intersecția a două cvadrice tridimensionale generează o curbă de gen eliptică $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Se arată că curbele eliptice definite pe câmpul complex corespund cu imersiunile torului ascuțit (adică pe care se alege un punct special) $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ ) în planul proiectiv complex; astfel de imersii se generalizează în câmpuri arbitrare. Structura naturală a grupului unui tor ascuțit se reflectă pe curba eliptică printr-un izomorfism, datorită căruia setul de puncte ale curbei formează un grup abelian .

Curbele eliptice pe câmpul numerelor complexe

Formularea curbelor eliptice ca scufundare a unui tor în planul proiectiv complex rezultă în mod natural dintr-o proprietate curioasă a funcțiilor eliptice Weierstrass . Aceste funcții și prima lor derivată sunt legate de formula:

$\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}.$ ${\ displaystyle \ wp '(z) ^ {2} = 4 \ wp (z) ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}.}$ $\ wp '(z) ^ {2} = 4 \ wp (z) ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}.$

Aici $g_{2}$ ${\ displaystyle g_ {2}}$ $g_2$ Și $g_{3}$ ${\ displaystyle g_ {3}}$ $g_ {3}$ sunt constante (adică numere complexe), $\wp (z)$ ${\ displaystyle \ wp (z)}$ $\ wp (z)$ este funcția eliptică Weierstrass e $\wp '(z)$ ${\ displaystyle \ wp '(z)}$ $\ wp '(z)$ este derivatul său.

Curbe pe câmpuri arbitrare

O curbă eliptică definită pe un câmp arbitrar $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ poate fi reprezentată de ecuația Weierstrass generalizată , care are forma:

y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}

{\ displaystyle y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}}

y ^ {2} + a_ {1} xy + a_ {3} y = x ^ {3} + a_ {2} x ^ {2} + a_ {4} x + a_ {6}

cu $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{6}\in K$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {6} \ în K}$ $a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, a_ {4}, a_ {6} \ în K$ și astfel încât varietatea algebrică definită de acesta este non-singular . În acest caz, punctul $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este de obicei punctul la infinit pe axă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Dacă caracteristica de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu este $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , atunci fiecare curbă eliptică, prin schimbări adecvate de variabilă, poate fi scrisă sub forma:

y^{2}=4x^{3}+b_{2}x^{2}+2b_{4}x+b_{6}

{\ displaystyle y ^ {2} = 4x ^ {3} + b_ {2} x ^ {2} + 2b_ {4} x + b_ {6}}

y ^ {2} = 4x ^ {3} + b_ {2} x ^ {2} + 2b_ {4} x + b_ {6}

unde este $b_{2},b_{4},b_{6}$ ${\ displaystyle b_ {2}, b_ {4}, b_ {6}}$ $b_ {2}, b_ {4}, b_ {6}$ sunt elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât polinomul de la al doilea membru are rădăcini distincte (notația a fost aleasă pe baza unor motive istorice). În cele din urmă, dacă caracteristica $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ nu este $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ nici $3$ ${\ displaystyle 3}$ $3$ atunci fiecare curbă eliptică, prin alte modificări de variabilă, poate fi scrisă sub forma:

y^{2}=x^{3}+ax+b

{\ displaystyle y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b}

y ^ {2} = x ^ {3} + ax + b

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât polinomul din a doua parte să nu aibă rădăcini multiple.

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este un subcâmp al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ punctele curbei $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ care satisfac ecuația considerată mai sus și astfel încât să fie $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ acea $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ sunt elemente ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ se numesc puncte $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ - rațional .

Aplicații

Curbele eliptice sunt foarte importante în teoria numerelor și constituie unul dintre principalele domenii de cercetare de astăzi. De exemplu, acestea au fost folosite de Andrew Wiles pentru soluția ultimei teoreme a lui Fermat . Aceste curbe au, de asemenea, mai multe aplicații în criptografie (vezi intrările despre criptografie eliptică și factoring ).

Galerie de imagini

curba eliptică y ² = x ³ -x pe Z ₆₁
curba eliptică y ² = x ³ -x pe Z ₈₉

Bibliografie

( EN ) I. Blake , G. Seroussi , N. Smart , Elliptic Curves in Cryptography , LMS Lecture Notes, Cambridge University Press, 2000, ISBN 0-521-65374-6 .
(EN) Richard Crandall , Carl Pomerance , Capitolul 7: Aritmetica curbei eliptice, în numere prime: o perspectivă de calcul, prima, Springer-Verlag, 2001, pp. 285–352, ISBN 0-387-94777-9 .
( EN ) John Cremona , Algorithms for Modular Elliptic Curves , 2nd, Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59820-6 .
( EN ) Darrel Hankerson, Alfred Menezes și Scott Vanstone , Guide to Elliptic Curve Cryptography , Springer , 2004, ISBN 0-387-95273-X .
( EN ) Dale Husemöller , Elliptic Curves , Graduate Texts in Mathematics, vol. 111, 2nd, Springer, 2004, ISBN 0-387-95490-2 .
( EN ) Kenneth Ireland , Michael I. Rosen , capitolele 18 și 19 , în A Classical Introduction to Modern Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 84, a doua revizuită, Springer, 1998, ISBN 0-387-97329-X .
(EN) Anthony W. Knapp , Elliptic Curves, Math Notes, vol. 40, Princeton University Press, 1992.
( EN ) Neal Koblitz , Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms , Graduate Texts in Mathematics, vol. 97, 2, Springer-Verlag, 1993, ISBN 0-387-97966-2 .
( EN ) Neal Koblitz , capitolul 6 , într- un curs de teorie a numerelor și criptografie , texte postuniversitare în matematică, vol. 114, 2, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-94293-9 .
( EN ) Serge Lang , Elliptic curves: Diophantine analysis , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 231, Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-08489-4 .
(EN) Henry McKean, Victor Moll, Elliptic curves: function function, geometry and arithmetic, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65817-9 .
( EN ) Ivan Niven, Herbert S. Zuckerman, Hugh Montgomery ,Secțiunea 5.7 , în Introducere în teoria numerelor , 5, John Wiley, 1991, ISBN 0-471-54600-3 .
( EN ) Joseph H. Silverman , The Arithmetic of Elliptic Curves , Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4 .
( EN ) Joseph H. Silverman , Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves , Graduate Texts in Mathematics, vol. 151, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-94328-5 .
(EN) Joseph H. Silverman , John Tate , Rational Points on Elliptic Curves, Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-387-97825-9 .
( EN ) John Tate , Aritmetica curbelor eliptice , în Inventiones Mathematicae , vol. 23, 3-4, 1974, pp. 179–206, DOI : 10.1007 / BF01389745 .
(EN) Lawrence Washington,Elliptic Curves: Number Number and Cryptography , Chapman & Hall / CRC, 2003, ISBN 1-58488-365-0 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe o curbă eliptică

linkuri externe

( EN ) Curbă eliptică , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 35523 · LCCN (RO) sh85034918 · GND (DE) 4014487-2 · BNF (FR) cb11990345h (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică