Număr complex

Un număr complex este definit ca un număr al formularului $x+iy$ ${\ displaystyle x + iy}$ ${\ displaystyle x + iy}$ , cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ numere reale e $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ o soluție a ecuației $x^{2}=-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} = - 1}$ $x ^ 2 = -1$ numită unitate imaginară . Numerele complexe sunt utilizate în toate domeniile matematicii , în multe domenii ale fizicii (notoriu în mecanica cuantică ), precum și în inginerie (în special în electronică , telecomunicații și inginerie electrică ) pentru utilitatea lor în reprezentarea undelor electromagnetice și a curenților electrici cu cursul timpului . sinusoidal .

În matematică, numerele complexe formează un câmp (precum și o algebră bidimensională reală ) și sunt vizualizate în general ca puncte pe un plan , numit plan complex . Cea mai importantă proprietate a numerelor complexe se bazează pe teorema fundamentală a algebrei , conform căreia orice ecuație polinomială de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ soluții complexe, nu neapărat distincte.

Introducere informală

Unitatea imaginară

De-a lungul secolelor, seturile de numere s-au extins treptat, probabil pentru a răspunde nevoii de a rezolva ecuații și probleme mereu noi. ^[1]

Numerele complexe sunt o extensie a numerelor reale , create inițial pentru a vă permite să găsiți toate soluțiile ecuațiilor polinomiale . De exemplu, ecuația

x^{2}=-1

{\ displaystyle x ^ {2} = - 1}

x ^ 2 = -1

nu are soluții în mulțimea numerelor reale, deoarece în acest set nu există numere al căror pătrat este negativ.

Valoarea este apoi definită $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , numită unitate imaginară , care are următoarea proprietate:

i^{2}=-1.

{\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}

{\ displaystyle i ^ {2} = - 1.}

Numerele complexe constau din două părți, o parte reală și o parte imaginară și sunt reprezentate de următoarea expresie:

a+ib,

{\ displaystyle a + ib,}

{\ displaystyle a + ib,}

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere reale, $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară.

Legile sumei algebrice și ale produsului în număr complex se aplică făcând matematica în modul obișnuit și știind asta $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Deoarece numerele reale corespund punctelor unei drepte , numerele complexe corespund punctelor planului , numite plan complex (sau Argand-Gauss ): numărului complex $a+ib$ ${\ displaystyle a + ib}$ $a + ib$ se asociază punctul de coordonate cartezian $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ .

Ecuații cu coeficienți reali cu soluții nereale

Folosind relația $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ toate ecuațiile de gradul II pot fi rezolvate

ax^{2}+bx+c=0,

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}

cu $a,b,c\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a, b, c \ in \ mathbb {R}}$ $a, b, c \ in \ R$ , inclusiv cele care nu au soluții reale, deoarece au un discriminant negativ:

\Delta =b^{2}-4ac<0.

{\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac <0.}

\ Delta = b ^ 2-4ac <0.

Soluțiile sunt determinate de formula soluției ecuației

x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}

{\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {\ Delta}}} { 2a}}}

x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {\ Delta}} {2a}

că, în cazul în care discriminatorul este negativ, are loc după cum urmează:

{\sqrt {-\Delta }}={\sqrt {(-1)(\Delta )}}={\sqrt {-1}}{\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {\Delta }}.

{\ displaystyle {\ sqrt {- \ Delta}} = {\ sqrt {(-1) (\ Delta)}} = {\ sqrt {-1}} {\ sqrt {\ Delta}} = i {\ sqrt { \ Delta}}.}

\ sqrt {- \ Delta} = \ sqrt {(- 1) (\ Delta)} = \ sqrt {-1} \ sqrt {\ Delta} = i \ sqrt {\ Delta}.

De exemplu:

x^{2}+4x+8=0\Rightarrow x={\frac {-4\pm {\sqrt {16-32}}}{2}}={\frac {-4\pm {\sqrt {-16}}}{2}}={\frac {-4\pm i{\sqrt {16}}}{2}}=-2\pm 2i.

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

{\ displaystyle x ^ {2} + 4x + 8 = 0 \ Rightarrow x = {\ frac {-4 \ pm {\ sqrt {16-32}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm { \ sqrt {-16}}} {2}} = {\ frac {-4 \ pm i {\ sqrt {16}}} {2}} = - 2 \ pm 2i.}

Mai general, este adevărat că dacă un număr complex este soluția unei ecuații cu coeficienți reali, atunci conjugatul său complex este, de asemenea, soluția aceleiași ecuații. Deci, în cazul unei ecuații de grad impar, va exista întotdeauna cel puțin un număr real între soluții.

fundal

Același subiect în detaliu: Istoria numerelor complexe .

Numerele complexe au avut o geneză de lungă durată. Ele au început să fie folosite formal în secolul al XVI-lea în formulele pentru rezolvarea ecuațiilor de gradul III și IV ale lui Tartaglia . Primii care au reușit să atribuie soluții ecuațiilor cubice au fost Scipione del Ferro , Bombelli și, de asemenea, Niccolò Tartaglia , acesta din urmă, după multe insistențe, i-a transmis rezultatele lui Girolamo Cardano cu promisiunea de a nu le dezvălui. Cardano, după ce a verificat acuratețea soluțiilor lui Tartaglia, nu și-a respectat promisiunea și a publicat rezultatele, citând autorul, însă, în nota sa Ars Magna din 1545. Tartaglia a avut numeroase prietenii între inchizitori și mai târziu Cardano a avut probleme legate de justiția timp, mulți dintre ei provenind din acuzații de erezie. În prezent, apariția rădăcinilor numerelor negative este atribuită în principal lui Tartaglia, în timp ce în cele mai puține pagini dedicate lui Cardano nu există nicio urmă a contribuției sale probabile importante la această reprezentare numerică.

Numerele complexe inițial nu au fost considerate ca „numere” ci doar ca dispozitive algebrice utile pentru rezolvarea ecuațiilor. De fapt, erau numere „care nu ar trebui să existe”: Descartes în secolul al XVII-lea le numea „numere imaginare”. Abraham de Moivre și Euler în secolul al XVIII-lea au început să ofere numere complexe cu o bază teoretică, până când au luat cetățenia deplină în lumea matematică cu lucrările lui Gauss . În același timp, a fost afirmată interpretarea numerelor complexe ca puncte ale avionului.

Terminologie

În matematică, multe obiecte și teoreme depind de alegerea unui set numeric de bază: de multe ori alegerea este între numere reale și numere complexe. Adjectivul „complex” este folosit aici pentru a specifica acest set de bază. De exemplu, sunt definite matrici complexe, polinoame complexe, spații vectoriale complexe și algebră Lie complexă . Există, de asemenea, teorema complexă a lui Sylvester și teorema spectrală complexă .

Definiție modernă

În mod formal, un număr complex poate fi definit ca o pereche ordonată de numere reale $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Prin urmare, definim suma și produsul a două numere complexe după cum urmează:

(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d),

{\ displaystyle (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),}

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d),

(a,b)(c,d)=(ac-bd,bc+ad).

{\ displaystyle (a, b) (c, d) = (ac-bd, bc + ad).}

(a, b) (c, d) = (ac - bd, bc + ad).

Cu aceste două operații, setul de numere complexe se dovedește a fi un câmp , care este indicat cu $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .

Numărul complex $(a,0)$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ ${\ displaystyle (a, 0)}$ se identifică cu numărul real $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , în timp ce numărul $(0,1)$ ${\ displaystyle (0,1)}$ $(0,1)$ se numește unitate imaginară și este descrisă prin scrisoare $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ . Elementul 1 este elementul neutru pentru multiplicare, în timp ce se verifică că:

i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1.

{\ displaystyle i ^ {2} = (0,1) (0,1) = (- 1,0) = - 1.}

i ^ 2 = (0,1) (0,1) = (-1,0) = -1.

Orice număr complex $z=(a,b)$ ${\ displaystyle z = (a, b)}$ $z = (a, b)$ este ușor scris ca o combinație liniară după cum urmează:

z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=a+(b,0)(0,1)=a+b(0,1)=a+bi.

{\ displaystyle z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.}

z = (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (b, 0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.

Numerele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ele sunt partea reală și partea imaginară a respectivului $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Această reprezentare a numerelor complexe facilitează efectuarea operațiunilor de adunare și de produs. De exemplu:

(2+4i)(1-i)=2(1-i)+4i(1-i)=2-2i+4i-4i^{2}=2+2i-4(-1)=6+2i.

{\ displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

{\ displaystyle (2 + 4i) (1-i) = 2 (1-i) + 4i (1-i) = 2-2i + 4i-4i ^ {2} = 2 + 2i-4 (-1) = 6 + 2i.}

Definiții alternative

Folosind instrumentele teoriei câmpurilor , câmpul numerelor complexe poate fi definit ca închiderea algebrică a câmpului numerelor reale.

Folosind instrumentele teoriei inelului , acesta poate fi, de asemenea, introdus ca inel coeficient al inelului polinomilor reali cu o singură variabilă prin idealul generat de polinom $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ :

\mathbb {C} =\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1).

{\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

{\ displaystyle \ mathbb {C} = \ mathbb {R} [x] / (x ^ {2} +1).}

Acesta este de fapt un câmp de ce $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ este ireductibil . Rădăcina polinomului $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ este unitatea imaginară $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , deci inelul coeficient este izomorf pentru $\mathbb {R} [i]=\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}}$ $\ mathbb {R} [i] = \ mathbb {C}$ .

Geometrie

Același subiect în detaliu: Reprezentarea numerelor complexe și planul complex .

Un număr complex poate fi văzut ca un punct al planului cartezian , numit în acest caz planul Gaussian . O astfel de reprezentare se numește diagramă Argand-Gauss . În figură vedem că

z=x+iy=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),

{\ displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

{\ displaystyle z = x + iy = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi),}

fiind $\cos \varphi$ ${\ displaystyle \ cos \ varphi}$ $\ cos \ varphi$ Și $\sin \varphi$ ${\ displaystyle \ sin \ varphi}$ $\ sin \ varphi$ funcții trigonometrice .

Formulele inverse sunt:

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

{\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}},}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}},

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}},}

pentru

x>0,

{\ displaystyle x> 0,}

{\ displaystyle x> 0,}

\varphi =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi ,

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan {\ frac {y} {x}} + \ pi,}

pentru

x<0.

{\ displaystyle x <0.}

{\ displaystyle x <0.}

Folosind formula lui Euler , putem exprima $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ca

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi) = re ^ {i \ varphi},}

prin intermediul funcției exponențiale . Aici $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este modulul (sau valoarea absolută sau norma ) e $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ (numită anomalie ) este argumentul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Argumentul este determinat de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ dacă este destinat în interval $[0,2\pi )$ ${\ displaystyle [0,2 \ pi)}$ $[0,2 \ pi)$ , altfel este definit doar până la sume cu $2k\pi$ ${\ displaystyle 2k \ pi}$ $2k \ pi$ pentru unele întregi $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

Operații cu numere complexe

Modul și distanță

|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Valoarea absolută (modulo) are următoarele proprietăți:

|z+w|\leq |z|+|w|,

{\ displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

{\ displaystyle | z + w | \ leq | z | + | w |,}

|zw|=|z||w|,

{\ displaystyle | zw | = | z || w |,}

{\ displaystyle | zw | = | z || w |,}

\left|{\frac {z}{w}}\right|={\frac {|z|}{|w|}},

{\ displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {z} {w}} \ right | = {\ frac {| z |} {| w |}},}

de sine

w\neq 0,

{\ displaystyle w \ neq 0,}

{\ displaystyle w \ neq 0,}

valabil pentru toate numerele complexe $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ .

Prima proprietate este o versiune a inegalității triunghiulare .

Distanța dintre două puncte ale planului complex este dată pur și simplu de

d(z,w)=|z-w|.

{\ displaystyle d (z, w) = | zw |.}

{\ displaystyle d (z, w) = | z-w |.}

Căsătorit

Același subiect în detaliu: Complex conjugat .

Conjugatul complex al numărului complex $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ este definit ca

{\bar {z}}=a-ib.

{\ displaystyle {\ bar {z}} = a-ib.}

\ bar z = a-ib.

De asemenea, este denumită uneori $z^{*}$ ${\ displaystyle z ^ {*}}$ $z ^ *$ . Planul general ${\bar {z}}$ ${\ displaystyle {\ bar {z}}}$ $\ bar {z}$ se obține din $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ prin simetrie față de axa reală. Se aplică următoarele proprietăți:

{\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {z + w}} = {\ bar {z}} + {\ bar {w}};}

{\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {zw}} = {\ bar {z}} {\ bar {w}};}

{\overline {(z/w)}}={\bar {z}}/{\bar {w}};

{\ displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\ displaystyle {\ overline {(z / w)}} = {\ bar {z}} / {\ bar {w}};}

{\bar {\bar {z}}}=z;

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\ displaystyle {\ bar {\ bar {z}}} = z;}

{\bar {z}}=z\Longleftrightarrow z\in \mathbb {R} ;

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

{\ displaystyle {\ bar {z}} = z \ Longleftrightarrow z \ in \ mathbb {R};}

|z|=|{\bar {z}}|;

{\ displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

{\ displaystyle | z | = | {\ bar {z}} |;}

|z|^{2}=z{\bar {z}}.

{\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

{\ displaystyle | z | ^ {2} = z {\ bar {z}}.}

Reciproc

Același subiect în detaliu: inversul unui număr complex .

Cunoașterea valorii absolute și conjugatul unui număr complex $z\neq 0$ ${\ displaystyle z \ neq 0}$ $z \ neq 0$ este posibil să se calculeze reciprocitatea acestuia $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ prin formula:

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}.}

Adică dacă $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ noi obținem

z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}.

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}.}

Suma algebrică

Relațiile merită

(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d),

{\ displaystyle (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),}

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d),

(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).

{\ displaystyle (a + ib) - (c + id) = (ac) + i (bd).}

(a + ib) - (c + id) = (a - c) + i (b - d).

Suma a două numere complexe este echivalentă cu suma obișnuită dintre vectori în planul complex.

Produs

Merita

(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad).

{\ displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

{\ displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + i (bc + ad).}

În realitate, produsul este doar rezultatul unui produs foarte normal de binomii. Folosind reprezentarea

z=re^{i\theta }

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {{i \ theta}}

și proprietățile funcției exponențiale , produsul a două numere complexe

z_{1}=r_{1}e^{i\theta _{1}},\quad z_{2}=r_{2}e^{i\theta _{2}}

{\ displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

{\ displaystyle z_ {1} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}, \ quad z_ {2} = r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}

ia forma cea mai lină

z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\theta _{1}}\cdot r_{2}e^{i\theta _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.

{\ displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

{\ displaystyle z_ {1} \ cdot z_ {2} = r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}} \ cdot r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}} = r_ {1 } r_ {2} e ^ {i (\ theta _ {1} + \ theta _ {2})}.}

Cu alte cuvinte, în produsul a două numere complexe, argumentele sunt adăugate și modulele înmulțite.

Această declarație vă permite să demonstrați regula semnelor produsului : $-\cdot -=+$ ${\ displaystyle - \ cdot - = +}$ $- \ cdot - = +$ . De fapt, dacă considerăm că argumentul unui număr real negativ este de 180º, înmulțind două dintre aceste numere împreună obținem un număr cu argumentul 360 ° și deci 0 ° care este argumentul unui număr real pozitiv.

O înmulțire cu un număr complex poate fi văzută ca o rotație simultană și omotitate . Înmulțiți un vector sau echivalent un număr complex cu elementul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ produce o rotație de 90 °, în sens invers acelor de ceasornic, a numărului complex de pornire. Evident multiplicarea cu $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și apoi din nou pentru $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ produce o rotație de 180 °; acest lucru este logic din moment ce $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Relaţie

Relația dintre două numere complexe $z_{1}=a+ib$ ${\ displaystyle z_ {1} = a + ib}$ $z_1 = a + ib$ Și $z_{2}=c+id$ ${\ displaystyle z_ {2} = c + id}$ $z_2 = c + id$ este dat de:

{z_{1} \over z_{2}}={a+ib \over c+id}={(a+ib) \over (c+id)}{(c-id) \over (c-id)}={\frac {ac+bd+i(cb-ad)}{c^{2}+d^{2}}}.

{\ displaystyle {z_ {1} \ over z_ {2}} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over ( c-id)} = {\ frac {ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ {2} + d ^ {2}}}.}

{z_1 \ over z_2} = {a + ib \ over c + id} = {(a + ib) \ over (c + id)} {(c-id) \ over (c-id)} = \ frac { ac + bd + i (cb-ad)} {c ^ 2 + d ^ 2}.

Folosind reprezentarea

z=re^{i\theta },

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta},}

raportul a două numere complexe este

{\frac {r_{1}e^{i\theta _{1}}}{r_{2}e^{i\theta _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\theta _{1}-\theta _{2})}.

{\ displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} și ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

{\ displaystyle {\ frac {r_ {1} e ^ {i \ theta _ {1}}} {r_ {2} e ^ {i \ theta _ {2}}}} = {\ frac {r_ {1} } {r_ {2}}} și ^ {i (\ theta _ {1} - \ theta _ {2})}.}

Puteri

Reprezentând fiecare număr complex ca

z=re^{i\theta }

{\ displaystyle z = re ^ {i \ theta}}

z = re ^ {i \ theta}

este ușor de descris puterea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -alea

z^{n}=r^{n}e^{ni\theta },

{\ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

{\ displaystyle z ^ {n} = r ^ {n} e ^ {ni \ theta},}

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întreg . Cu o notație ușor diferită:

z=|z|(\cos \theta +i\sin \theta )

{\ displaystyle z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)}

z = | z | (\ cos \ theta + i \ sin \ theta)

Formula De Moivre se obține:

z^{n}=|z|^{n}(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta )).

{\ displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

{\ displaystyle z ^ {n} = | z | ^ {n} (\ cos (n \ theta) + i \ sin (n \ theta)).}

Mai mult, fiecare număr complex are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -th: în special, nu există o modalitate unică de a defini rădăcina pătrată a unui număr complex.

Același subiect în detaliu: Unity root .

Exponențială

Același subiect în detaliu: exponențial complex .

Funcția exponențială complexă $e^{z}$ ${\ displaystyle e ^ {z}}$ $și ^ z$ este definit folosind seria și instrumentele de calcul infinitesimal , după cum urmează:

e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.

{\ displaystyle e ^ {z} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {n!}}.}

și ^ z = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!}.

În special, dacă $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ primesti

e^{a+ib}=e^{a}e^{ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)

{\ displaystyle e ^ {a + ib} = e ^ {a} e ^ {ib} = e ^ {a} (\ cos b + i \ sin b)}

e ^ {a + ib} = e ^ ae ^ {ib} = e ^ a (\ cos b + i \ sin b)

folosind formula lui Euler .

Logaritm

Același subiect în detaliu: Logaritm complex .

Logaritmul natural $\ln z$ ${\ displaystyle \ ln z}$ $\ ln z$ a unui număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este prin definiție un număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ astfel încât

e^{w}=z.

{\ displaystyle e ^ {w} = z.}

e ^ w = z.

De sine

z=a+ib=re^{i\theta }=r(\cos \theta +i\sin \theta ),

{\ displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

{\ displaystyle z = a + ib = re ^ {i \ theta} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta),}

logaritmul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este orice număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ de tipul

w=\ln z=\ln(re^{i\theta })=\ln r+i(\theta +2k\pi ),

{\ displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

{\ displaystyle w = \ ln z = \ ln (re ^ {i \ theta}) = \ ln r + i (\ theta + 2k \ pi),}

unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este orice număr întreg . Din moment ce valoarea $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este arbitrar, un număr complex are o infinitate de logaritmi distincti, care diferă prin multipli întregi de $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ .

De sine $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ poti sa scrii

\ln(a+ib)=\ln {\sqrt[{2}]{a^{2}+b^{2}}}+i\arctan {\frac {b}{a}}.

{\ displaystyle \ ln (a + ib) = \ ln {\ sqrt [{2}] {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i \ arctan {\ frac {b} {a}}. }

\ ln (a + ib) = \ ln \ sqrt [2] {a ^ 2 + b ^ 2} + i \ arctan \ frac {b} {a}.

În acest caz, dacă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este real (adică dacă $b=0$ ${\ displaystyle b = 0}$ $b = 0$ ) dintre valorile infinite există una reală, care corespunde logaritmului obișnuit al unui număr real pozitiv.

Exemple

Să presupunem că vrem să găsim numerele complexe z astfel încât

4z^{2}={\bar {z}}^{4}.

{\ displaystyle 4z ^ {2} = {\ bar {z}} ^ {4}.}

4z ^ 2 = \ bar z ^ 4.

Prima posibilitate este de a întreba $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ și să egaleze partea reală a $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ la partea reală a conjugatului de $z^{4}$ ${\ displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ și în mod similar pentru părțile imaginare respective. Urmând această cale, obținem două ecuații:

ab(a^{2}-b^{2}+2)=0,

{\ displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

{\ displaystyle ab (a ^ {2} -b ^ {2} +2) = 0,}

a^{4}+b^{4}-6(ab)^{2}=4(a^{2}-b^{2}).

{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

{\ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} -6 (ab) ^ {2} = 4 (a ^ {2} -b ^ {2}).}

din care se obțin 7 soluții:

z=0,-2,2,i{\sqrt {3}}+1,-i{\sqrt {3}}+1,i{\sqrt {3}}-1,-i{\sqrt {3}}-1.

{\ displaystyle z = 0, -2.2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

{\ displaystyle z = 0, -2.2, i {\ sqrt {3}} + 1, -i {\ sqrt {3}} + 1, i {\ sqrt {3}} - 1, -i {\ sqrt { 3}} - 1.}

Alternativ, poate fi utilizată reprezentarea polară

z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

și să se potrivească standardelor și argumentelor $4z^{2}$ ${\ displaystyle 4z ^ {2}}$ $4z ^ 2$ și conjugatul lui $z^{4}$ ${\ displaystyle z ^ {4}}$ $z ^ 4$ , obținând aici și două ecuații:

4r^{2}=r^{4},

{\ displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

{\ displaystyle 4r ^ {2} = r ^ {4},}

6\varphi =2k\pi ,

{\ displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

{\ displaystyle 6 \ varphi = 2k \ pi,}

cu $k=0,1,\ldots ,5$ ${\ displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ ${\ displaystyle k = 0,1, \ ldots, 5}$ . Evident, veți obține aceleași soluții, de exemplu

z=i{\sqrt {3}}+1=2e^{i{\pi }/3}.

{\ displaystyle z = i {\ sqrt {3}} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.}

z = i \ sqrt {3} + 1 = 2e ^ {i {\ pi} / 3}.

Unele proprietăți

Pierderea sortării

Spre deosebire de numerele reale, numerele complexe nu pot fi sortate într-un mod care este compatibil cu operațiile aritmetice. Adică, nu este posibil să se definească o ordine astfel încât

a\leq b,\Rightarrow a+c\leq b+c,

{\ displaystyle a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,}

a \ leq b, \ Rightarrow a + c \ leq b + c,

a\geq 0,b\geq 0\Rightarrow ab\geq 0,

{\ displaystyle a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,}

a \ geq 0, b \ geq 0 \ Rightarrow ab \ geq 0,

așa cum se întâmplă cu numerele reale. Deci, nu are sens să întrebăm de exemplu dacă $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este mai mare sau mai mic decât și nici nu studiază inegalitățile în domeniul complex. De fapt, în fiecare câmp ordonat toate pătratele trebuie să fie mai mari sau egale cu zero: prin construcția unității imaginare, în schimb $i^{2}=-1$ ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$ $i ^ 2 = -1$ .

Acest lucru nu trebuie confundat cu a spune că setul de numere complexe nu poate fi complet bine ordonat. De fapt, numerele complexe au, de exemplu, o ordonare în termeni de ordine lexicografică și, prin urmare, constituie un set ordonabil (ca orice set din ZFC având în vedere axioma de alegere ), dar nu formează un câmp ordonat (din motivul de mai sus ) și nici o structură algebrică care poate fi ordonată în raport cu metrica indusă de o normă .

Avion cartezian

Funcția logaritmică: toate perechile ( x ; y ) cu x negativ sunt numere complexe și nu pot fi reprezentate în plan, indiferent de baza aleasă: roșu pentru baza e , verde pentru baza 10 și violet pentru baza 1,7.

La desenarea unei funcții în plan cartezian a cărei gamă conține numere din setul imaginar, acele numere nu pot fi reprezentate de o pereche de coordonate $(x;y)$ ${\ displaystyle (x; y)}$ $(X y)$ , de când este $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ complexul nu poate fi ordonat în raport cu linia dreaptă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ .

Spațiul vectorilor reali

Întregul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ este simultan un spațiu vectorial complex unidimensional (ca toate câmpurile) și un spațiu vectorial real bidimensional. Ca un spațiu vectorial cu dimensiuni finite reale, acesta este, de asemenea, un spațiu complet normat , adică un spațiu Banach și mai ales un spațiu Hilbert .

Soluții ale ecuațiilor polinomiale

Același subiect în detaliu: Teorema fundamentală a algebrei .

O rădăcină complexă a unui polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un coeficient real este un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât $p(z)=0$ ${\ displaystyle p (z) = 0}$ $p (z) = 0$ . Teorema fundamentală a algebrei afirmă că orice polinom de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are exact $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ soluții complexe, numărate cu multiplicitate. Acest rezultat indică faptul că numerele complexe sunt (spre deosebire de reali) un câmp închis algebric .

Analiza complexă

Același subiect în detaliu: Analiza complexă .

Studiul funcțiilor cu variabile complexe se numește analiză complexă și este utilizat pe scară largă în matematica aplicată și teoria numerelor , precum și în alte ramuri ale matematicii, fizicii și ingineriei. Adesea, cele mai simple dovezi pentru analiza reală sau pentru enunțurile teoriei parelor folosesc tehnici complexe de analiză (a se vedea teorema numărului prim pentru un exemplu). Spre deosebire de funcțiile reale, care sunt reprezentate în mod obișnuit ca grafice bidimensionale, funcțiile complexe au grafice cu patru dimensiuni și sunt adesea reprezentate ca grafice colorate în care culoarea compensează dimensiunea lipsă (a se vedea, de exemplu, articolul Imagini conforme ). Animațiile pot fi, de asemenea, utilizate pentru a arăta transformarea dinamică a funcției complexe a planului complex.

Aplicații

În matematică

Numerele complexe sunt prezente în toată matematica și sunt protagoniștii unor sectoare întregi, cum ar fi analiza complexă sau geometria algebrică . Aici enumerăm doar câteva aplicații ale numerelor complexe în domeniile matematicii în care acestea nu joacă un rol dominant.

Teoria numerelor : Teoria analitică a numerelor folosește analize complexe pentru a aborda problemele întregi . Câteva exemple sunt teorema numărului prim și ipoteza Riemann aferentă.

Integrale necorespunzătoare : Unele integrale necorespunzătoare pot fi ușor rezolvate cu teorema reziduală a analizei complexe.

Ecuații diferențiale : Ecuațiile diferențiale liniare cu coeficienți constanți sunt rezolvate prin găsirea rădăcinilor complexe ale unui polinom asociat cu ecuația.

Fractale : Unele fractale sunt definite prin numere complexe, de exemplu mulțimea Mandelbrot și mulțimea Julia .

În fizică

Dinamica fluidelor : în dinamica fluidelor se utilizează numere complexe pentru a descrie fluxul potențial în 2 dimensiuni.

Mecanica cuantică : câmpul numerelor complexe este o componentă esențială a mecanicii cuantice, deoarece teoria este dezvoltată într-un spațiu Hilbert cu dimensiuni infinite derivat din C. Unitatea imaginară apare și în ecuația lui Schrödinger .

Relativitatea : în relativitatea generală și relativitatea specială, unele formule ale spațiului metric devin mai simple dacă se presupune că variabila timpului este o variabilă imaginară.

Inginerie

Numerele complexe sunt utilizate pentru a rezolva ecuațiile diferențiale asociate cu mișcarea vibratorie a sistemelor mecanice. Ele sunt, de asemenea, utilizate pe scară largă în ingineria electrică, în special pentru a reprezenta schimbarea de fază între reactanță și rezistență.

Analiza semnalului

Numerele complexe sunt utilizate în analiza semnalelor și în toate câmpurile în care sunt tratate semnale care variază sinusoidal în timp, sau chiar pur și simplu periodice. Valoarea absolută a | z | este interpretat ca amplitudinea semnalului în timp ce argumentul lui z este interpretat ca fază . Numerele complexe fac posibilă și analiza Fourier , ceea ce face posibilă descompunerea unui semnal generic invariant în timp într-o sumă de sinusoide infinite: fiecare sinusoid este scris ca un număr complex unic.

f(t)=ze^{i\omega t},

{\ displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

{\ displaystyle f (t) = ze ^ {i \ omega t},}

unde este $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ este pulsația sinusoidului și z amplitudinea sa.

Elettrotecnica ed elettronica

Nell' ingegneria elettrica ed elettronica vengono utilizzati per indicare la tensione e la corrente . L'analisi dei componenti resistivi , capacitivi e induttivi è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta impedenza , semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera j per indicare l'unità immaginaria, dato che la i è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del XX secolo , stabilivano j = -i , cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. Anche se, la stragrande maggioranza delle volte, nella letteratura tecnica con j oramai si intende l'unità immaginaria stessa, per cui j = i .

Generalizzazioni ed estensioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Costruzione di Cayley-Dickson e Algebra di Clifford .

Il processo di estensione del campo R dei numeri reali al campo C dei numeri complessi è noto come costruzione di Cayley-Dickson . Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i quaternioni H , gli ottetti (o ottonioni ) O ei sedenioni , i quali costituiscono, rispettivamente, delle algebre a 4 , 8 , 16 dimensioni sul campo dei numeri reali . In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati binarioni . ^[2]

Le algebre prodotte da questo processo sono note come algebre di Cayley-Dickson e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti numeri ipercomplessi , il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle algebre di Clifford .

Note

^ ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.
^ ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

Bibliografia

( EN ) Lars Ahlfors , Complex Analysis , 3rd, McGraw-Hill, 1979, ISBN 978-0-07-000657-7 .
( EN ) E. Freitag, R. Busam, Complex Analysis ; Springer-Verlag (2005).
( EN ) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4 .
( EN ) Paul J. Nahin, An Imaginary Tale ; Princeton University Press; ISBN 0-691-02795-1 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.
( EN ) Tristan Needham, Visual Complex Analysis ; Clarendon Press; ISBN 0-19-853447-7 (hardcover, 1997). Storia dei numeri complessi e dell'analisi complessa con un'utile interpretazione geometrica.

Voci correlate

Altri progetti

Wikiversità contiene risorse su numero complesso
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su numero complesso

Collegamenti esterni

( EN ) Numero complesso , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( AR , EN , ES , FR ) Dimensions: a math film. Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).
Numeri Complessi . Una lezione interattiva
I numeri complessi . Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 6845 · LCCN ( EN ) sh85093211 · GND ( DE ) 4128698-4 · BNF ( FR ) cb11981946j (data) · NDL ( EN , JA ) 00563643

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] ( EN ) WS Anglin e J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 2012, p. 3.

[2] ( EN ) Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras , Universitext, Springer, 2004, ISBN 0-387-95447-3 . MR 2014924 p. 64

[1]

[2]