Formula lui De Moivre

Formula de Moivre este una dintre bazele analizei numerelor complexe și este legată de planul complex , adică de reprezentarea numerelor complexe pe un plan, având în vedere axa x axa realilor și axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ axa imaginarului. Vă permite să exprimați puterea unui număr complex în forma sa trigonometrică.

(\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx),

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = \ cos (nx) + i \ sin (nx),}

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = \ cos (nx) + i \ sin (nx),}

valabil pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întreg și $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ unitate imaginară , este o contribuție importantă la matematică , deoarece leagă numerele complexe de trigonometrie . Aplicând dezvoltarea binomului la nivelul membrului stâng și echivalând părțile reale și imaginare ale identității în noua formă, obținem expresii utile pentru $\cos(nx)$ ${\ displaystyle \ cos (nx)}$ $\ cos (nx)$ Și $\sin(nx)$ ${\ displaystyle \ sin (nx)}$ $\ sin (nx)$ în ceea ce privește $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ Și $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ . De asemenea, puteți utiliza formula pentru a găsi expresii explicite pentru rădăcini $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -zimi ale unității, adică valorile pentru numerele complexe $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât $z^{n}=1$ ${\ displaystyle z ^ {n} = 1}$ $z ^ {n} = 1$ .

Abraham de Moivre a fost un bun prieten al lui Newton . În 1698 a scris că Newton a cunoscut formula cel puțin încă din 1676 . Formula de Moivre poate fi derivată din formula lui Euler , chiar dacă o precedă istoric, prin intermediul expansiunii seriei Taylor

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x,

și prin legea exponențială

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.

{\ displaystyle \ left (e ^ {ix} \ right) ^ {n} = e ^ {inx}.}

{\ displaystyle \ left (e ^ {ix} \ right) ^ {n} = e ^ {inx}.}

Dovadă prin inducție

Distingem cele trei cazuri legate de $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ , $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ Și $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ .

Pentru $n>0$ ${\ displaystyle n> 0}$ $n> 0$ procedăm prin inducție . Pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ formula este o egalitate simplă a unei expresii cu ea însăși. Ca ipoteză inductivă, presupunem că este valabilă pentru un număr întreg pozitiv $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , adică presupunem

(\cos x+i\sin x)^{k}=\cos(kx)+i\sin(kx).

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {k} = \ cos (kx) + i \ sin (kx).}

(\ cos x + i \ sin x) ^ k = \ cos (kx) + i \ sin (kx).

Să analizăm cazul $n=k+1$ ${\ displaystyle n = k + 1}$ ${\ displaystyle n = k + 1}$ :

(\cos x+i\sin x)^{k+1}

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {k + 1}}

(\ cos x + i \ sin x) ^ {k + 1}

=(\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}

{\ displaystyle = (\ cos x + i \ sin x) (\ cos x + i \ sin x) ^ {k}}

= (\ cos x + i \ sin x) (\ cos x + i \ sin x) ^ {k}

=\left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x)

{\ displaystyle = \ left [\ cos (kx) + i \ sin (kx) \ right] (\ cos x + i \ sin x)}

= \ left [\ cos (kx) + i \ sin (kx) \ right] (\ cos x + i \ sin x)

(pentru ipoteza inductivă)

=\cos(kx)\cos x-\sin(kx)\sin x+i\left[\cos(kx)\sin x+\sin(kx)\cos x\right]

{\ displaystyle = \ cos (kx) \ cos x- \ sin (kx) \ sin x + i \ left [\ cos (kx) \ sin x + \ sin (kx) \ cos x \ right]}

= \ cos (kx) \ cos x - \ sin (kx) \ sin x + i \ left [\ cos (kx) \ sin x + \ sin (kx) \ cos x \ right]

=\cos \left[(k+1)x\right]+i\sin \left[(k+1)x\right]

{\ displaystyle = \ cos \ left [(k + 1) x \ right] + i \ sin \ left [(k + 1) x \ right]}

= \ cos \ left [(k + 1) x \ right] + i \ sin \ left [(k + 1) x \ right]

(pentru formulele de adăugare a sinusului și cosinusului)

Ultima identitate spune formula, dacă este valabilă $n=k$ ${\ displaystyle n = k}$ ${\ displaystyle n = k}$ atunci este valabil pentru $n=k+1$ ${\ displaystyle n = k + 1}$ ${\ displaystyle n = k + 1}$ iar pentru principiul inducției matematice se concluzionează că formula este valabilă pentru toți $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere întregi pozitive.

Pentru $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ formula se reduce la simpla identitate $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1$ ${\ displaystyle \ cos (0x) + i \ sin (0x) = 1 + i0 = 1}$ $\ cos (0x) + i \ sin (0x) = 1 + i0 = 1$ , Și $z^{0}=1$ ${\ displaystyle z ^ {0} = 1}$ $z ^ {0} = 1$ .

Pentru $n<0$ ${\ displaystyle n <0}$ $n <0$ , ansamblul este considerat pozitiv $m=-n$ ${\ displaystyle m = -n}$ ${\ displaystyle m = -n}$ . În consecință

(\cos x+i\sin x)^{n}=(\cos x+i\sin x)^{-m}

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = (\ cos x + i \ sin x) ^ {- m}}

{\ displaystyle (\ cos x + i \ sin x) ^ {n} = (\ cos x + i \ sin x) ^ {- m}}

={\frac {1}{(\cos x+i\sin x)^{m}}}={\frac {1}{(\cos mx+i\sin mx)}}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {(\ cos x + i \ sin x) ^ {m}}} = {\ frac {1} {(\ cos mx + i \ sin mx)}}}

= \ frac {1} {(\ cos x + i \ sin x) ^ {m}} = \ frac {1} {(\ cos mx + i \ sin mx)}

, în măsura în care este valabil pentru

n>0

{\ displaystyle n> 0}

n> 0

; raționalizarea numitorului

={\frac {\cos(mx)-i\sin(mx)}{\cos ^{2}(mx)+\sin ^{2}(mx)}}=\cos(mx)-i\sin(mx),

{\ displaystyle = {\ frac {\ cos (mx) -i \ sin (mx)} {\ cos ^ {2} (mx) + \ sin ^ {2} (mx)}} = \ cos (mx) - i \ sin (mx),}

= \ frac {\ cos (mx) - i \ sin (mx)} {\ cos ^ 2 (mx) + \ sin ^ 2 (mx)} = \ cos (mx) - i \ sin (mx),

și, pentru proprietățile trigonometrice ale sinusului și cosinusului,

=\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx)

{\ displaystyle = \ cos (-mx) + i \ sin (-mx) \, = \ cos (nx) + i \ sin (nx)}

= \ cos (-mx) + i \ sin (-mx) \, = \ cos (nx) + i \ sin (nx)

Prin urmare, formula este adevărată pentru toate valorile întregi ale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . QED

Generalizare

Formula lui De Moivre este generalizată după cum urmează.

De sine $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ sunt numere complexe, atunci

\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}

{\ displaystyle \ left (\ cos z + i \ sin z \ right) ^ {w}}

{\ displaystyle \ left (\ cos z + i \ sin z \ right) ^ {w}}

preia mai multe valori, în timp ce

\cos(wz)+i\sin(wz)

{\ displaystyle \ cos (wz) + i \ sin (wz)}

{\ displaystyle \ cos (wz) + i \ sin (wz)}

are o singură valoare. Oricum, $\cos(wz)+i\sin(wz)$ ${\ displaystyle \ cos (wz) + i \ sin (wz)}$ ${\ displaystyle \ cos (wz) + i \ sin (wz)}$ este una dintre valorile $\left(\cos z+i\sin z\right)^{w}.$ ${\ displaystyle \ left (\ cos z + i \ sin z \ right) ^ {w}.}$ ${\ displaystyle \ left (\ cos z + i \ sin z \ right) ^ {w}.}$