Inversul unui număr complex

Inversul unui număr complex $z=a+ib\neq 0$ ${\ displaystyle z = a + ib \ neq 0}$ $z = a + ib \ neq 0$ este acel număr care se înmulțește cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ dă 1 . Adică, indicând inversul cu $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ , este astfel încât:

z\cdot z^{-1}=1

{\ displaystyle z \ cdot z ^ {- 1} = 1}

z \ cdot z ^ {{- 1}} = 1

Construcție algebrică

Cunoașterea normei și a conjugatului de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este posibil să se calculeze $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ prin formula:

z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ bar {z}} {| z | ^ {2}}}}

z ^ {- 1} = \ frac {\ bar {z}} {| z | ^ 2}

Adică dacă $z=a+ib$ ${\ displaystyle z = a + ib}$ $z = a + ib$ noi obținem

z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}

{\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}}

z ^ {{- 1}} = {\ frac {a-ib} {a ^ {2} + b ^ {2}}}

În cazul unui număr real $a=a+i0$ ${\ displaystyle a = a + i0}$ $a = a + i0$ se obține în mod trivial:

a^{-1}={\frac {a}{a^{2}}}={\frac {1}{a}}

{\ displaystyle a ^ {- 1} = {\ frac {a} {a ^ {2}}} = {\ frac {1} {a}}}

a ^ {{- 1}} = {\ frac {a} {a ^ {2}}} = {\ frac {1} {a}}

Construcție geometrică

Punct fix $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ pe planul Argand-Gauss este posibil să se construiască punctul $z^{-1}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$ $z ^ {- 1}$ folosind unele teoreme ale geometriei euclidiene .

Prima metodă

Fixați punctul planului Gaussian care reprezintă numărul complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ iar acest punct se alătură originii $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ .

Desenați linia simetrică cu linia ${\overline {Oz}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Oz}}}$ $\ overline {Oz}$ în raport cu axa reală.

Desenați cercul cu centrul la origine și raza 1 și indicați cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ punctul de intersecție al acestei circumferințe cu linia dreaptă ${\overline {Oz}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Oz}}}$ $\ overline {Oz}$ .

A te alatura $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ cu punctul $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ $=\left(1,0\right)$ ${\ displaystyle = \ left (1,0 \ right)}$ $= \ left (1,0 \ right)$ și plumb din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ paralela cu linia ${\overline {Cz}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Cz}}}$ $\ overline {Cz}$ .

Indicat cu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ punctul de intersecție al acestei paralele cu axa reală, trasează circumferința cu centrul la origine și rază ${\overline {OB}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OB}}}$ $\ overline {OB}$ .

Punctul de intersecție al acestui cerc cu linia simetrică a liniei ${\overline {Oz}}$ ${\ displaystyle {\ overline {Oz}}}$ $\ overline {Oz}$ față de axa reală este punctul planului Gaussian care reprezintă numărul complex ${\frac {1}{z}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z}}}$ ${\ frac {1} {z}}$ .

De fapt, datorită similitudinii triunghiurilor $SAU LA B.$ ${\ displaystyle OAB}$ $OAB$ Și $SAU z C.$ ${\ displaystyle OzC}$ $OzC$ , avem:

Oz:OA=OC:OB\quad \Rightarrow \quad \left|z\right|:1=1:OB\quad \Rightarrow \quad OB={\frac {1}{|z|}}

{\ displaystyle Oz: OA = OC: OB \ quad \ Rightarrow \ quad \ left | z \ right |: 1 = 1: OB \ quad \ Rightarrow \ quad OB = {\ frac {1} {| z |}}}

Oz: OA = OC: OB \ quad \ Rightarrow \ quad \ left | z \ right |: 1 = 1: OB \ quad \ Rightarrow \ quad OB = {\ frac {1} {| z |}}

Pe de altă parte, a fi $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\left|z\right|^{2}}}$ ${\ displaystyle z ^ {- 1} = {\ frac {\ overline {z}} {\ left | z \ right | ^ {2}}}}$ $z ^ {{- 1}} = {\ frac {\ overline {z}} {\ left | z \ right | ^ {2}}}$ un multiplu de ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ va avea propriul argument , adică va rămâne în linie ${\overline {O{\overline {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {O {\ overline {z}}}}}$ $\ overline {O \ overline {z}}$

Deci numărul construit este corect ${\frac {1}{z}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z}}}$ ${\ frac {1} {z}}$ întrucât are modul egal cu ${\overline {OB}}={\frac {1}{\left|z\right|}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OB}} = {\ frac {1} {\ left | z \ right |}}}$ $\ overline {OB} = {\ frac {1} {\ left | z \ right |}}$ și argument opus celui de $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

A doua metodă

Fixați punctul planului Gaussian care reprezintă numărul complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și desenați complexul conjugat ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ .

A te alatura ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ cu originea $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ .

Desenați cercul cu centrul la origine și raza 1 și conduceți de la ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ una dintre cele două tangente la această circumferință și este indicată cu $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ punctul de tangență.

Alăturați-vă acestui punct cu originea și plumbul, întotdeauna din $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ perpendicular pe linie ${\overline {O{\overline {z}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {O {\ overline {z}}}}}$ $\ overline {O \ overline {z}}$ .

Piciorul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din această perpendiculară este punctul planului Gaussian care reprezintă numărul complex ${\frac {1}{z}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z}}}$ ${\ frac {1} {z}}$ .

De fapt, pentru prima teoremă a lui Euclid s-a aplicat triunghiului dreptunghiular $OT{\overline {z}}$ ${\ displaystyle OT {\ overline {z}}}$ $OT \ overline {z}$ avem:

{\overline {O{\overline {z}}}}:{\overline {OT}}={\overline {OT}}:{\overline {OX}}

{\ displaystyle {\ overline {O {\ overline {z}}}}: {\ overline {OT}} = {\ overline {OT}}: {\ overline {OX}}}

\ overline {O \ overline {z}}: \ overline {OT} = \ overline {OT}: \ overline {OX}

dar de atunci $\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ${\ displaystyle \ left | {\ overline {z}} \ right | = \ left | z \ right |}$ $\ left | \ overline {z} \ right | = \ left | z \ right |$ , da

\left|z\right|:1=1:{\overline {OX}}\quad \Rightarrow \quad {\overline {OX}}={\frac {1}{\left|z\right|}}

{\ displaystyle \ left | z \ right |: 1 = 1: {\ overline {OX}} \ quad \ Rightarrow \ quad {\ overline {OX}} = {\ frac {1} {\ left | z \ right | }}}

\ left | z \ right |: 1 = 1: \ overline {OX} \ quad \ Rightarrow \ quad \ overline {OX} = {\ frac {1} {\ left | z \ right |}}

.

Segmentul ${\overline {OX}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OX}}}$ $\ overline {OX}$ este conținut și în linia dreaptă care trece prin originea e ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ , deci argumentul este exact opusul lui $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică