Tangent la circumferință

În geometria euclidiană se numește tangentă la circumferință $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ o linie dreaptă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ care atinge $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ intr-un loc. Este posibil să demonstrezi că ai un punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ totuși nu există mită $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este intern pentru $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , există exact o tangentă dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un punct de $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și există exact două tangente distincte dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este extern $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ .

Construcție tangentă dintr-un punct extern

Având în vedere un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în afara circumferinței $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este posibil să se construiască tangențele la acea circumferință pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ (și, prin urmare, demonstrați existența unor astfel de linii tangente).

Metoda lui Euclid

Euclid propune o construcție a unor astfel de tangențe în Elemente ( Cartea III - Propoziția 17 ).

Din centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a circumferinței $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ desenați segmentul ${\overline {OA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ și trasează circumferința $\Gamma '$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ de centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și raza ${\overline {OA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ .

Este $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ unul dintre cele două puncte de intersecție dintre $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ Și ${\overline {OA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ (alegem de exemplu cel dintre $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ).

Din acel moment $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ trasează perpendicularul pe ${\overline {OA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ și fie $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ unul dintre cele două puncte de intersecție ale acestei perpendiculare cu circumferința $\Gamma '$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ .

Deseneaza-te ${\overline {OD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ și indicați cu $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ punctul de intersecție între ${\overline {OD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OD}}}$ Și $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ .

Linia ${\overline {EA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {EA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {EA}}}$ este una dintre cele două tangente a $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ pentru punctul exterior $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Intr-adevar, ${\overline {OA}}={\overline {OD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}} = {\ overline {OD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}} = {\ overline {OD}}}$ întrucât ambele raze de $\Gamma '$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ și ${\overline {OB}}={\overline {OE}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OB}} = {\ overline {OE}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OB}} = {\ overline {OE}}}$ întrucât ambele raze de $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ .

Triunghiurile $ȘI SAU LA$ ${\ displaystyle EOA}$ ${\ displaystyle EOA}$ Și $B. SAU D.$ ${\ displaystyle BOD}$ ${\ displaystyle BOD}$ sunt congruente, deoarece au două laturi, iar unghiul dintre ele este congruent.

Deci, mai exact unghiul $OEA=OBD$ ${\ displaystyle OEA = OBD}$ ${\ displaystyle OEA = OBD}$ este corect.

Prin propunerea Elementelor 3.16, o linie care formează un unghi drept cu un diametru (în acest caz cu ${\overline {OE}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OE}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OE}}}$ ) este tangentă la circumferință. De aici și tangența ${\overline {EA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {EA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {EA}}}$ la $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ .

Cealaltă tangentă este construită alegând celălalt dintre cele două puncte de intersecție ale perpendicularei la ${\overline {OA}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {OA}}}$ cu circumferința $\Gamma '$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ ${\ displaystyle \ Gamma '}$ .

Metoda alternativă

Alăturați-vă lui P cu centrul $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a circumferinței $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ și urmă $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ punctul de mijloc al segmentului ${\overline {PO}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PO}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PO}}}$ .

Desenați cercul cu centrul M și raza ${\overline {MP}}$ ${\ displaystyle {\ overline {MP}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {MP}}}$ și indicați cu $T_{1}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ $T_ {1}$ Și $T_{2}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ $T_ {2}$ punctele de intersecție ale acelui cerc cu $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ .

Liniile ${\overline {PT_{1}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {1}}}}$ Și ${\overline {PT_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {2}}}}$ sunt tangente la circumferință $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ condus din punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ .

Într-adevăr, cele două triunghiuri $OT_{1}P$ ${\ displaystyle OT_ {1} P}$ ${\ displaystyle OT_ {1} P}$ Și $OT_{2}P$ ${\ displaystyle OT_ {2} P}$ ${\ displaystyle OT_ {2} P}$ sunt dreptunghiuri în $T_{1}$ ${\ displaystyle T_ {1}}$ $T_ {1}$ Și $T_{2}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ $T_ {2}$ respectiv pentru că sunt înscrise în semicercuri; asa de ${\overline {PT_{1}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {1}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {1}}}}$ Și ${\overline {PT_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {PT_ {2}}}}$ sunt tangente la circumferință $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ condus de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ întrucât este perpendiculară pe raze $OT_{1}$ ${\ displaystyle OT_ {1}}$ ${\ displaystyle OT_ {1}}$ $OT_{2}$ ${\ displaystyle OT_ {2}}$ ${\ displaystyle OT_ {2}}$ respectiv.

Tangent în geometria cartesiană

În geometria carteziană , coeficientul unghiular al tangentei se găsește calculând derivata totală a ecuației circumferinței în raport cu $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sau $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , aplicat la punctul afectat de pe circumferință.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică