Număr dublu

În algebra liniară , numerele duale sunt o extensie a numerelor reale , introduse în secolul al XIX-lea de William Clifford , obținute prin adăugarea la ele a unui element caracterizat prin proprietatea de a fi nilpotent , adică astfel încât pătratul său să fie egal cu zero. Numerele duale, deși nu posedă proprietățile unui câmp, constituie un set cu proprietăți complementare celor ale numerelor complexe . Ei găsesc diverse aplicații în fizică , atât în teoriile clasice , cât și în cele referitoare la relativitatea einsteiniană și fizica particulelor .

Algebră cu număr dublu

Indicat cu $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ elementul nilpotent, orice număr dual poate fi, prin urmare, scris în forma:

z=a+b\varepsilon

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon}

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon}

,

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere reale, iar relația se menține

\varepsilon ^{2}=0

{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}

{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}

.

Elementul $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ are o funcție analogă unității imaginare a numerelor complexe și este adesea definită și ca unitate imaginară .

În general, este posibil să se efectueze operații algebrice normale pe numere duale, luând în considerare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ca variabilă și având grijă să o înlocuiască $\varepsilon ^{n}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {n}}$ cu 0 când $n\geq 2$ ${\ displaystyle n \ geq 2}$ $n \ geq 2$ . Este astfel posibil să se calculeze suma și produsul a două numere duale $z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon$ ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon}$ Și $z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon$ ${\ displaystyle z_ {2} = a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z_ {2} = a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon}$ :

{\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&\left(a_{1}+a_{2}\right)+\left(b_{1}+b_{2}\right)\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&\left(a_{1}a_{2}\right)+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\right)\varepsilon .\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} z_ {1} + z_ {2} & = & \ left (a_ {1} + a_ {2} \ right) + \ left (b_ {1} + b_ {2} \ dreapta) \ varepsilon \\ z_ {1} z_ {2} & = & \ left (a_ {1} a_ {2} \ right) + \ left (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ { 1} \ dreapta) \ varepsilon. \ End {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} z_ {1} + z_ {2} & = & \ left (a_ {1} + a_ {2} \ right) + \ left (b_ {1} + b_ {2} \ dreapta) \ varepsilon \\ z_ {1} z_ {2} & = & \ left (a_ {1} a_ {2} \ right) + \ left (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ { 1} \ dreapta) \ varepsilon. \ End {matrix}}}

Cu operațiile descrise mai sus, numerele duale formează o algebră asociativă și comutativă cu unitate.

Divizia

Operația de împărțire între două numere duale este definită ca multiplicare prin inversul multiplicativ al divizorului ; în mod similar cu numerele complexe, împărțirea se poate efectua prin înmulțirea împărțitorului și a împărțitorului cu conjugatul împărțitorului:

{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{(c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2})}}={\frac {ac-ad\varepsilon +cb\varepsilon -0}{c^{2}+0}}={\frac {ac+\varepsilon (cb-ad)}{c^{2}}}={\frac {a}{c}}+{\frac {cb-ad}{c^{2}}}\varepsilon .

{\ displaystyle {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}} = {\ frac {(a + b \ varepsilon) (cd \ varepsilon)} {(c + d \ varepsilon) (cd \ varepsilon)}} = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + cb \ varepsilon -bd \ varepsilon ^ {2}} {(c ^ {2} + cd \ varepsilon -cd \ varepsilon -d ^ {2} \ varepsilon ^ {2})}} = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + cb \ varepsilon -0} {c ^ {2} +0}} = {\ frac {ac + \ varepsilon (cb-ad)} { c ^ {2}}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {cb-ad} {c ^ {2}}} \ varepsilon.}

{\ displaystyle {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}} = {\ frac {(a + b \ varepsilon) (cd \ varepsilon)} {(c + d \ varepsilon) (cd \ varepsilon)}} = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + cb \ varepsilon -bd \ varepsilon ^ {2}} {(c ^ {2} + cd \ varepsilon -cd \ varepsilon -d ^ {2} \ varepsilon ^ {2})}} = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + cb \ varepsilon -0} {c ^ {2} +0}} = {\ frac {ac + \ varepsilon (cb-ad)} { c ^ {2}}} = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {cb-ad} {c ^ {2}}} \ varepsilon.}

Diviziunea este definită de $c\neq 0$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ ${\ displaystyle c \ neq 0}$ , deci toți dualii fără parte reală nu sunt inversabili și numerele duale nu constituie un câmp .

Calcul numeric al derivatelor

Unitatea imaginară a numerelor duale are proprietăți similare cu infinitesimalii utilizate în analiza nestandardizată , ale căror pătrate au o valoare „aproape” nulă (mai exact, acestea sunt infinitesimale de ordin superior). Aceste caracteristici au aplicații interesante în definirea polinoamelor pe numere duale: dat fiind polinomul $P(a+b\varepsilon )=\sum _{k=0}^{n}=p_{k}(a+b\varepsilon )^{k}$ ${\ displaystyle P (a + b \ varepsilon) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} = p_ {k} (a + b \ varepsilon) ^ {k}}$ ${\ displaystyle P (a + b \ varepsilon) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} = p_ {k} (a + b \ varepsilon) ^ {k}}$ , este posibil să scriem dezvoltarea lui Taylor , centrată în punct $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ; această dezvoltare este trunchiată la al doilea termen, deoarece toți termenii ulteriori conțin puteri ale unității imaginare mai mari decât unul:

P(z)=\sum _{k=0}^{n}P^{(k)}(a){\frac {(b\varepsilon )^{k}}{k!}}=P(a)+P^{\prime }(a)b\varepsilon

{\ displaystyle P (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} P ^ {(k)} (a) {\ frac {(b \ varepsilon) ^ {k}} {k!}} = P (a) + P ^ {\ prime} (a) b \ varepsilon}

{\ displaystyle P (z) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} P ^ {(k)} (a) {\ frac {(b \ varepsilon) ^ {k}} {k!}} = P (a) + P ^ {\ prime} (a) b \ varepsilon}

.

Din formula de mai sus rezultă că cunoașterea valorii polinomului într-un număr dual dat, este posibil să se cunoască valoarea derivatei polinomului, calculată pe partea reală. De asemenea, este posibil să generalizați această formulă folosind-o pentru a defini funcții transcendente pe numere duale:

f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf^{\prime }(a)\varepsilon

{\ displaystyle f (a + b \ varepsilon) = f (a) + bf ^ {\ prime} (a) \ varepsilon}

{\ displaystyle f (a + b \ varepsilon) = f (a) + bf ^ {\ prime} (a) \ varepsilon}

.

Reprezentări

Reprezentarea matricei

Numerele duale sunt identificabile cu matrici reale $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ a formei:

{\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}},

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}},}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}},}

reprezentând numărul $a+b\varepsilon$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ .

În acest fel, operațiile obișnuite de adunare și produs între matrice coincid cu suma și produsul numerelor duale; elementul nilpotent este dat de matrice

\varepsilon ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Reprezentare polară

Puteți defini forma unui număr dual ca:

|z|^{2}=zz^{*}=(a+\varepsilon b)(a-\varepsilon b)=a^{2}-\varepsilon ^{2}b^{2}=a^{2}

{\ displaystyle | z | ^ {2} = zz ^ {*} = (a + \ varepsilon b) (a- \ varepsilon b) = a ^ {2} - \ varepsilon ^ {2} b ^ {2} = a ^ {2}}

{\ displaystyle | z | ^ {2} = zz ^ {*} = (a + \ varepsilon b) (a- \ varepsilon b) = a ^ {2} - \ varepsilon ^ {2} b ^ {2} = a ^ {2}}

.

Circumferința unității este apoi constituită din liniile de ecuație $a=\pm 1$ ${\ displaystyle a = \ pm 1}$ ${\ displaystyle a = \ pm 1}$ , în timp ce echivalentul formulei lui Euler este:

\exp(b\varepsilon )=1+\varepsilon b

{\ displaystyle \ exp (b \ varepsilon) = 1 + \ varepsilon b}

{\ displaystyle \ exp (b \ varepsilon) = 1 + \ varepsilon b}

.

Având în vedere numărul $z=a+\varepsilon b$ ${\ displaystyle z = a + \ varepsilon b}$ ${\ displaystyle z = a + \ varepsilon b}$ , de sine $a\neq 0$ ${\ displaystyle a \ neq 0}$ $a \ neq 0$ îl poți descompune ca:

z=a\left(1+{\frac {b}{a}}\varepsilon \right)

{\ displaystyle z = a \ left (1 + {\ frac {b} {a}} \ varepsilon \ right)}

{\ displaystyle z = a \ left (1 + {\ frac {b} {a}} \ varepsilon \ right)}

.

Cei doi parametri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b/a$ ${\ displaystyle b / a}$ $b / a$ putem considera coordonatele polare ale numărului dual.

Generalizări

Construcția efectuată poate fi generalizată la orice inel comutativ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ : numere duble activate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt elementele inelului coeficient $A[X]/\left(X^{2}\right)$ ${\ displaystyle A [X] / \ left (X ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle A [X] / \ left (X ^ {2} \ right)}$ , unde este $A[X]$ ${\ displaystyle A [X]}$ $A [X]$ este inelul polinoamelor cu coeficienți în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $\left(X^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ este idealul generat de $X^{2}$ ${\ displaystyle X ^ {2}}$ ${\ displaystyle X ^ {2}}$ .

Idealul $\left(X^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ nu este maxim ^[1] , deci inelul dual nu este niciodată un câmp; inversul elementului $a+b\varepsilon$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ Și $a^{-1}-ba^{-2}\varepsilon$ ${\ displaystyle a ^ {- 1} -ba ^ {- 2} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a ^ {- 1} -ba ^ {- 2} \ varepsilon}$ , și se definește dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o unitate în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Aplicații

Transformările lui Galileo

În cinematică, transformările lui Galileo pot fi reprezentate prin numere duale: dat fiind sistemul de referință $O^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })$ ${\ displaystyle O ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime})}$ ${\ displaystyle O ^ {\ prime} (x ^ {\ prime}, t ^ {\ prime})}$ , care se deplasează cu viteză relativă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ în ceea ce privește sistemul de referință $O(x,t)$ ${\ displaystyle O (x, t)}$ ${\ displaystyle O (x, t)}$ , transformarea coordonatelor dintre cele două sisteme este dată de matricea cu număr dublu $1+v\varepsilon$ ${\ displaystyle 1 + v \ varepsilon}$ ${\ displaystyle 1 + v \ varepsilon}$ :

(t^{\prime },x^{\prime })=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle (t ^ {\ prime}, x ^ {\ prime}) = (t, x) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle (t ^ {\ prime}, x ^ {\ prime}) = (t, x) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

,

adică:

\left\{{\begin{matrix}t^{\prime }&=&t\\x^{\prime }&=&vt+x.\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} t ^ {\ prime} & = & t \\ x ^ {\ prime} & = & vt + x. \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} t ^ {\ prime} & = & t \\ x ^ {\ prime} & = & vt + x. \ end {matrix}} \ right.}

Supra spații în fizică

Numerele duale sunt un exemplu simplu de superspațiu , folosit de unele teorii fizice, cum ar fi relativitatea generală și teoriile supersimetrice , pentru a descrie configurația spațială. De exemplu, în supersimetrie, componenta lor reală se numește direcția bosonică , direcția imaginară a fermionului . Acesta din urmă își trage numele de la fermioni , particule care respectă principiul excluderii Pauli : cu un schimb de coordonate, funcția lor de undă schimbă semnul și având în vedere ambele coordonate, funcția de undă este anulată. Acest comportament poate fi rezumat în proprietățile elementului nilpotent.

Notă

^ $\left(X^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ este cuprins în ideal $\left(X\right)$ ${\ displaystyle \ left (X \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X \ right)}$

Bibliografie

Isaak Yaglom , Numere complexe în geometrie , Academic Press, 1968.
Vladimir V. Kisil, Inventing the Wheel, the Parabolic One , 2007, arXiv: 0707.4024v1. Adus pe 5 iulie 2008 .

Elemente conexe

linkuri externe

Numere duble și dinamică galileană , pe google.it .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] $\left(X^{2}\right)$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {2} \ right)}$ este cuprins în ideal $\left(X\right)$ ${\ displaystyle \ left (X \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (X \ right)}$

[1]