Număr complex hiperbolic

În matematică , numerele complexe hiperbolice (sau numerele complexe sparte ) sunt o extensie a numerelor reale , obținute prin adăugarea la ele a unui element nereal, indicat de obicei cu simbolul $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , și numită unitate imaginară hiperbolică , al cărei pătrat este egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Numerele complexe hiperbolice au numeroase asemănări cu numerele complexe obișnuite; spre deosebire de acestea, însă, ele nu constituie un câmp , ci doar un inel .

Numerele complexe hiperbolice au fost introduse în 1848 de James Cockle și utilizate de William Clifford pentru a reprezenta suma rotațiilor . Începând cu secolul al XX-lea, acestea au fost folosite pentru a reprezenta transformările Lorentz în cadrul relativității speciale.

Algebra complexelor hiperbolice

Un număr complex hiperbolic poate fi exprimat sub forma:

z=a+b\varepsilon

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon}

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon}

,

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt numere reale, iar relația este valabilă:

\varepsilon ^{2}=1

{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}

{\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}

.

Pe numerele complexe este posibil să se efectueze operații algebrice normale, luând în considerare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ca variabilă și având grijă să efectueze înlocuirea $\varepsilon ^{2}=1$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 1}$ (sau, mai general, $\varepsilon ^{2n}=1$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2n} = 1}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2n} = 1}$ pentru fiecare putere uniformă a unității imaginare hiperbolice, e $\varepsilon ^{2n+1}=\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2n + 1} = \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2n + 1} = \ varepsilon}$ pentru fiecare putere impara). Prin urmare, este posibil să se calculeze suma și produsul a două numere complexe hiperbolice $z_{1}=a_{1}+b_{1}\varepsilon$ ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z_ {1} = a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon}$ Și $z_{2}=a_{2}+b_{2}\varepsilon$ ${\ displaystyle z_ {2} = a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z_ {2} = a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon}$ :

{\begin{matrix}z_{1}+z_{2}&=&(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\varepsilon \\z_{1}z_{2}&=&(a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\varepsilon \\\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} z_ {1} + z_ {2} & = & (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \ varepsilon \\ z_ { 1} z_ {2} & = & (a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}) + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1}) \ varepsilon \\\ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} z_ {1} + z_ {2} & = & (a_ {1} + a_ {2}) + (b_ {1} + b_ {2}) \ varepsilon \\ z_ { 1} z_ {2} & = & (a_ {1} a_ {2} + b_ {1} b_ {2}) + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1}) \ varepsilon \\\ end {matrix}}}

Inversul multiplicativ al numărului $a+b\varepsilon$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ Și:

\left(a+b\varepsilon \right)^{-1}={\frac {a-b\varepsilon }{a^{2}-b^{2}}}

{\ displaystyle \ left (a + b \ varepsilon \ right) ^ {- 1} = {\ frac {ab \ varepsilon} {a ^ {2} -b ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ left (a + b \ varepsilon \ right) ^ {- 1} = {\ frac {a-b \ varepsilon} {a ^ {2} -b ^ {2}}}}

,

și se definește numai dacă $a^{2}-b^{2}\neq 0$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} \ neq 0}$ ${\ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} \ neq 0}$ , prin care numerele complexe hiperbolice nu formează un câmp.

Complexe hiperbolice ca inel coeficient

Numerele hiperbolice pot fi definite ca elementele inelului coeficient

{\frac {\mathbb {R} [X]}{(X^{2}-1)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {R} [X]} {(X ^ {2} -1)}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {R} [X]} {(X ^ {2} -1)}}}

,

unde este $\mathbb {R} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}$ este inelul polinoamelor într-o variabilă cu coeficienți reali și în $(X^{2}-1)$ ${\ displaystyle (X ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle (X ^ {2} -1)}$ este idealul generat de polinom $X^{2}-1$ ${\ displaystyle X ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle X ^ {2} -1}$ . Acest ideal nu este maxim , deoarece este cuprins în cele două idealuri $(X-1)$ ${\ displaystyle (X-1)}$ ${\ displaystyle (X-1)}$ Și $(X+1)$ ${\ displaystyle (X + 1)}$ ${\ displaystyle (X + 1)}$ , prin urmare, inelul numerelor complexe hiperbolice nu este un câmp. Mai mult, operațiile de adăugare și produs sunt continue în ceea ce privește topologia obișnuită a planului , astfel încât inelul este, de asemenea, un inel topologic .

Prin definirea operației produsului pentru un scalar $\alpha \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}$ :

\alpha (a+b\varepsilon )=\alpha a+\alpha b\varepsilon

{\ displaystyle \ alpha (a + b \ varepsilon) = \ alpha a + \ alpha b \ varepsilon}

{\ displaystyle \ alpha (a + b \ varepsilon) = \ alpha a + \ alpha b \ varepsilon}

,

numerele complexe hiperbolice formează o algebră asociativă și comutativă dotată cu unitate, de dimensiune $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ . Această algebră este, de asemenea, o algebră Clifford , cu o formă pătratică definită pozitivă.

Metric

Numerele hiperbolice complexe pot fi reprezentate pe planul real, similar cu numerele complexe obișnuite; totuși acest plan nu are metrica euclidiană : definim conjugatul numărului $z=x+y\varepsilon$ ${\ displaystyle z = x + y \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z = x + y \ varepsilon}$ ca $z^{*}=x-y\varepsilon$ ${\ displaystyle z ^ {*} = xy \ varepsilon}$ ${\ displaystyle z ^ {*} = x-y \ varepsilon}$ . Modulul unui număr complex hiperbolic este apoi definit ca:

|z|=zz^{*}=x^{2}-y^{2}

{\ displaystyle | z | = zz ^ {*} = x ^ {2} -y ^ {2}}

{\ displaystyle | z | = zz ^ {*} = x ^ {2} -y ^ {2}}

.

Metric astfel definită are o semnătură $(1,-1)$ ${\ displaystyle (1, -1)}$ ${\ displaystyle (1, -1)}$ și echipează numerele complexe hiperbolice cu structura spațială Minkowski și se păstrează prin multiplicare:

\lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert .

{\ displaystyle \ lVert zw \ rVert = \ lVert z \ rVert \ lVert w \ rVert.}

{\ displaystyle \ lVert zw \ rVert = \ lVert z \ rVert \ lVert w \ rVert.}

.

De asemenea, este posibil să se definească un echivalent al formulei lui Euler :

\exp(\varepsilon \theta )=\cosh(\theta )+\varepsilon \sinh(\theta )

{\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta) = \ cosh (\ theta) + \ varepsilon \ sinh (\ theta)}

{\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta) = \ cosh (\ theta) + \ varepsilon \ sinh (\ theta)}

.

Numerele formularului $\exp(\varepsilon \theta )$ ${\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta)}$ ${\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta)}$ au modul egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ conform metricii tocmai definite și se află pe hiperbola echilaterală a ecuației:

x^{2}-y^{2}=1

{\ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} = 1}

x ^ {2} -y ^ {2} = 1

.

Această hiperbolă joacă un rol pe planul hiperbolic similar cu cel al circumferinței unității pe planul complex . Înmulțirea cu $\exp(\varepsilon \theta )$ ${\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta)}$ ${\ displaystyle \ exp (\ varepsilon \ theta)}$ păstrează norma și corespunde unei rotații hiperbolice sau unei transformări Lorentz.

De asemenea, este posibil să definiți produsul punct ca:

\left\langle z_{1},z_{2}\right\rangle =\left\langle a_{1}+b_{1}\varepsilon ,a_{2}+b_{2}\varepsilon \right\rangle =\mathrm {Re} \left(z_{1}z_{2}^{*}\right)=\mathrm {Re} \left(z_{1}^{*}z_{2}\right)=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}

{\ displaystyle \ left \ langle z_ {1}, z_ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon, a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon \ right \ rangle = \ mathrm {Re} \ left (z_ {1} z_ {2} ^ {*} \ right) = \ mathrm {Re} \ left (z_ {1} ^ {*} z_ {2} \ right) = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}}

{\ displaystyle \ left \ langle z_ {1}, z_ {2} \ right \ rangle = \ left \ langle a_ {1} + b_ {1} \ varepsilon, a_ {2} + b_ {2} \ varepsilon \ right \ rangle = \ mathrm {Re} \ left (z_ {1} z_ {2} ^ {*} \ right) = \ mathrm {Re} \ left (z_ {1} ^ {*} z_ {2} \ right) = a_ {1} a_ {2} -b_ {1} b_ {2}}

.

Reprezentarea matricei

Proprietățile algebrice ale unității imaginare $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ sunt exprimate prin matrice :

{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}.}

În general, numărul complex hiperbolic $a+b\varepsilon$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a + b \ varepsilon}$ este reprezentat de matrice

{\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & a \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ b & a \ end {pmatrix}}.}

Operațiile obișnuite de adunare și multiplicare între matrice coincid cu suma și produsul definit mai sus. Operația de conjugare corespunde multiplicării pe ambele părți cu matricea:

{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}

.

Rotația hiperbolică corespunde multiplicării cu matricea:

{\begin{pmatrix}\cosh \theta &\sinh \theta \\\sinh \theta &\cosh \theta \end{pmatrix}}.

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ theta & \ sinh \ theta \\\ sinh \ theta & \ cosh \ theta \ end {pmatrix}}.}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cosh \ theta & \ sinh \ theta \\\ sinh \ theta & \ cosh \ theta \ end {pmatrix}}.}

Baza diagonală

Unitate reală $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ iar cel imaginar $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ formează o bază pentru planul complex hiperbolic; cu toate acestea, este posibil să se utilizeze alte baze prin intermediul unor schimbări adecvate de coordonate. O bază utilizată în mod special este cea constituită din cele două elemente idempotente non-banale:

{\begin{matrix}e&=&{\frac {1-\varepsilon }{2}}\\e^{*}&=&{\frac {1+\varepsilon }{2}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} e & = & {\ frac {1- \ varepsilon} {2}} \\ e ^ {*} & = & {\ frac {1+ \ varepsilon} {2}} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} e & = & {\ frac {1- \ varepsilon} {2}} \\ e ^ {*} & = & {\ frac {1+ \ varepsilon} {2}} \ end {matrix}}}

Baza formată din $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ și $e^{*}$ ${\ displaystyle e ^ {*}}$ ${\ displaystyle e ^ {*}}$ se numește bază diagonală sau bază nulă , deoarece componentele sale au modul nul. Transformarea coordonatelor de la o bază la alta este dată de următoarea formulă:

z=a+b\varepsilon =(a-b)e+(a+b)e^{*}

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon = (ab) e + (a + b) e ^ {*}}

{\ displaystyle z = a + b \ varepsilon = (a-b) e + (a + b) e ^ {*}}

.

Unele operații între numere complexe hiperbolice au o expresie mult mai simplă în baza diagonală; date fiind numerele $z_{1}=x_{1}e+y_{1}e^{*}$ ${\ displaystyle z_ {1} = x_ {1} e + y_ {1} e ^ {*}}$ ${\ displaystyle z_ {1} = x_ {1} e + y_ {1} e ^ {*}}$ Și $z_{2}=x_{2}e+y_{2}e^{*}$ ${\ displaystyle z_ {2} = x_ {2} e + y_ {2} e ^ {*}}$ ${\ displaystyle z_ {2} = x_ {2} e + y_ {2} e ^ {*}}$ se aplică următoarele:

multiplicare: $z_{1}z_{2}=(x_{1}x_{2})e+(y_{1}y_{2})e^{*}$ ${\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = (x_ {1} x_ {2}) și + (y_ {1} y_ {2}) și ^ {*}}$ ${\ displaystyle z_ {1} z_ {2} = (x_ {1} x_ {2}) și + (y_ {1} y_ {2}) și ^ {*}}$ ;
conjugare: $z_{1}^{*}=y_{1}e+x_{1}e^{*}$ ${\ displaystyle z_ {1} ^ {*} = y_ {1} e + x_ {1} e ^ {*}}$ ${\ displaystyle z_ {1} ^ {*} = y_ {1} e + x_ {1} e ^ {*}}$ ;
modul: $\lVert z_{1}\rVert =x_{1}y_{1}$ ${\ displaystyle \ lVert z_ {1} \ rVert = x_ {1} y_ {1}}$ ${\ displaystyle \ lVert z_ {1} \ rVert = x_ {1} y_ {1}}$ .

Elemente conexe

linkuri externe

(RO) Introducere în Algebraic Motors , pe ca.geocities.com (depusă de „Original url 11 august 2006). , introducere la motoarele algebrice

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică