Izometria spațială hiperbolică

În geometrie , o izometrie a spațiului hiperbolic este o izometrie a spațiului hiperbolic $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ . Adică este o mișcare rigidă a spațiului, adică o funcție care mișcă toate punctele din spațiu menținând în același timp distanțele dintre ele.

Izometriile spațiului hiperbolic se comportă în unele privințe similare cu cele din spațiul euclidian , dar sunt mai bogate decât acestea în alte aspecte. Ele pot fi studiate eficient prin sfera până la infinit .

Izometriile spațiului hiperbolic formează un grup .

Definiție

O izometrie a $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ este un difeomorfism care păstrează tensorul metric . În special, păstrează distanța dintre puncte, geodezice , unghiuri între curbe și volume.

Spațiul hiperbolic este omogen și izotrop

În spațiul euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Exemple de izometrii sunt translațiile și rotațiile . Prin aceste izometrii este posibil să mișcați puncte și linii după bunul plac: aceeași proprietate se păstrează și în spațiul hiperbolic.

La fel ca spațiul euclidian, și spațiul hiperbolic $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ este de fapt omogen și izotrop : punctele și liniile sunt toate indistincte . Mai exact, pentru fiecare pereche de puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , și pentru fiecare pereche de linii $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ trecători respectiv pentru $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , există o izometrie a spațiului pe care îl trimite $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Acest fapt poate fi ușor demonstrat prin alegerea celui mai potrivit model.

În modelul cu jumătate de spațiu , punctul $(0,\ldots ,0,1)$ ${\ displaystyle (0, \ ldots, 0,1)}$ ${\ displaystyle (0, \ ldots, 0,1)}$ poate fi mutat în mod arbitrar $(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\ displaystyle (X_ {1}, \ ldots, X_ {n})}$ $(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ prin compoziția izometriilor

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=(x_{1}+X_{1},\ldots ,x_{n-1}+X_{n-1},x_{n})

{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (x_ {1} + X_ {1}, \ ldots, x_ {n-1} + X_ {n-1}, x_ {n })}

{\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (x_ {1} + X_ {1}, \ ldots, x_ {n-1} + X_ {n-1}, x_ {n })}

Și

g(x_{1},\ldots ,x_{n})=(X_{n}x_{1},\ldots ,X_{n}x_{n}).

{\ displaystyle g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (X_ {n} x_ {1}, \ ldots, X_ {n} x_ {n}).}

{\ displaystyle g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = (X_ {n} x_ {1}, \ ldots, X_ {n} x_ {n}).}

Atunci te poți mișca $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ pe un punct arbitrar. În modelul discului Poincaré, se poate presupune că $P=Q$ ${\ displaystyle P = Q}$ ${\ displaystyle P = Q}$ fie originea $(0,\ldots ,0)$ ${\ displaystyle (0, \ ldots, 0)}$ $(0, \ ldots, 0)$ . In acest punct, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ acestea sunt două linii drepte care trec prin origine și pot fi aduse una în cealaltă prin intermediul unei rotații adecvate a discului (centrată în origine).

Sferă până la infinit

În modelul discului Poincaré $B^{n}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ , sfera infinită a spațiului hiperbolic $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ este marginea $\partial B^{n}$ ${\ displaystyle \ partial B ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ partial B ^ {n}}$ a discului. Prin urmare, este sfera $S^{n-1}$ ${\ displaystyle S ^ {n-1}}$ $S ^ {{n-1}}$ in marime $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$

S^{n-1}={\big \{}x\in \mathbb {R} ^{n}\ {\big |}\ |x|=1{\big \}}.

{\ displaystyle S ^ {n-1} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ | x | = 1 {\ big \}}.}

{\ displaystyle S ^ {n-1} = {\ big \ {} x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ {\ big |} \ | x | = 1 {\ big \}}.}

Sfera la infinit poate fi definită intrinsec pornind de la $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ , indiferent de model. Este indicat cu $\partial \mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ . Prin adăugarea sferei la infinit în spațiul hiperbolic, se obține un spațiu care este indicat cu

{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}=\mathbb {H} ^{n}\cup \partial \mathbb {H} ^{n}.

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}} = \ mathbb {H} ^ {n} \ cup \ partial \ mathbb {H} ^ {n}.}

{\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}} = \ mathbb {H} ^ {n} \ cup \ partial \ mathbb {H} ^ {n}.}

Ca spațiu topologic , ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}$ este homeomorf pentru discul închis

D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leq 1\}=B^{n}\cup S^{n-1}.

{\ displaystyle D ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | \ leq 1 \} = B ^ {n} \ cup S ^ {n-1}. }

{\ displaystyle D ^ {n} = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ | \ | x | \ leq 1 \} = B ^ {n} \ cup S ^ {n-1}. }

Prin urmare, este un spațiu compact . Procesul de compactificare prin adăugarea „punctelor la infinit” este similar cu trecerea de la Euclidean la spațiul proiectiv .

Tipuri de izometrii

O izometrie a spațiului hiperbolic

f:\mathbb {H} ^{n}\to \mathbb {H} ^{n}

{\ displaystyle f: \ mathbb {H} ^ {n} \ to \ mathbb {H} ^ {n}}

{\ displaystyle f: \ mathbb {H} ^ {n} \ to \ mathbb {H} ^ {n}}

se întinde până la margine. Adică, există un singur homeomorfism

{\bar {f}}:{\overline {\mathbb {H} ^{n}}}\to {\overline {\mathbb {H} ^{n}}}

{\ displaystyle {\ bar {f}}: {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}} \ to {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}

{\ displaystyle {\ bar {f}}: {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}} \ to {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}

care coincide cu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în interiorul discului, adică pe $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ . Functia ${\bar {f}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ nu poate fi o izometrie la nivel global, dintr-un motiv simplu: spațiul ${\overline {\mathbb {H} ^{n}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {H} ^ {n}}}}$ nu este un spațiu metric , deoarece distanța este definită numai în interiorul său, în sus $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ , dar nu pe margine (punctele de la margine nu sunt puncte reale în spațiul hiperbolic: sunt la infinit și, prin urmare, au în mod informal o distanță infinită de cele interne).

Teorema punctului fix al lui Brouwer afirmă că fiecare homeomorfism al discului închis $D^{n}$ ${\ displaystyle D ^ {n}}$ $D ^ {n}$ în sine are un punct fix . Această teoremă, care nu este valabilă pe mingea deschisă $B^{n}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ ${\ displaystyle B ^ {n}}$ , garantează astfel existența unui punct fix pentru funcția extinsă ${\bar {f}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {f}}}$ (dar nu pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ).

O izometrie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ că păstrarea orientării spațiilor hiperbolice se spune:

eliptic dacă are un punct fix la $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ,
parabolică dacă nu are puncte fixe în $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ și are unul pe margine $\partial \mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ ,
hiperbolic dacă nu are puncte fixe în $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ și are două pe margine $\partial \mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ partial \ mathbb {H} ^ {n}}$ .

Nu există alte posibilități în afară de cele enumerate.

Soiuri hiperbolice complete

Fiecare colector hiperbolic complet se poate obține ca un coeficient al spațiului hiperbolic pentru un grup de izometrii care acționează într-un mod liber și corect discontinuu. În special, o astfel de izometrie nu trebuie să aibă puncte fixe în $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ .

Dacă varietatea hiperbolică este orientabilă , grupul este format din izometrii care păstrează orientarea. Astfel de izometrii sunt, prin urmare, hiperbolice sau parabolice (elipticele sunt excluse deoarece au puncte fixe în $\mathbb {H} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {H} ^ {n}}$ ). Dacă varietatea este compactă , toate izometriile sunt hiperbolice.

Bibliografie

( EN ) Riccardo Benedetti, Carlo Petronio, Prelegeri despre geometrie hiperbolică , Springer, 1992.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică