Glosar de structuri matematice

Acest glosar al structurilor matematice colectează principalele structuri utilizate în matematică (structuri algebrice, relaționale, topologice etc.) și tipurile de spații pe care se bazează. O scurtă explicație este furnizată pentru fiecare structură, referindu-se la articole specifice pentru discuția completă a acestora.

Index
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z ?

LA

Abelian

Adjectiv folosit în teoria grupurilor pentru a indica faptul că „grupul de operații binare interne , semigrup , monoid etc. este comutativ, precum și asociativ

Același subiect în detaliu: grup Abelian .

[index]

Copac

Grafic neorientat , conectat și fără buclă (grafic neorientat în care fiecare pereche de vârfuri este conectată printr-o singură cale)

Același subiect în detaliu: Arborele (grafic) .

[index]

Algebră

O algebră (intenționată ca o structură matematică ) este un spațiu vectorial V în care este definită și o operație (numită de obicei „multiplicare” sau „produs”) între vectori . Această operație este în general asociativă , astfel încât dicția algebră asociativă este adesea utilizată ca sinonim pentru algebră.

Există diverse categorii de algebre, care diferă între ele prin caracteristicile spațiului vectorial, prin proprietățile de multiplicare între vectori sau prin operațiuni sau restricții suplimentare impuse acestora.

- * -algebra - A * -algebra A este un * -ring care este o algebră asociativă pe un alt * -ring B , subset corespunzător al lui A În general, inelul de bază este cel al numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ iar operația algebrică * reprezintă complexul conjugat
- Algebră alternativă - Algebră pe un câmp în care fiecare subalgebră generată de două dintre elementele sale este asociativă . O algebră alternativă nu este neapărat asociativă
- Algebră asociativă
  - Orice tip de algebră în care multiplicarea între vectori este asociativă
- Algebra comutativă - Orice tip de algebră în care multiplicarea între vectori este comutativă
- Algebra octonionilor
  - Caz special de Cayley-Dickson Algebra care extinde algebra cuaternionilor prin utilizarea a 7 entități simbolice
- Algebra cuaternară
  - Caz special de algebră Cayley-Dickson. Cuaternionii sunt entități matematice care extind conceptul de număr complex : în loc să aibă o singură entitate abstractă care reprezintă unitatea imaginară (al cărei pătrat dă -1), cuaternionii folosesc trei entități simbolice (reprezentate prin i , j , k ) legate între ele și la numere reale prin relații definite astfel încât să formeze un corp necomutativ (în special: $i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,$ ${\ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1,}$ $i ^ {2} = j ^ {2} = k ^ {2} = ijk = -1,$ de la care $ij=k,$ ${\ displaystyle ij = k,}$ $ij = k,$ etc.)
- Sedenion algebra
  - Caz special al algebrei Cayley-Dickson care extinde algebra octonionilor prin utilizarea a 15 entități simbolice
- Algebra Banach
  - Algebră asociativă activată $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ că este, de asemenea, un spațiu Banach și astfel încât norma produsului este întotdeauna mai mică sau egală cu produsul normelor
- Algebra booleană
  - Algebră construită pe un set A de cel puțin două elemente, cu două operații binare ( OR sau disjuncție și ȘI sau conjuncție), ambele comutative și ambele distributive una față de cealaltă; setul de suport A trebuie să conțină un element neutru atât pentru operația OR (denumită în mod convențional 0 ), cât și pentru operațiunea AND (denumită convențional 1 ); în cele din urmă pentru fiecare element x din A trebuie să existe x-ul său "complementar" astfel încât OR (x, x ') = 1 și ȘI (x, x') = 0 . Definiția algebrei booleene poate fi formulată, într-un mod echivalent, cu alte sisteme de axiome .

Ansamblul părților unui set, echipat cu operațiile de unire , intersecție și complementare, constituie o algebră booleană izomorfă la orice altă algebră booleană cu aceeași cardinalitate .

Algebra binară booleană este baza aritmeticii calculatoarelor electronice

- Algebra Borel
  - Este cea mai mică σ-algebră a unui set cu o structură topologică care este compatibilă cu topologia însăși (adică care conține toate seturile deschise ale topologiei).
- Algebre Cayley-Dickson
  - Secvența algebrelor construite pe câmpul numerelor reale (fiecare are dublu față de dimensiunea precedentă). Aceste algebre extind conceptul de număr complex pentru a ajunge la cel al numărului hipercomplex care include cuaternioni , octeți , sedenii etc.
- Algebra lui Clifford
  - Algebră asociativă care are o formă pătratică ( polinom omogen de gradul 2). Extinde noțiunea de număr complex și are aplicații în fizica teoretică
- Algebra divizională
  - Algebră definită pe o structură în care există inversele multiplicative ale fiecărui element
- Algebră diferențială
  - Algebră definită pe o structură algebrică echipată cu o altă operație unară D , numită derivare , care satisface regula Leibnitz privind derivarea clasică a unui produs: D ( xy ) = D ( x ) y + x D ( y )
- Algebra de grup
  - Algebră care folosește un grup ca structură de bază a spațiului vectorial și extensia biliniară a operației de grup ca multiplicare a algebrei
- Heyting Algebra
  - Structura adevărului logicii intuiționiste . Similar cu algebra booleană , nu este neapărat închisă în ceea ce privește complementarea
- Algebra Hopf
  - Structură care are proprietățile unei algebre asociative unitare și a unei coalgebre co-asociative și co-unitare. Prin urmare, este o bialgebră dotată cu antiautomorfism
- Algebră de incidență
  - Algebră asociativă definită pe un set finit local parțial ordonat și orice inel comutativ cu unități
- Setați algebra
  - Algebră construită pe un subset $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ a setului de părți ale unui set atribuit. Întregul $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ trebuie să îndeplinească unele condiții: să conțină setul gol , pentru fiecare subset conținut trebuie să conțină și complementul său, pentru fiecare pereche de subseturi conținute trebuie să conțină și uniunea lor
- Algebra lui Jordan
  - Algebră pe un câmp , nu neapărat asociativ, dar cu multiplicare comutativă și în care identitatea xy (xx) = x (y (xx)) este valabilă pentru fiecare x și y
- Algebra Kleene
  - Algebră care generalizează expresiile regulate . Este definit pe o jumătate de inel și are trei operații interne (suma, produsul jumătății de inel și a treia operație indicată ca „*”). În plus, suma trebuie să fie idempotentă , o ordine parțială trebuie definită pe jumătatea inelului de susținere și sunt definite două alte axiome privind operația *:

1 + a ( a *) ≤ a * pentru toate a din A.

1 + ( a *) a ≤ a * pentru toate a din A

- Algebra minciunii
  - Algebră pe un câmp în care este definită o operație ulterioară în cadrul setului de suport ( produs Lie ) care este biliniară , satisface identitatea Jacobi și este nilpotentă . Este utilizat în principal pentru studiul obiectelor geometrice-analitice, cum ar fi grupurile Lie și varietățile diferențiate .
- Poisson Algebra
  - Algebră construită pe setul de funcții ale unei varietăți diferențiabile ( varietate Poisson )
- Virasoro Algebra
  - Algebră Lie complexă care realizează o extensie a câmpului de polinoame complexe pe cercul unitar.
- Algebră normată - Algebră asociativă activată $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ că este, de asemenea, un spațiu reglementat și astfel încât norma produsului să fie întotdeauna mai mică sau egală cu produsul normelor
- Algebra cuadratică
  - Structura algebrică pentru care se aplică regula $xx=ry+sx$ ${\ displaystyle xx = ry + sx}$ ${\ displaystyle xx = ry + sx}$ , unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ sunt elemente ale taberei de bază și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ un element inversabil al algebrei
- Algebra simetrică
  - k-algebră comutativă. În mod echivalent se poate spune că este o algebră tensorială comutativă
- Algebra de câmp
  - Algebră în care spațiul vectorial insistă asupra unui câmp pentru care este sinonim cu algebră
- Algebra tensorială
  -
- Algebra unitară
  - Algebră cu un element neutru (unitate) pentru multiplicare
- B * -algebra
  - Algebra Banach pe câmpul complex în care este definită o operație internă numită involuție (*) care, într-un anumit sens, extinde conceptul de conjugat complex . Generalizarea unei C * -algebre
- Bialgebra
  - Structură care este simultan o algebră asociativă unitară și o coalgebră pe același câmp ; ambele structuri trebuie să fie compatibile între ele
- C * -algebra
  - Algebra Banach pe câmpul complex în care este definită o operație internă numită involuție (*) care se bucură de proprietate $\|x^{*}x\|=\|x\|^{2}$ ${\ displaystyle \ | x ^ {*} x \ | = \ | x \ | ^ {2}}$ $\ | x ^ {*} x \ | = \ | x \ | ^ {2}$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .
- K-algebră
  - Sinonim de „algebră de câmp” și deci de algebră
- σ-algebră
  - Subset al setului de părți ale unui set dat $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care conține setul gol , complementul fiecăruia dintre elementele sale și este închis în raport cu unirea oricărui număr de elemente ale sale. O sigma-algebră este întotdeauna și o algebră setată .
- Σ-algebra lui Borel
  - Sinonim al algebrei lui Borel

Același subiect în detaliu: Algebra .

[index]

Inel

Structură algebrică constând dintr-un set A în care sunt definite două operații binare interne , denumite în mod convențional „ adunare ” (simbol: + ) și „ multiplicare ” (simbol: • ), în care:

- - adunarea este asociativă și comutativă , cu un element neutru și fiecare element având un invers (în practică (A, +) trebuie să fie un grup abelian )
  - multiplicarea este asociativă (în practică (A, •) trebuie să fie un semigrup )
  - multiplicarea este distributivă în ceea ce privește adunarea.

Dacă multiplicarea este și comutativă, vorbim despre un inel comutativ

În general, o mulțime A care este un inel este notată cu (A, + •)

Unii autori definesc un inel într-un mod ușor diferit: este necesar ca multiplicarea, pe lângă faptul că este asociativă, să aibă și elementul neutru (în practică, prin urmare, se cere ca (A, •) să fie un monoid și nu pur și simplu un semigrup ). Deci, în acest caz, un inel coincide cu ceea ce în acest glosar este definit ca un inel unitar , iar structura definită inițial în locul unui inel se numește pseudo- inel

Același subiect în detaliu: Ring (algebră) .

[index]

Ringid

Structură algebrică constând dintr-un set (set suport) pe care sunt definite două operații binare interne , denumite în mod convențional „ adunare ” (simbol: + ) și „ multiplicare ” (simbol: • ) care nu sunt obligați să satisfacă nicio condiție sau proprietate.

Pentru unii autori, anelloidul este astfel numai dacă multiplicarea este distributivă în raport cu adunarea

Același subiect în detaliu: Ringid și structura algebrică .

[index]

Inel de unitate

Inel în care multiplicarea nu este doar asociativă, ci are un element neutru (numit unitate )

Același subiect în detaliu: Ring (algebră) .

[index]

Antiautomorfism

Aplicarea individuală a unui set pe sine care este un antiomorfism și al cărui invers este, de asemenea, un antiomorfism

Același subiect în detaliu: Antiautomorfism și ro: Antiautomorfism .

[index]

Antiomorfism

Funcție între două structuri algebrice de același tip cu multiplicare care inversează ordinea factorilor de multiplicare (în practică, dacă f este funcția, atunci f (xy) = f (y) f (x) )

Același subiect în detaliu: Antiomomorfism și ro: Antihomomorfism .

[index]

Automorfism

Izomorfismul unui obiect matematic în sine. Prin urmare, este un mod de cartografiere a obiectului pe el însuși, păstrând în același timp toate structurile sale caracteristice

Același subiect în detaliu: Automorfism .

[index]

B.

B * -algebra

Vezi algebra

Același subiect în detaliu: B * -algebra .

[index]

Bialgebra

Vezi algebra

Același subiect în detaliu: Bialgebra și ro: Bialgebra .

[index]

C.

C * -algebra

Vezi algebra

Același subiect în detaliu: C * -algebra .

[index]

Camp

Structură algebrică constând dintr-un set A cu două operații: sumă (+) și multiplicare (•) astfel încât (A, +) este un grup abelian cu 0 ca element neutru , (A- {0}, •) și un grup abelian cu 1 ca element neutru, iar multiplicarea este distributivă în raport cu suma. În practică, un câmp este un corp comutativ . Câmpurile sunt esențiale pentru definirea spațiilor vectoriale

Același subiect în detaliu: Câmp (matematică) .

[index]

Câmp comandat

Câmp cu comandă totală

Același subiect în detaliu: câmp sortat .

[index]

Ciclu

Sinonim cu Loop

Coalgebra

Structură duală la o algebră asociativă unitară . Aceasta înseamnă că, dacă axiomele unei algebre sunt reprezentate prin diagrame comutative , pentru a obține axiomele coalgebrei este suficient să inversăm direcția tuturor săgeților

Același subiect în detaliu: Coalgebră și en: Coalgebră .

[index]

Corp

Structură algebrică constând dintr-un set A cu două operații: sumă (+) și multiplicare (•) astfel încât (A, +) este un grup abelian cu 0 ca element neutru , (A- {0}, •) și un grup cu 1 ca element neutru, iar multiplicarea este distributivă în raport cu suma. În practică, un corp diferă de un este un câmp prin faptul că multiplicarea nu este comutativă

Corpul (matematica) .

[index]

D.

Digraf

Grafic în care sunt orientate arcurile

Același subiect în detaliu: Digrafo (matematică) și Graph .

[index]

Domeniul integrității

Inel comutativ în care elementele neutre aditive ( 0 ) și multiplicative ( 1 ) sunt distincte unele de altele și produsul oricăror două elemente, altele decât 0, este încă un alt element decât 0 (în practică este un inel comutativ fără divizoare zero)

Același subiect în detaliu: domeniul integrității .

[index]

ȘI

Endomorfism

Funcționează din întregul suport al unei structuri algebrice în sine, care păstrează operațiile. Cu alte cuvinte, este un omomorfism al structurii algebrice în sine

Același subiect în detaliu: Endomorfism .

[index]

Epimorfism

Homomorfism injectiv

Același subiect în detaliu: Homomorfism .

[index]

G.

Grafic

Perechea ordonată de mulțimi G = (V, A) astfel încât fiecare element al lui A este o pereche de elemente ale lui V. Elementele lui V se numesc vârfuri sau noduri, cele ale lui A sunt numite arcuri ; se spune că arcurile conectează două vârfuri împreună. Dacă arcurile sunt orientate vorbim de „grafic direcționat”, „grafic direct” sau „digraf”

Același subiect în detaliu: Graph și Digraph (matematică) .

[index]

grup

Structură algebrică constând dintr-un set cu o operație binară internă numită în mod convențional „ adunare ” (simbol: + ) care:

- - este asociativ
  - are un element neutru care, adăugat la orice alt element al setului, îl lasă neschimbat (denumit în mod convențional „ 0 ”)
  - fiecare element are un element invers (fiecare element adăugat la inversul său dă rezultatul 0 ).

Un set G care este un grup este denumit de obicei (G, +) .

Diferite tipuri de grupuri sunt definite în funcție de alte proprietăți pe care le necesită:

- Grup Abelian
  - Grup în care adăugarea este comutativă
- Grup ciclic
  - Grup generat de un singur element
- Grup comutativ
  - Sinonim pentru grup abelian
- Grup diedru
  - Grup de izometrii ale planului (rotații, simetrii) care lasă neschimbate poligoanele regulate
- Grupul Galois
  - Grup asociat cu o extensie de câmpuri (perechi de câmpuri conținute una în cealaltă)
- Grup terminat
  - Grup construit pe un set cu un număr finit de elemente
- Grup ordonat
  - Grup cu o relație de ordine care păstrează funcționarea grupului (dacă a <b atunci a + x <b + x pentru fiecare x din grup)
- Grup simplu
  - Grup care nu conține subgrupuri normale, altele decât cele banale
- Grup simetric
  - Grup format din permutările elementelor unui set dat

Același subiect în detaliu: Grup (matematică) .

[index]

Groupid

Folosit ca sinonim atât pentru Magma, cât și pentru Grupide al lui Brandt

Groupidul lui Brandt

Structură algebrică dotată cu o operație internă (deci o magmă ) care este, de asemenea, un grup pe un subset al setului său de suport

Același subiect în detaliu: groupidul lui Brandt .

[index]

THE

Ideal

Un subset al unui inel care este închis în ceea ce privește adunarea și multiplicarea cu orice element al inelului.

Deoarece un inel nu este neapărat comutativ în ceea ce privește multiplicarea, un ideal poate fi dreapta sau stânga în funcție de latura considerată în aceeași multiplicare. Un ideal drept și stâng în același timp (ca în cazul în care inelul este comutativ) se numește ideal bilateral

Același subiect în detaliu: Ideal (matematică) .

[index]

Izomorfism

Aplicarea bijectivă între două structuri matematice de același fel, astfel încât atât aplicația, cât și inversul acesteia sunt omomorfisme , adică aplicații care păstrează operațiunile definite în ele, împreună cu caracteristicile lor. Două structuri izomorfe (în care există un izomorfism între ele) pot fi considerate egale, deoarece caracteristicile demonstrate pe una dintre ele pot fi raportate și în cealaltă

Același subiect în detaliu: izomorfism .

[index]

K.

K-algebră

Vezi Algebra

L

Bucla stângă

Vezi Bucla

Buclă

Structură algebrică bazată pe un set A , cu o operație internă (+) care este:

- - neasociativ
  - echipat cu element neutru
  - astfel încât ecuația a + x = b admite o singură soluție pentru fiecare element a din A
  - astfel încât ecuația x + a = b admite o singură soluție pentru fiecare element a din A

Dacă ultima condiție nu este verificată, atunci structura se numește bucla stângă

O buclă asociativă este un grup .

O buclă Moufang este un cvasigrup (Q, *) care îndeplinește condițiile:

(a * b) * (c * a) = (a * (b * c)) * a pentru fiecare a, b, c în Q

Același subiect în detaliu: Buclă (algebră) .

[index]

M.

Magmă

Numită și grupidă , este cea mai simplă structură algebrică : o singură operație binară internă este definită pe setul de suport (deci rezultatul operației trebuie să fie un element al setului de suport) care nu trebuie să îndeplinească nicio condiție sau proprietate.

Același subiect în detaliu: Magma (matematică) .

[index]

Modul

Structură care generalizează cea a spațiului vectorial : setul de scalari nu trebuie neapărat să fie un câmp , dar este suficient ca acesta să fie un inel

Același subiect în detaliu: Modul (algebră) .

[index]

Monoid

Structură algebrică constând dintr-un set cu o operație binară internă numită în mod convențional „ adunare ” (simbol: + ) care este:

- - asociativ
  - echipat cu un element neutru care se adaugă la orice alt element din întreg îl lasă neschimbat (denumit în mod convențional „ 0 ”)

Prin urmare, un monoid este un semi-grup cu un element neutru

Același subiect în detaliu: Monoid .

[index]

Monomorfism

Homomorfismul surjectiv

Același subiect în detaliu: Homomorfism .

[index]

Morfism

Proces abstract (în general exprimat printr-o funcție ) care transformă o structură matematică în alta menținând în același timp unele caracteristici „structurale” ale primei. În funcție de caracteristicile transformării, morfismul se numește endomorfism , homomorfism , izomorfism etc.

Același subiect în detaliu: Morfismul .

[index]

Multidigraf

Structură care generalizează cea a unui digraf atribuindu-i, de asemenea, caracteristicile multigrafului : deoarece acesta este alcătuit din vârfuri conectate prin unul sau mai multe arcuri și bucle care conectează un vârf cu el însuși, dar, la fel ca digrafele, arcurile și buclele sunt orientate

Același subiect în detaliu: Multidigraf .

[index]

Multigraf

Grafic în care arcurile , pe lângă conectarea a două vârfuri , pot conecta un vârf cu el însuși (în acest caz arcul se numește buclă ), cu posibilitatea suplimentară ca două vârfuri să poată fi conectate prin mai multe arcuri distincte sau că un vârf prezintă mai multe bucle distincte.

Același subiect în detaliu: Multigraph .

[index]

SAU

Homeomorfism

Topologie - Funcție între două spații topologice care este continuă , biunică și al cărei invers este, de asemenea, continuu. Homeomorfismul, un concept foarte important în topologie , surprinde ideea intuitivă a „deformării fără rupere”.

Dacă relația dintre spațiile topologice se comportă numai local ca un homeomorfism, atunci vorbim de homeomorfism local
Două spații topologice sunt homeomorfe, din punct de vedere topologic, practic egale

Teoria graficelor - Se spune că două grafice G și H sunt homeomorfe dacă și numai dacă pot fi obținute din același grafic K prin intermediul a două secvențe (finite) de subdiviziuni elementare ale arcelor (o operație care modifică un arc în două arcuri incidente într-un nou vârf )

Același subiect în detaliu: Homeomorfism , Homeomorfism local și Homeomorfism (Teoria graficelor) .

[index]

Homomorfism

Funcție între două structuri algebrice de același tip care păstrează operațiile definite în ele

Același subiect în detaliu: Homomorfism .

[index]

Homotopie

Având în vedere două funcții continue între două spații topologice , homotopia este o transformare care „deformează continuu” una dintre funcții în cealaltă

Același subiect în detaliu: Homotopia .

[index]

Funcționare internă

Relația unui set cu el însuși care face ca un element al mulțimii să corespundă unor elemente (numite operanzi). De exemplu, operația sumă este o operație internă pentru numerele naturale (suma a două naturale este întotdeauna naturală); invers, operația de scădere nu este (totuși, este internă mulțimii întregi ). Operațiile interne pot fi grupate în funcție de numărul de operanzi:

- - operație unară când este prezent un singur operand (de exemplu inversarea semnelor pentru numere relative, negația în algebra booleană , complementaritatea în teoria mulțimilor etc.)
  - operație binară atunci când se aplică pentru doi operanzi. Acestea sunt cele mai frecvent utilizate operații (adunare, multiplicare, unire și intersecție a setului etc.)
  - operație ternară atunci când este aplicată la trei operanzi. Exemplu: fie x, y, z trei vectori și fie <x, y> produsul scalar, apoi operația T (x, y, z) = <x, y> z + <x, z> y + <y, z> x este o operație ternară.
  - în general: operațiune n-ary atunci când este aplicată la n operanzi ( n este aritatea operației)
    Același subiect în detaliu: Operator (matematică) , Operație unară și Operație binară .
    [index]

Triere

Vezi Relația de ordine

P.

Pluridigraf

Familie de grafice construite deasupra unui singur set de vârfuri

Multigraf

O familie de grafice construite deasupra unui singur set de vârfuri

Pre-comanda

Relația unui set A în sine, care este reflexiv și tranzitiv . În practică, este o relație mai slabă decât relația de ordine, deoarece nu este neapărat antisimetrică

Același subiect în detaliu: precomandă .

[index]

Pseudo-inel

Coincide cu ceea ce uneori se numește inel Vezi intrarea inel pentru detalii

Pseudogrup

Sinonim pentru semigrup

Î

Aproape inel

Structura algebrică mai slabă decât inelul : în special, adunarea nu este necesară pentru a fi comutativă , iar multiplicarea trebuie să fie asociativă doar pe o parte și nu pe ambele (de fapt, vorbim despre cvasi-inele stânga sau cvasi-inele drepte în funcție de pe ce parte se țin proprietățile distributive).

Aproape inel .

[index]

Quasigroup

Magma definită pe un set de suport Q prin intermediul unei operații binare interne * (simbol: (Q, *) ), în care pentru fiecare element al lui Q poate fi definit un element invers (dreapta și / sau stânga) astfel încât pentru fiecare o , b în Q există un singur element x și un singur element y care respectă ecuațiile:

- - a * x = b
  - y * a = b

De asemenea, se spune că o magmă este un cvasigrup când operațiunea „ divizare ” este întotdeauna permisă

Funcționarea unui cvasi-grup nu trebuie neapărat să fie asociativă sau comutativă

Același subiect în detaliu: Quasigroup .

[index]

R.

Relația de echivalență

Relația unei mulțimi A în sine, care este reflexivă , simetrică și tranzitivă . Indicând relația cu simbolul generic ≈ dacă x , y și z sunt elemente ale lui A , cele trei proprietăți enumerate înseamnă că:

- - x ≈ x
  - dacă x ≈ y rezultă că y ≈ x
  - dacă x ≈ y și y ≈ z atunci x ≈ z

Același subiect în detaliu: relația de echivalență .

[index]

Relația de comandă

Relația unui set A în sine, care este reflexiv , antisimetric și tranzitiv . Prin indicarea relației cu ≤ , dacă x , y și z sunt elemente ale lui A , cele trei proprietăți enumerate înseamnă că:

- - x ≤ x
  - dacă x ≤ y și y ≤ x atunci x = y (din care deducem că x = x )
  - dacă x ≤ y și y ≤ z atunci x ≤ z

Mulțimea A și relația ≤ (structura (A, ≤) ) se numesc mulțime ordonată sau mulțime parțial ordonată

Există diferite tipuri de relații de comandă, în funcție de proprietățile sale ulterioare:

- Relazione d'ordine parziale
  se esistono elementi dell'insieme a cui la relazione non è applicabile
- Ordine totale
  se è applicabile a tutti gli elementi dell'insieme (che diviene un insieme totalmente ordinato ).
- Reticolo (matematica)
  quando in un insieme parzialmente ordinato ogni coppia di elementi possiede un estremo superiore ed un estremo inferiore (i reticoli sono strutture algebriche ).
- Buon ordine
  quando in un insieme totalmente ordinato ogni sua catena ascendente ha un massimo (o, viceversa, ogni sua catena discendente ha un minimo). L'insieme di base prende il nome di insieme ben ordinato
- Ordine denso
  quando presi due qualunque elementi di un insieme totalmente ordinato, uno maggiore dell'altro, esiste sempre un terzo elemento che si può inserire fra i due

Lo stesso argomento in dettaglio: Relazione d'ordine , Ordine totale e Reticolo (matematica) .

[indice]

Reticolo

Vedere Relazione d'ordine

S

Semianello

Struttura algebrica costituita da un insieme A in cui sono definite due operazioni binarie interne chiamate convenzionalmente " addizione " (simbolo: + ) e " moltiplicazione " (simbolo: • ) in cui:

- - l'addizione e la moltiplicazione sono entrambe associative
  - l'addizione è dotata di elemento neutro (in pratica (A, +) è un monoide mentre (A, •) è un semigruppo )
  - la moltiplicazione è distributiva rispetto all'addizione
  - l'elemento neutro additivo usato nella moltiplicazione "annichila" qualunque elemento dell'insieme, cioè lo trasforma nell'elemento neutro stesso ( x • 0 = 0 • x = 0 qualunque sia x in A )

Lo stesso argomento in dettaglio: Semianello .

[indice]

Semianello unitario

Semianello in cui anche la moltiplicazione è dotata di elemento neutro moltiplicativo

Lo stesso argomento in dettaglio: Semianello .

[indice]

Semigruppo

Struttura algebrica costituita da un insieme dotato di un' operazione binaria interna associativa .

Un semigruppo è quindi un magma associativo

Lo stesso argomento in dettaglio: Semigruppo .

[indice]

Semireticolo

Magma in cui l' operazione binaria in esso definita è associativa , commutativa ed idempotente

Lo stesso argomento in dettaglio: Semireticolo .

[indice]

Sigma-algebra

Vedere Algebra di Borel

Simplettomorfismo

In teoria delle categorie è un isomorfismo della categoria delle varietà simplettiche

Lo stesso argomento in dettaglio: Simplettomorfismo .

[indice]

Sottoalgebra

Sottoinsieme S (non vuoto) di un' algebra A che a sua volta è un'algebra con tutte le proprietà richieste.

Lo stesso argomento in dettaglio: Sottoalgebra .

[indice]

Sottogruppo

Sottoinsieme S di un gruppo G che sia a sua volta un gruppo rispetto alla stessa operazione definita in G

Lo stesso argomento in dettaglio: Sottogruppo .

[indice]

Spazio

Termine generico che indica l'ambiente in cui sono definite strutture matematiche più specifiche come, superfici, algebre , probabilità, metriche, ecc.

In genere il termine "Spazio" è seguito da un aggettivo, o dal nome del matematico che lo ha introdotto/studiato, che ne determina le proprietà.

- Spazio affine
  - Spazio vettoriale privo di "punti privilegiati" (in pratica senza l'origine). Si tratta di una struttura costituita da un insieme munito di una funzione f che ad ogni coppia di elementi (chiamati punti ) associa un vettore di uno spazio vettoriale V . Tale funzione deve soddisfare due proprietà che garantiscano che, fissato un punto qualsiasi p come origine dello spazio, i vettori f(p,q) al variare di q formino uno spazio vettoriale isomorfo a V
- Spazio completamente regolare
  - Spazio topologico che soddisfa alcune condizioni minime di regolarità, comprese tra gli assiomi di separazione
- Spazio completo
  - Uno spazio è completo quando ogni sua successione di Cauchy converge ad un punto dello spazio stesso
- Spazio di Baire
  – La definizione rigorosa di spazio di Baire è stata modificata varie volte per adattarla ai punti di vista via via proposti dal pensiero matematico. Si tratta di uno spazio topologico "sufficientemente ricco di punti" da poter permettere particolari processi che coinvolgono il concetto di limite . In particolare, per la teoria degli insiemi , lo spazio di Baire è l'insieme di tutte le successioni infinite di numeri naturali .
- Spazio di Banach
  - Spazio normato completo (ovvero, in cui ogni successione di Cauchy è convergente ad un punto dello stesso spazio) rispetto alla metrica introdotta dalla norma
- Spazio di Borel
  - Spazio misurabile generato da una topologia . Spazio di supporto per le algebre di Borel
- Spazio di Calabi-Yau
  - Varietà differenziabile a variabili complesse , con uno spinore (elemento di uno spazio vettoriale complesso che estende il concetto di vettore .) armonico non evanescente
- Spazio di Fréchet
  – Spazio topologico individuato dalle sue successioni convergenti (vedere "Una generalizzazione degli spazi di Fréchet ")
- Spazio di Gauss-Bolyai-Lobachevsky
  – Spazio non euclideo con curvatura costante negativa. Spazio di supporto alla geometria iperbolica
- Spazio di Hardy
  – In analisi complessa è l'analogo dello spazio Lp in analisi funzionale .
- Spazio di Hausdorff
  – Spazio topologico in cui, presi due punti qualsiasi, è sempre possibile trovare loro intorni disgiunti
- Spazio di Hausdorff completo
  – Detto anche Spazio funzionale di Hausdorff o Spazio di Urysohn , è uno spazio topologico in cui ogni coppia di punti può essere separate da una funzione. Questa definizione è più restrittiva di quella imposta per uno di uno spazio di Hausdorff
- Spazio di Hilbert
  – Spazio vettoriale che generalizza la nozione di spazio euclideo . Praticamente è uno spazio vettoriale su cui è definito un prodotto scalare , e quindi una norma (uno spazio di Hilbert è quindi uno spazio metrico ) tale che sia garantita la completezza (ovvero che ogni successione di Cauchy converga ad un punto dello spazio stesso). Generalmente i vettori di uno spazio di Hilbert sono successioni o funzioni
- Spazio di Kolmogorov
  – Spazio topologico in cui, per ogni coppia di punti distinti, esiste almeno un aperto che ne contenga uno, ma non l'altro ( assioma di separazione )
- Spazio di misura
  – Spazio misurabile dotato di una misura . Struttura che generalizza i concetti elementari di lunghezza distanza, area, ecc.
- Spazio di misura#Spazio di probabilità
  – Spazio di misura in cui la misura di qualunque insieme misurabile, detta misura di probabilità , è non negativa, e la misura dell'intero insieme è uguale ad uno
- Spazio di prossimità
  – Struttura topologica che cattura alcune caratteristiche proprie della vicinanza fra oggetti. Un insieme X dotato di un'operazione binaria * (relazione di vicinanza) sull' insieme delle parti di X è detto spazio di prossimità se soddisfa i seguenti assiomi per tutti i sottoinsiemi A , B , C di X

A *
B ⇒ B
*
A ( A
* B significa: A è vicino a B )
A * B ⇒ A ≠ ø
A ∩ B ≠ ø ⇒ A * B
A *
( B ∪ C ) ⇔ ( A
*
B or A
* C )
(∀ E , A *
E or B
*
( X − E )) ⇒ A
* B

- Spazio di Riemann
  – Sinonimo di spazio metrico
- Spazio di Sierpinski
  – Spazio topologico finito, costituito da due soli punti, di cui solo uno è un insieme chiuso . È il più piccolo spazio topologico non banale né discreto
- Spazio di Sobolev
  – Spazio vettoriale di funzioni , normato tramite una combinazione delle norme L ^p della funzione stessa e delle sue derivate fino ad un certo ordine; rispetto a tale norma lo spazio è completo , e quindi è uno di Banach . Le soluzioni delle equazioni alle derivate parziali vengono generalmente cercate in spazi di Sobolev
- Spazio di Tychonoff
  - Spazio topologico che sia contemporaneamente completamente regolare e di Husdorff
- Spazio di Urysohn
  – Sinonimo di Spazio di Hausdorff completo : spazio topologico in cui ogni coppia di punti può essere separata da un intorno chiuso
- Spazio duale o Spazio duale algebrico – Spazio vettoriale i cui elementi sono i funzionali lineari che agiscono su un altro spazio vettoriale. Il concetto di spazio duale sta a fondamento della nozione di tensore .
- Spazio euclideo
  – Spazio vettoriale i cui punti sono n-uple di numeri reali . Il numero n è la dimensione dello spazio. In pratica la nozione di spazio euclideo estende la normale nozione di retta (quando n = 1 ), piano (quando n = 2 ) e spazio fisico (quando n = 3 ) a "spazi" di dimensioni superiori. Lo spazio euclideo quindi è uno spazio metrico con i normali concetti di distanza , lunghezza , angolo , ecc.
- Spazio funzionale
  – Insieme di funzioni con caratteristiche predefinite e con uguali dominio e condominio
- Spazio Lp
  – Spazio funzionale delle funzioni a p-esima potenza sommabile. I suoi elementi sono classi di funzioni misurabili . L'esponente p può essere un qualunque reale maggiore o uguale a 1 (al limite infinito ). Gli spazi L ^p sono spazi di Banach , mentre lo spazio L ² è anche uno spazio di Hilbert
- Spazio l2
  – Spazio vettoriale e metrico di tutte le successioni di numeri reali (o complessi ) a quadrato sommabili (cioè con: $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty$ $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty$ $\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|a_{n}|^{2}<\infty$ )
- Spazio metrico
  – Insieme fra i cui elementi viene definita una distanza , detta metrica , ovvero una funzione che associa ad ogni coppia di elementi un numero non negativo (nullo solo se i due punti coincidono), che sia simmetrica e che rispetti la disuguaglianza triangolare . Lo spazio metrico più naturale è lo spazio euclideo in cui la metrica non è altro che la distanza fra due punti. Uno spazio metrico è completo quando ogni sua successione di Cauchy converge ad un punto dello spazio
- Spazio metrizzabile
  – Spazio topologico in cui l'insieme sostegno è dotato di una metrica tale che la topologia da questa indotta sia proprio la topologia dello spazio. Gli spazi metrizzabili sono omeomorfi agli spazi metrici e ne inducono tutte le proprietà
- Spazio misurabile
  – Struttura matematica che fornisce la base per la teoria della misura (funzioni e insiemi misurabili, integrali, ecc.). Formalmente è una coppia costituita da un insieme non vuoto (detto spazio campionario ) e da una σ-algebra su di esso. Ogni sottoinsieme dello spazio campionario che appartiene alla σ-algebra si chiama insieme misurabile
- Spazio normale
  - Spazio topologico in cui, presa una coppia qualsiasi di insiemi chiusi disgiunti, è sempre possibile trovare una coppia di aperti disgiunti che contengano rispettivamente i chiusi
- Spazio normato
  – Spazio vettoriale in cui ad ogni elemento (punto) è associata una lunghezza chiamata norma che:
  - sia sempre non negativa e valga zero solo per il vettore nullo,
  - se il vettore viene moltiplicato per uno scalare, allora anche la sua norma viene moltiplicata per lo stesso scalare,
  - rispetti la disuguaglianza triangolare
- Spazio polacco
  - Spazio topologico che sia separabile e metrizzabile in modo completo . Nel caso in cui ci si riferisca ad una particolare metrica, si parla anche di spazio metrico polacco .
- Spazio proiettivo
  – Spazio euclideo a cui vengono aggiunti tutti i suoi punti all'infinito , ognuno dei quali rappresenta la direzione di una retta dello spazio euclideo
- Spazio pseudometrico
  – Generalizzazione dello spazio metrico : in uno spazio pseudometrico due punti distinti possono avere distanza nulla
- Spazio quoziente
  - Spazio vettoriale ottenuto da una coppia di spazi vettoriali $U\subset V$ $U\subset V$ $U\subset V$ uno contenuto nell'altro. Lo spazio quoziente si ottiene "collassando" $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ allo zero.
- Seminorma
  – Spazio vettoriale in cui ad ogni elemento (punto) è associata una lunghezza chiamata seminorma , più "debole" della norma in quanto essa può valere zero anche per vettori non nulli
- Spazio separato
  – Sinonimo di Spazio di Hausdorff
- Spazio tensoriale
  –
- Spazio T0
  – Sinonimo di Spazio di Kolmogorov
- Spazio T2
  – Sinonimo di Spazio di Hausdorff
- Spazio T2 ½
  – Sinonimo di Spazio di Urysohn
- Spazio topologico
  – Spazio che sta alla base della topologia . È costituito da una coppia di oggetti matematici ( A, T ), dove A è un insieme e T una collezione di suoi sottoinsiemi aperti tali che: l'insieme vuoto e A siano aperti, l'unione di aperti sia un aperto, e l'intersezione di un numero finito di aperti sia un aperto. La collezione T di aperti prende il nome di topologia di A . Intuitivamente, ciò che caratterizza uno spazio topologico è la sua forma, e non la distanza fra i suoi punti, che può non essere definita.
- Spazio topologico vettoriale
  – Spazio contemporaneamente topologico e vettoriale
- Spazio ultrametrico
  – Spazio metrico la cui metrica, detta ultrametrica o supermetrica soddisfa una condizione più restrittiva della disuguaglianza triangolare : la distanza fra due punti deve essere minore o uguale alla massima distanza fra ciascuno dei due punti e un terzo punto
- Spazio uniforme
  – Spazio topologico dotato di una struttura uniforme, che consente di definire proprietà uniformi, come la completezza , la continuità uniforme e la convergenza uniforme . Negli spazi uniformi è possibile definire nozioni di vicinanza relativa e vicinanza tra punti, che non è possibile stabilire con il solo utilizzo della struttura topologica.
- Spazio vettoriale
  - Moltissime strutture matematiche sono basate su spazi vettoriali (le algebre, gli spazi normati, ecc). Sia V un gruppo commutativo (V,+) e K un campo , e sia definita un' operazione esterna che ad ogni coppia di elementi rispettivamente in V e in K associa un elemento di V , allora si dice che V è uno spazio vettoriale se l'operazione esterna è associativa, distributiva rispetto all'addizione degli elementi di K e rispetto agli elementi di V , e l'elemento neutro di K è neutro anche per l'operazione esterna. V prende il nome di insieme sostegno dello spazio vettoriale, mentre i suoi elementi prendono il nome di vettori , e quelli del campo K di scalari L'operazione esterna prende il nome di prodotto esterno o prodotto per scalare .
- Spazio vettoriale simplettico
  - Spazio vettoriale reale di dimensione pari, su cui sia definita una funzione bilineare che sia antisimmetrica e non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico
- Spazio vettoriale topologico
  – Spazio che sia contemporaneamente vettoriale e topologico

Star-algebra o *-algebra

Vedere algebra

Star-anello o *-anello

Uno *-anello è un anello associativo con un'operazione * : A → A che sia un antiautomorfismo e un' involuzione .

Più precisamente uno *-anello soddisfa le seguenti proprietà:

- $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$ $(x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
- $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$ $(xy)^{*}=y^{*}x^{*}$
- $1^{*}=1$ $1^{*}=1$ $1^{*}=1$
- $(x^{*})^{*}=x$ $(x^{*})^{*}=x$ $(x^{*})^{*}=x$

per ogni

x,y\in A

x,y\in A

x,y\in A

Lo stesso argomento in dettaglio: en**-algebra .

[indice]

Struttura algebrica

Un insieme A in cui siano definite una o più operazioni interne (cioè che trasformano uno o più elementi dell'insieme in un elemento dell'insieme stesso) che soddisfino date proprietà (come associatività , commutatività , ecc.) prende il nome di struttura algebrica. Ogni tipologia di struttura algebrica si differenzia dalle altre per il numero di operazioni e/o per le loro proprietà (vedere qui un elenco).

L'insieme

A

{\displaystyle A}

A

prende il nome di insieme sostegno .

Le operazioni possono essere unarie (applicabili ad un solo elemento dell'insieme, come il cambio di segno di un numero), binarie (applicabili a due elementi dell'insieme, come la somma), ternarie, ecc.

[indice]