Teoria mulțimilor

Teoria mulțimilor este o teorie a matematicii plasate bazele matematicii în sine, în domeniul logicii matematice .

Înainte de prima jumătate a secolului al XIX-lea, noțiunea despre întreg era considerată doar ca ceva intuitiv și generic. Noțiunea a fost dezvoltată în a doua jumătate a secolului al XIX-lea de matematicianul german Georg Cantor , a fost în centrul dezbaterilor pe fundații din 1890 până în 1930 și a primit primele aranjamente axiomatice datorită lui Ernst Zermelo , Adolf Fraenkel , Paul Bernays , Kurt Gödel , John von Neumann și Thoralf Skolem , Gottlob Frege (convenții lingvistico-formale, precum cuantificatorul universal și existențial) și Giuseppe Peano (notație și sintaxă). În această perioadă s-au stabilit două sisteme de axiome , numite sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel și sistemul axiomatic Von Neumann-Bernays-Gödel .

Ulterior, au fost abordate problemele legate de completitudinea sistemelor de axiome (vezi teorema incompletitudinii lui Gödel ), relațiile cu teoria calculabilității (vezi și mașina Turing ) și compatibilitatea sistemelor de axiome cu axioma de alegere și cu axiome echivalente sau similare. Alături de diferite teorii formale consolidate ale mulțimilor (vezi și teoria axiomatică a mulțimilor ) există expuneri mai intuitive care constituie așa-numita teorie naivă a mulțimilor .

Enumerăm principalele entități ale teoriei mulțimilor.

Noțiuni de bază

uniune : $\cup$ ${\ displaystyle \ cup}$ $\ ceașcă$ ( SAU în algebră booleană )
intersecție : $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ ( ȘI în algebră booleană)
complement : $^{C}$ ${\ displaystyle ^ {C}}$ $^ {C}$ ( NU în algebră booleană)
diferență : $\setminus$ ${\ displaystyle \ setminus}$ $\ setminus$
diferență simetrică : $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ ( XOR în algebră booleană)
Produs cartezian : $\times$ ${\ displaystyle \ times}$ $\ ori$
suma disjunctă : $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$
puterea ca întreg sau părți ca întreg: ${\mathcal {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ mathcal {P}}$

Alexander Abian, Teoria seturilor și aritmetica transfinită , Feltrinelli, 1972
( EN ) Paul Bernays , Axiomatic Set Theory , Dover, 1991
( FR ) Nicolas Bourbaki , Théorie des ensembles , Hermann, 1970
Paul J. Cohen, Teoria seturilor și ipoteza continuumului , Feltrinelli, 1973
( EN ) Frank R. Drake, Dasharath Singh, Teoria intermediară a seturilor , John Wiley, 1996, ISBN 0-471-96494-8
( EN ) Robert E. Edwards, A formal background to Mathematics Ia Ib. Logică, seturi și numere , Springer, 1979, ISBN 3-540-90431-X
(EN) Abraham H. Fraenkel , teoria seturilor de fond, Olanda de Nord, 1961
Paul Halmos , Teoria elementară a mulțimilor , Feltrinelli, 1976
Gabriele Lolli , Axiomatic set theory , Boringhieri, 1974
J. Donald Monk, Introducere în teoria mulțimilor , Boringhieri, 1972
(EN) Patrick Suppes , Axiomatic Set Theory, Dover, 1972, ISBN 978-0486616308

( EN ) Teoria seturilor , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 36471 · LCCN (EN) sh85120387 · GND (DE) 4074715-3 · BNF (FR) cb133185505 (dată) · BNE (ES) XX4576377 (dată) · NDL (EN, JA) 00.572.365

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Teoria mulțimilor
Seturi numerice	Natural · Întreg · Rațional · Real · Complex
Teoria naivă a mulțimilor (sau a lui Cantor )	Set gol · univers Împreună · Subset · Putere împreună · complement Împreună · Unire · Intersecție · Cuplu comandat · Produs cartezian · Paradoxul lui Russell · Paradox Burali-Forti
Teoria axiomatică a mulțimilor	Axioma · Axiome Peano · Zermelo teoria mulțimilor · teoria mulțimilor Zermelo-Fraenkel · axioma Choice · Zorn Lema · teoria mulțimilor Von Neumann-Bernays-Gödel

V · D · M Domenii de matematică
Logica matematică	Teoria mulțimilor · Teoria modelelor · Teoria probei
Algebră	Teoria grupelor · Teoria inelelor · teoria câmpului · Algebra Computațională
Teoria numerelor	Aritmetica · Teoria algebrică a numerelor · Teoria analitică a numerelor
Matematică discretă	Combinatorie · Teoria ordinelor · Teoria jocurilor
Geometrie	Geometrie diferențială · Geometrie discretă · Topologie · Geometrie combinatorie · Geometrie algebrică
Analiza matematică	Calculul · Analiza cuprinzătoare · Analiza non - standard · Analiza armonică · Analiza funcțională · Teoria măsurării · ecuațiilor diferențiale · Teoria operatorilor
Teoria probabilității și statisticile	Procese stochastice
Fizica matematică	Mecanică clasică · Sisteme dinamice · Mecanică statistică · Mecanică cuantică · Mecanica fluidelor
Analiză numerică și cercetare operațională	Teoria aproximării · Integrare numerică · Optimizare
Matematică complementară	Istoria matematicii · Didactica matematicii · Matematica recreativă
Alte	Matematică Biologie · Matematică financiară · Criptografie