Filtru (matematică)

În teoria mulțimilor, conceptul de filtru a fost introdus în 1937 de Henri Cartan ca metodă pentru introducerea unei noțiuni de convergență generalizată pentru spațiile topologice .

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set. Un subset ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${{\ mathcal F}}$ nu gol de toate părțile ${\mathcal {P}}(A)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (A)}$ ${\ mathcal P} (A)$ se numește un filtru în ansamblu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă are următoarele proprietăți:

este închis în sus în ceea ce privește incluziunea , adică: $X\in {\mathcal {F}}\land X\subseteq Y\in {\mathcal {P}}(A)\Rightarrow Y\in {\mathcal {F}};$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}} \ land X \ subseteq Y \ in {\ mathcal {P}} (A) \ Rightarrow Y \ in {\ mathcal {F}};}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}} \ land X \ subseteq Y \ in {\ mathcal {P}} (A) \ Rightarrow Y \ in {\ mathcal {F}};}$
este închis în raport cu intersecția finită, adică: $X\in {\mathcal {F}}\land Y\in {\mathcal {F}}\Rightarrow X\cap Y\in {\mathcal {F}}.$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}} \ land Y \ in {\ mathcal {F}} \ Rightarrow X \ cap Y \ in {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}} \ land Y \ in {\ mathcal {F}} \ Rightarrow X \ cap Y \ in {\ mathcal {F}}.}$

Exemplu

Este $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ un set și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un element de $ȘI .$ ${\ displaystyle E.}$ ${\ displaystyle E.}$ Familia seturilor ${\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {P}}(E)\mid x\in A\}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ {A \ in {\ mathcal {P}} (E) \ mid x \ in A \}}$ ${\ mathcal {A}} = \ {A \ in {\ mathcal P} (E) \ mid x \ in A \}$ este un filtru.

Istorie

Conceptul de filtru a fost introdus în 1937 de Henri Cartan ca metodă pentru introducerea unei noțiuni de convergență generalizată pentru spațiile topologice . O altă posibilă tehnică pentru realizarea aceluiași scop este utilizarea de plase , introduse anterior de Moore și Smith. Conceptul de filtru a fost folosit de Kenneth Arrow în dovada teoremei sale despre imposibilitatea matematică a implementării unei democrații reprezentative perfecte ^{[ fără sursă ]} ^[1] , de Abraham Robinson pentru analiza sa non-standard și de Amartya Sen pentru a extinde teorema lui Arrow cu toate imposibilitatea perfect stat de drept . Atât Arrow, cât și Sen au primit premiul Nobel pentru economie pentru realizările lor.

Filtru propriu

Se numește propriul filtru ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ un filtru pe un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât există cel puțin un element al $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ care nu aparține ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ , în simboluri:

\exists X\in P(A):X\not \in {\mathcal {F}}.

{\ displaystyle \ există X \ în P (A): X \ not \ în {\ mathcal {F}}.}

{\ displaystyle \ există X \ în P (A): X \ not \ în {\ mathcal {F}}.}

O teoremă simplă ne spune că

Un filtru este adecvat dacă și numai dacă setul gol nu îi aparține

\varnothing .

${\ displaystyle \ varnothing.}$ ${\ displaystyle \ varnothing.}$

Dacă într-adevăr $\varnothing \in {\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în {\ mathcal {F}}}$ , deoarece, prin definiție, setul gol este conținut în orice subset de $LA,$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A,}$ apoi pentru proprietatea 1 fiecare subset $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aparține lui ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ . În schimb, dacă există un element $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ din $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ care nu aparține ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ , având în vedere că $\varnothing \subseteq X$ ${\ displaystyle \ varnothing \ subseteq X}$ $\ varnothing \ subseteq X$ , întotdeauna pentru proprietatea 1 setul gol nu poate aparține ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ , altfel am avea $\varnothing \in {\mathcal {F}}\land \varnothing \subset X\land X\not \in {\mathcal {F}}.$ ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}} \ land \ varnothing \ subset X \ land X \ not \ in {\ mathcal {F}}.}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ in {\ mathcal {F}} \ land \ varnothing \ subset X \ land X \ not \ in {\ mathcal {F}}.}$

Filtru generat dintr-o familie de subseturi

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un set și ambele $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ o familie de subseturi de $P(A)$ ${\ displaystyle P (A)}$ $P (A)$ , atunci se numește un filtru generat de $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

\langle S\rangle =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in {\mathcal {X}}}{\mathcal {F}}

{\ displaystyle \ langle S \ rangle = \ bigcap _ {{\ mathcal {F}} \ in {\ mathcal {X}}} {\ mathcal {F}}}

\ langle S \ rangle = \ bigcap _ {{{{\ mathcal F}} \ in {\ mathcal X}}} {\ mathcal F}

cu

{\mathcal {X}}=\{F\ {\text{filtri}}|F\supseteq S\}.

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} = \ {F \ {\ text {filters}} | F \ supseteq S \}.}

{\ displaystyle {\ mathcal {X}} = \ {F \ {\ text {filters}} | F \ supseteq S \}.}

Este un filtru, deoarece rezultă din faptul că intersecția a două filtre pe același set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un filtru pe ansamblu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , este, de asemenea, cel mai mic filtru care conține $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ .

De asemenea, arată că $\langle S\rangle =\{Y\subseteq A|Y\supseteq S_{1}\cap S_{2}\cap \ldots \cap S_{n}\;con\;S_{i}\in S\;\forall i,\;n\in \mathbb {N} \}.$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle = \ {Y \ subseteq A | Y \ supseteq S_ {1} \ cap S_ {2} \ cap \ ldots \ cap S_ {n} \; with \; S_ {i} \ in S \; \ forall i, \; n \ in \ mathbb {N} \}.}$ ${\ displaystyle \ langle S \ rangle = \ {Y \ subseteq A | Y \ supseteq S_ {1} \ cap S_ {2} \ cap \ ldots \ cap S_ {n} \; with \; S_ {i} \ in S \; \ forall i, \; n \ in \ mathbb {N} \}.}$

Filtru principal pe A

Un filtru ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este definit ca principal dacă ${\mathcal {F}}=\langle S\rangle$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ langle S \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} = \ langle S \ rangle}$ cu $S=\{X\}$ ${\ displaystyle S = \ {X \}}$ $S = \ {X \}$ Și $X\in P(A).$ ${\ displaystyle X \ în P (A).}$ ${\ displaystyle X \ în P (A).}$

Un filtru ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal F}$ propriul este principal pe $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă are proprietatea că intersecția tuturor elementelor sale nu este mulțimea goală, adică: $\bigcap _{X\in {\mathcal {F}}}X\neq \varnothing .$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {X \ in {\ mathcal {F}}} X \ neq \ varnothing.}$ ${\ displaystyle \ bigcap _ {X \ in {\ mathcal {F}}} X \ neq \ varnothing.}$

De exemplu, pentru un set care nu este gol $LA,$ ${\ displaystyle A,}$ ${\ displaystyle A,}$ setul de subseturi de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care conțin elementul $x\in A$ ${\ displaystyle x \ în A}$ $x \ în A$ este un filtru principal.

Filtru co-finisat

Dat fiind un set infinit $S.,$ ${\ displaystyle S,}$ $S,$ filtrul $F_{S}$ ${\ displaystyle F_ {S}}$ $F_ {S}$ care conține toate subseturile $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ astfel încât întreaga diferență $S-A$ ${\ displaystyle SA}$ ${\ displaystyle S-A}$ este terminat se numește cofinito sau filtru Fréchet . În simboluri:

F_{S}=\{A\subseteq S:S-A{\text{ insieme finito}}\}.

{\ displaystyle F_ {S} = \ {A \ subseteq S: SA {\ text {finished set}} \}.}

{\ displaystyle F_ {S} = \ {A \ subseteq S: S-A {\ text {finished set}} \}.}

Notă

^ EconPapers: Teorema lui Arrow și calculabilitatea Turing

Bibliografie

Bourbaki, N. , Topologie generală , Springer-Verlag , 1989. Cap. 1, par. 6.
H. Cartan, Théorie des filtres , CR Acad. Paris , 205 , 595–598, 1937.
H. Cartan, Filtres et ultrafiltres , CR Acad. Paris , 205 , 777–779, 1937.
EH Moore și HL Smith, A General Theory of Limits , American Journal of Mathematics, 44 , 102-121, 1922.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[dimostrazione-1] EconPapers: Teorema lui Arrow și calculabilitatea Turing

[1]