Ultrafiltru

În teoria mulțimilor un ultrafiltru ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ este un filtru pe ansamblu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât orice subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sau complementul său aparține ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ , în formule

\forall X\subseteq A:(X\in {\mathcal {A}})\lor ({\bar {X}}\in {\mathcal {A}})

{\ displaystyle \ forall X \ subseteq A: (X \ in {\ mathcal {A}}) \ lor ({\ bar {X}} \ in {\ mathcal {A}})}

{\ displaystyle \ forall X \ subseteq A: (X \ in {\ mathcal {A}}) \ lor ({\ bar {X}} \ in {\ mathcal {A}})}

Atât conceptele de filtru, cât și cele de ultrafiltru au fost introduse de Henri Cartan în 1937 .

Proprietate

Fiecare filtru principal este un ultrafiltru, pentru a demonstra că este $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un element de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , Și ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ principalul filtru generat de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Apoi, pentru orice subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , de sine $x\in S$ ${\ displaystyle x \ în S}$ ${\ displaystyle x \ în S}$ , asa de $S\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle S \ in {\ mathcal {A}}}$ . Dacă în schimb $x\not \in S$ ${\ displaystyle x \ not \ în S}$ ${\ displaystyle x \ not \ în S}$ , pentru definirea setului de complement , $x\in {\bar {S}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ bar {S}}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ bar {S}}}$ prin urmare ${\bar {S}}\in {\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} \ în {\ mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {S}} \ în {\ mathcal {A}}}$ .

Pe baza acestui lucru și fără pierderea generalității, ultrafiltrul poate fi de asemenea înțeles ca un filtru maxim pe o algebră booleană .

Filtrul cofinisat , adică întregul ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ din subseturile cofinanțate de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , nu este un ultrafiltru. Într-adevăr $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un subset cofinite , adică conținând toate elementele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu excepția unui număr finit. De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ s-a terminat, ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ nu este un filtru propriu: de fapt întregul $A\setminus \{x\}$ ${\ displaystyle A \ setminus \ {x \}}$ ${\ displaystyle A \ setminus \ {x \}}$ obținut prin eliminarea unui element din setul de pornire este cofinat și, prin urmare, este în ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ , dar conține $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ și, prin urmare, nu este un filtru propriu. Dacă în schimb $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este infinit, $\exists X\subset A$ ${\ displaystyle \ există X \ subset A}$ ${\ displaystyle \ există X \ subset A}$ astfel încât este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ acea ${\bar {X}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$ sunt infinite și, prin urmare, nici unul, nici celălalt nu se află în ${\mathcal {S}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}}}$ ${\ mathcal S}$ .

Limitați ultrafiltrul

Ultrafiltru gratuit

Un ultrafiltru ${\mathcal {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$ ${\ mathcal {U}}$ pe ansamblu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este definit ca liber când conține filtrul cofinat $F_{A}$ ${\ displaystyle F_ {A}}$ $FACE}$ .

Se poate demonstra că este imposibil să se definească un proces care să permită construirea unui ultrafiltru liber.

Bibliografie

Paolo Lipparini, Limit ultrapowers and abstract logics , în Jurnalul de logică simbolică , vol. 52, nr. 2, iunie 1987, pp. 437-454.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică