buclă stânga

O buclă din stânga este o structură algebrică folosită în matematică .

Definiție

O buclă din stânga este o structură algebrică care constă dintr - un set non-gol $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ echipat cu un binar operație

(\cdot ):L\times L\longrightarrow L

{\ Displaystyle (\ cdot): L \ ori L \ longrightarrow L}

{\ Displaystyle (\ cdot): L \ ori L \ longrightarrow L}

astfel încât:

există un element $1_{L}$ ${\ Displaystyle 1_ {L}}$ ${\ Displaystyle 1_ {L}}$ , Numit neutru, astfel încât $1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}$ ${\ Displaystyle 1_ {L} \ cdot a = a \ cdot 1_ {L}}$ ${\ Displaystyle 1_ {L} \ cdot a = a \ cdot 1_ {L}}$ pentru fiecare $a\in L$ ${\ Displaystyle un \ în L}$ ${\ Displaystyle un \ în L}$ ;
ecuația $a\cdot x=b$ ${\ Displaystyle a \ cdot x = b}$ ${\ Displaystyle a \ cdot x = b}$ are o singură soluție $x\in L$ ${\ Displaystyle x \ în L}$ ${\ Displaystyle x \ în L}$ .

Stânga-buclă de construcție

Secțiunea a unui grup

Definiție

Lasa-i sa fie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup ed $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ unul dintre ei subgrupuri . O secțiune de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în raport cu $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este o aplicație

\sigma :G/H\longrightarrow G,

{\ Displaystyle \ sigma: G / H \ longrightarrow G}

{\ Displaystyle \ sigma: G / H \ longrightarrow G}

unde este $G/H$ ${\ Displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle G / H}$ este familia claselor din partea stângă a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ modul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , astfel încât:

$\sigma (G/H)$ ${\ Displaystyle \ sigma (G / H)}$ ${\ Displaystyle \ sigma (G / H)}$ este un set de reprezentanți ai claselor din partea stângă;
$\sigma (H)=1_{G}$ ${\ Displaystyle \ sigma (H) = 1_ {G}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (H) = 1_ {G}}$ .

Plus imaginea $L:=\sigma (G/H)$ ${\ L displaystyle: = \ sigma (G / H)}$ ${\ L displaystyle: = \ sigma (G / H)}$ a secțiunii este numită transversal (stânga) din $G/H$ ${\ Displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle G / H}$ . Trebuie remarcat faptul că 1. este echivalent cu condiția

\pi \circ \sigma (gH)=gH,\quad \forall g\in G,

{\ Displaystyle \ pi \ Circ \ sigma (gH) = gH \ quad \ forall g \ în G,}

{\ Displaystyle \ pi \ Circ \ sigma (gH) = gH \ quad \ forall g \ în G,}

unde este $\pi :G\to G/H$ ${\ displaystyle \ pi: G \ to G / H}$ ${\ displaystyle \ pi: G \ to G / H}$ este proiecția canonică a grupului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ pe baza coeficientului $G/H$ ${\ Displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle G / H}$ .

Teorema 1

Lasa-i sa fie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup , $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un subgrup de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ o secțiune din $G/H$ ${\ Displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle G / H}$ , asa de $L:=\sigma (G/H)$ ${\ L displaystyle: = \ sigma (G / H)}$ ${\ L displaystyle: = \ sigma (G / H)}$ este o buclă de stânga din operația

a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).

{\ Displaystyle a \ cdot b: = \ sigma (Abh) \ quad (a, b \ în L).}

{\ Displaystyle a \ cdot b: = \ sigma (Abh) \ quad (a, b \ în L).}

Demonstrație

Identitatea $1_{G}$ ${\ displaystyle 1_ {G}}$ $1_ {G}$ stă în $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ deoarece este o transversală a $G/H$ ${\ Displaystyle G / H}$ ${\ Displaystyle G / H}$ , Astfel încât doar să arate că ecuația de stânga

a\cdot x=b,\quad (1)

{\ Displaystyle a \ cdot x = b, \ quad (1)}

{\ Displaystyle a \ cdot x = b, \ quad (1)}

are o soluție unică în $L .$ ${\ Displaystyle L.}$ ${\ Displaystyle L.}$

Elementul $\sigma (a^{-1}bH)$ ${\ Displaystyle \ sigma (a ^ {- 1} bH)}$ ${\ Displaystyle \ sigma (a ^ {- 1} bH)}$ este o soluție de (1), întrucât

a\cdot \sigma (a^{-1}bH)=\sigma (a\sigma (a^{-1}bH)H)=\sigma (aa^{-1}bH)=\sigma (bH)=b.

{\ Displaystyle o \ cdot \ sigma (a ^ {- 1} bH) = \ sigma (a \ sigma (a ^ {- 1} bH) H) = \ sigma (aa ^ {- 1} bH) = \ sigma (bH) = b.}

{\ Displaystyle o \ cdot \ sigma (a ^ {- 1} bH) = \ sigma (a \ sigma (a ^ {- 1} bH) H) = \ sigma (aa ^ {- 1} bH) = \ sigma (bH) = b.}

să presupunem că

a\cdot x=a\cdot y,

{\ Displaystyle a \ cdot x = o \ cdot y,}

{\ Displaystyle a \ cdot x = o \ cdot y,}

pentru unii $x,y\in L$ ${\ Displaystyle x, y \ in L}$ ${\ Displaystyle x, y \ in L}$ , asa de

a\cdot x=a\cdot y\Leftrightarrow \sigma (a\cdot xH)=\sigma (a\cdot yH)\Rightarrow \sigma (a\cdot xH)H=\sigma (a\cdot yH)H\Rightarrow

{\ Displaystyle a \ cdot x = o \ cdot y \ Leftrightarrow \ sigma (a \ cdot xH) = \ sigma (a \ cdot YH) \ rightarrow \ sigma (a \ cdot xH) H = \ sigma (a \ cdot YH ) H \ rightarrow}

{\ Displaystyle a \ cdot x = o \ cdot y \ Leftrightarrow \ sigma (a \ cdot xH) = \ sigma (a \ cdot YH) \ rightarrow \ sigma (a \ cdot xH) H = \ sigma (a \ cdot YH ) H \ rightarrow}

\Rightarrow axH=ayH\Rightarrow xH=yH\Rightarrow x=y.

{\ Displaystyle \ rightarrow AXH = AYH \ rightarrow xH = YH \ rightarrow x = y.}

{\ Displaystyle \ rightarrow AXH = AYH \ rightarrow xH = YH \ rightarrow x = y.}

Teorema 2

Lasa-i sa fie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup, $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un subgrup ed $\sigma :G/H\to G$ ${\ Displaystyle \ sigma: G / H \ G}$ ${\ Displaystyle \ sigma: G / H \ G}$ o secțiune cu $\sigma (H)=1_{G}$ ${\ Displaystyle \ sigma (H) = 1_ {G}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (H) = 1_ {G}}$ . The-loop din stânga definită pe $L=\sigma (G/H)$ ${\ L displaystyle = \ sigma (G / H)}$ ${\ L displaystyle = \ sigma (G / H)}$ să respecte operațiunea

a\cdot b:=\sigma (abH)\quad (a,b\in L).

{\ Displaystyle a \ cdot b: = \ sigma (Abh) \ quad (a, b \ în L).}

{\ Displaystyle a \ cdot b: = \ sigma (Abh) \ quad (a, b \ în L).}

este o dacă și numai dacă bucla $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este lăsat transversal pentru fiecare spațiu omogen $G/H^{g}$ ${\ Displaystyle G / H ^ {g}}$ ${\ Displaystyle G / H ^ {g}}$ , $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ ${\ displaystyle g \ în G}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică