Spinor

Un spinor afișat ca un vector îndreptat de-a lungul benzii Möbius, care arată o inversare a semnului în timp ce se rotește printr-o viraj de 360 °

În matematică și fizică , în special în teoria grupurilor ortogonale , un spinor este un element al unui spațiu vectorial complex introdus pentru a extinde conceptul de vector . Spinorii sunt necesari, deoarece structura grupului de rotații într-un număr de dimensiuni necesită definirea unor dimensiuni suplimentare. Mai exact, spinorii sunt obiecte geometrice construite de vectori cu o formă pătratică , cum ar fi spațiul euclidian sau spațiul-timp Minkowski , printr-o procedură algebrică , algebra lui Clifford sau o procedură de cuantificare . O formă pătratică dată poate susține mai multe tipuri de spinori.

Clasic, spinorul cu două componente este utilizat pentru a descrie spinul electronului nerelativist al spațiului tridimensional obișnuit și, prin ecuația Dirac , spinorul Dirac este util în descrierea matematică a stării cuantice a electronului relativist definit pe spațiu-timp.de Minkowski. În teoria câmpului cuantic , spinorul descrie starea unui sistem relativist de particule multiple.

În matematică, în special în geometria diferențială , spinorul are diverse aplicații în topologia algebrică și diferențială , geometria simplectică , teoria gabaritului și soiurile algebrice . Din punct de vedere algebric, spinorul este reprezentarea transformării ortogonale infinitesimale care nu poate fi construită pornind de la reprezentarea rotației.

Istorie

Spinorul a fost descoperit de Élie Cartan în 1913 ^[1] ^[2] , cuvântul „spinor” a fost inventat de Paul Ehrenfest în lucrarea sa despre fizica cuantică ^[3] . Spinorii au fost introduși în fizica matematică de Wolfgang Pauli în 1927 , odată cu introducerea matricilor de spin ^[4] . Anul următor, Paul Dirac a descoperit teoria relativistă a spinului electronic, arătând legătura dintre spinori și grupul Lorentz ^[5] . Importante din punct de vedere istoric sunt lucrările lui Van der Waerden ^[6] și ale matematicianului american Veblen ^[7] ^[8] .

Începând cu anii 1930 , Paul Dirac, Piet Hein și alții de la Institutul Niels Bohr au creat jocuri precum tangloizi pentru a preda calculul spinorilor.

Introducere

În geometria clasică, rotațiile și reflexiile acționează asupra vectorilor spațiului. Într-un sens, totuși, rotațiile și reflexiile conțin informații geometrice mai fine decât pot fi exprimate prin acțiunile lor asupra unui vector: spinorul este un obiect construit pentru a încorpora o astfel de geometrie în detaliu.

În principiu, există două structuri pentru a vizualiza noțiunea de spinor: prima este teoria reprezentărilor , în care se știe a priori că există anumite reprezentări ale algebrei Lie a grupurilor ortogonale care nu pot fi formate prin construcțiile tensoriale obișnuite. Aceste reprezentări „lipsă” se numesc reprezentări de spin , iar constituenții lor sunt tocmai spinorii. În această vedere, un spinor aparține reprezentării acoperirii grupului de rotație SO ( n , R ) , sau mai general grupului SO ⁺ ( p , q , R ) pe spații cu semnătură (p, q). Grupul Lie , care acoperă SO ( n , R ) , al acestui strat cu două foi este notat prin Spin ( n , R ) și se numește grupul de spin . Toate proprietățile spinorilor și aplicațiile lor sunt definite datorită acestui grup. A doua structură este de tip geometric: este posibil să se construiască în mod explicit un spinor și apoi să se examineze modul în care se comportă sub acțiunea grupului Lie relativ. Această din urmă abordare are avantajul de a oferi o descriere concretă și elementară a ceea ce este spinorul, chiar dacă devine incomod atunci când intră în joc proprietăți mai complexe.

Definiție formală

Luați în considerare epimorfismul ( homomorfism surjectiv ) $\rho :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {SO} }(n)\,$ ${\ displaystyle \ rho: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n) \,}$ ${\ displaystyle \ rho: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {SO}} (n) \,}$ (definirea unei acoperiri cu două foi) și o reprezentare a grupului de acoperire ${\mathrm {Spin} }(n)\,$ ${\ displaystyle {\ mathrm {Spin}} (n) \,}$ ${\ displaystyle {\ mathrm {Spin}} (n) \,}$ pe un spațiu vectorial (complex) $\Delta _{n}\,$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \,}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \,}$ , acesta este $\kappa :{\mathrm {Spin} }(n)\to {\mathrm {U} }(\Delta _{n}),\,$ ${\ displaystyle \ kappa: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {U}} (\ Delta _ {n}), \,}$ ${\ displaystyle \ kappa: {\ mathrm {Spin}} (n) \ to {\ mathrm {U}} (\ Delta _ {n}), \,}$ unde U ( W ) reprezintă grupul de operatori unitari care acționează asupra unui spațiu Hilbert W.

Un element al spațiului vectorial $\Delta _{n}\,$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \,}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {n} \,}$ se numește spinor ^[9] .

Spinors și algebre Clifford

Fie un spațiu R ⁿ și considerăm algebra lui Clifford construită pe acest spațiu (la rândul său un spațiu dimensional de 2 ⁿ ), atunci spinorii pot fi considerați ca vectorii pe care funcționează elementele algebrei lui Clifford, fiind ultimul reprezentat ca matrici .

Notă

^ ( FR ) Élie Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariant aucune multiplicité plane ( PDF ), în Bul. Soc. Math. Franța , vol. 41, 1913, pp. 53-96.
^ ( FR ) Élie Cartan , The theory of spinors , Paris, Hermann (retipărit 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9 .
^ (EN) Sin-Itiro Tomonaga, Prelegerea 7: Cantitatea care nu este nici tensor vectorial și nici, în The Story of Spin, University of Chicago Press, 1998, p. 129, ISBN 0-226-80794-0 .
^ ( DE ) Wolfgang Pauli , Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons , în Zeitschrift für Physik , vol. 43, 1927, pp. 601–632, DOI : 10.1007 / BF01397326 .
^ (EN) Paul M. Dirac , Teoria cuantică a electronului , în Proceedings of the Royal Society of London, A117, 1928, pp. 610 -624.
^ ( DE ) Bartel Leendert van der Waerden , Spinoranalyse , în Nachr. Akad. Wiss. Obținerea. Math.-Physik , K1, 1929, p. 100.
^ (EN) Oswald Veblen , Geometry of two-component spinors (PDF), în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 19, nr. 4, 1933, pp. 462–474.
^ (EN) Oswald Veblen, spinori , în Știință, vol. 80, n. 2080, 1934, pp. 415-419, DOI : 10.1126 / science.80.2080.415 .
^ (EN) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society , 2000, p. 20, ISBN 978-0-8218-2055-1 .

Bibliografie

( EN ) Richard Brauer și Hermann Weyl , Spinors in n dimensions , în American Journal of Mathematics , vol. 57, nr. 2, 1935, pp. 425–449, DOI : 10.2307 / 2371218 .
( FR ) Élie Cartan , Les groupes projectifs qui ne laissent invariant aucune multiplicité plane ( PDF ), în Bul. Soc. Math. Franța , vol. 41, 1913, pp. 53-96.
( EN ) Élie Cartan , The theory of spinors , Paris, Hermann (retipărit 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9 .
( EN ) Claude Chevalley , The algebraic theory of spinors and Clifford algebras , Columbia University Press (retipărit 1996, Springer), 1954, ISBN 978-3-540-57063-9 .
( EN ) Paul M. Dirac , Teoria cuantică a electronului , în Proceedings of the Royal Society of London , A117, 1928, pp. 610 -624.
( EN ) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry , American Mathematical Society , 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1 .
( EN ) William Fulton și Joe Harris , teoria reprezentării. Un prim curs , Texte de absolvent în matematică, Lecturi în matematică, vol. 129, New York, Springer-Verlag , 1991, ISBN 0-387-97495-4 , MR 1153249 , ISBN 0-387-97527-6 .
( EN ) Peter B. Gilkey , Teoria invarianței, ecuația căldurii și teorema indexului Atiyah-Singer , Publish or Perish, 1984, ISBN 0-914098-20-9 .
( EN ) F. Reese Harvey ,Spinors and Calibrations , Academic Press, 1990, ISBN 978-0-12-329650-4 .
( EN ) Nigel J. Hitchin , Harmonic spinors , în Advances in Mathematics , vol. 14, 1974, pp. 1–55, DOI : 10.1016 / 0001-8708 (74) 90021-8 , MR 50_ # 11332 .
( EN ) H. Blaine Lawson și Marie-Louise Michelsohn, Spin Geometry , Princeton University Press, 1989, ISBN 0-691-08542-0 .
( DE ) Wolfgang Pauli , Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons , în Zeitschrift für Physik , vol. 43, 1927, pp. 601–632, DOI : 10.1007 / BF01397326 .
(EN) Roger Penrose și Wolfgang Rindler , spinori și spațiu-timp: volumul 2, Metode spinor și twistor în spațiu-timp geometrie, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-34786-6 .
( EN ) Sin-Itiro Tomonaga , Lectura 7: Cantitatea care nu este nici vector, nici tensor , în The story of spin , University of Chicago Press, 1998, p. 129, ISBN 0-226-80794-0 .

linkuri externe

( EN ) Spinore , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( FR ) Élie Cartan, Les groupes projectifs qui ne laissent invariant aucune multiplicité plane ( PDF ), în Bul. Soc. Math. Franța , vol. 41, 1913, pp. 53-96.

[2] ( FR ) Élie Cartan , The theory of spinors , Paris, Hermann (retipărit 1981, Dover Publications), 1966, ISBN 978-0-486-64070-9 .

[3] (EN) Sin-Itiro Tomonaga, Prelegerea 7: Cantitatea care nu este nici tensor vectorial și nici, în The Story of Spin, University of Chicago Press, 1998, p. 129, ISBN 0-226-80794-0 .

[4] ( DE ) Wolfgang Pauli , Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons , în Zeitschrift für Physik , vol. 43, 1927, pp. 601–632, DOI : 10.1007 / BF01397326 .

[5] (EN) Paul M. Dirac , Teoria cuantică a electronului , în Proceedings of the Royal Society of London, A117, 1928, pp. 610 -624.

[6] ( DE ) Bartel Leendert van der Waerden , Spinoranalyse , în Nachr. Akad. Wiss. Obținerea. Math.-Physik , K1, 1929, p. 100.

[7] (EN) Oswald Veblen , Geometry of two-component spinors (PDF), în Proc. Natl. Acad. Sci. SUA , vol. 19, nr. 4, 1933, pp. 462–474.

[8] (EN) Oswald Veblen, spinori , în Știință, vol. 80, n. 2080, 1934, pp. 415-419, DOI : 10.1126 / science.80.2080.415 .

[9] (EN) Thomas Friedrich, Dirac Operators in Riemannian Geometry, American Mathematical Society , 2000, p. 20, ISBN 978-0-8218-2055-1 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]