Reprezentarea grupurilor

Teoria reprezentării grupurilor este domeniul matematicii care studiază proprietățile grupurilor prin reprezentările lor ca transformări liniare ale spațiilor vectoriale . Teoria reprezentării are o mare importanță, deoarece permite reducerea multor probleme de teorie de grup la probleme de algebră liniară , o zonă a matematicii pentru care rezultatele generale sunt bine cunoscute și sunt disponibili algoritmi cu implementări eficiente. Teoria reprezentărilor de grup este, de asemenea, foarte importantă în fizică , în special pentru că este utilizată pentru a descrie modul în care grupul de simetrie al unui sistem fizic influențează soluțiile ecuațiilor care guvernează sistemul însuși.

Reprezentările pot fi definite și pentru alte structuri matematice, cum ar fi pentru algebre asociative , algebre Lie și algebre Hopf ; în această intrare cu reprezentări și teoria reprezentărilor ne vom referi doar la reprezentări ale grupurilor.

Expresia reprezentării unui grup este de asemenea utilizată într-un sens mai general ca descriere a unui grup înțeles ca un grup de transformări ale unei configurații a obiectelor matematice. Mai formal, o reprezentare a grupului G este un omomorfism al lui G în grupul de automorfisme ale obiectelor. Dacă este un spațiu vectorial avem o reprezentare liniară . Uneori, termenul de realizare este folosit pentru noțiunea generală, iar termenul de reprezentare este rezervat cazului special al reprezentărilor liniare. Acest articol tratează în principal teoria reprezentărilor liniare; sensul general este descris în ultima secțiune.

Ramuri ale teoriei reprezentărilor

Teoria reprezentărilor este împărțită în mai multe subteorii în funcție de tipul de grup la care se referă. Analizându-le în detaliu, diferitele teorii sunt destul de diferite, dar unele concepte și definiții de bază sunt similare. Principalele sub-teorii se referă la tipurile de grupuri care urmează.

Grupuri finite - reprezentările grupurilor sunt un instrument foarte important în studiul grupurilor finite. Ele sunt, de asemenea, utilizate în aplicațiile teoriei grupurilor finite pentru cristalografie și geometrie. Dacă câmpul scalarilor spațiului vectorial are caracteristica p și dacă p indică ordinea grupului, atunci vorbim de teoria reprezentării modulare ; acest caz special are proprietăți foarte diferite. Vezi în acest sens teoria reprezentării grupurilor finite .
Grupuri compacte și grupuri compacte local - Multe rezultate ale teoriei reprezentării grupurilor finite sunt dovedite prin calcularea valorilor medii pe elementele grupurilor. Aceste rezultate pot fi extinse la grupuri infinite prin înlocuirea mijloacelor cu integrale. Acest lucru se poate face pentru grupurile compacte la nivel local utilizând măsura Haar . Teoria rezultată se dovedește a fi partea centrală a analizei armonice . Dualitatea lui Pontryagin descrie teoria grupurilor comutative ca un fel de transformată Fourier generalizată. Vezi și teorema lui Peter-Weyl .
Grupuri Lie - Deoarece multe grupuri importante Lie sunt compacte, este posibil să li se aplice teoria reprezentării compacte. Sunt utilizate și alte tehnici specifice grupurilor Lie. Majoritatea grupurilor importante din fizică și chimie sunt grupuri Lie și teoria reprezentării lor este decisivă pentru aplicațiile teoriei grupurilor în aceste domenii. Vezi reprezentările grupurilor Lie și reprezentările algebrelor Lie .
Grupuri algebrice liniare (sau mai general scheme de grup afine ) - Acestea sunt analogii grupurilor Lie, dar privesc câmpuri mai generale ale R-ului real sau ale complexelor C. Deși grupurile algebrice liniare au o clasificare care este foarte asemănătoare cu cea a grupurilor Lie și care dă naștere acelorași familii de algebre Lie, reprezentările lor sunt foarte diferite (și mult mai puțin cunoscute). Tehnicile analitice utilizate pentru studiul grupurilor Lie sunt înlocuite cu cele de geometrie algebrică , unde topologia relativ slabă a lui Zariski necesită multe complicații tehnice.
Grupuri topologice non-compacte - clasa grupurilor non-compacte este prea mare pentru a avea o teorie generală a reprezentării, dar au fost studiate unele cazuri particulare, folosind și tehnici ad hoc. Grupurile Semisimple Lie au o teorie foarte bogată, construită pe baza cazului compact. Grupurile Lie complementare solubile nu pot fi clasificate în același mod. Teoria generală a grupurilor Lie se referă la produsele semidirecte prin intermediul rezultatelor generale care constituie așa-numita teorie Mackey , care este o generalizare a metodelor de clasificare Wigner .

Teoria reprezentării depinde, de asemenea, puternic de tipul de spațiu vectorial asupra căruia acționează grupul. În primul rând, există o distincție între reprezentări cu dimensiuni finite și reprezentări cu dimensiuni infinite. În cazul infinit-dimensional, structurile suplimentare sunt foarte importante (de exemplu, este necesar să distingem dacă spațiul este sau nu un spațiu Hilbert sau un spațiu Banach ).

Tipul de câmp pe care este definit spațiul vectorial este foarte important. Cel mai relevant este domeniul numerelor complexe . De asemenea, sunt importante câmpul numărului real , câmpurile finite și câmpurile numărului p-adic . În general, câmpurile închise algebric sunt mai ușor de manevrat decât cele închise non-algebric. Caracteristica câmpului este de asemenea semnificativă; multe teoreme de grup finit depind de caracteristica câmpului și nu disting ordinea grupului.

Definiții

O reprezentare a unui grup G pe un spațiu vectorial V pe un câmp K este un omomorfism al grupurilor de la G la GL ( V ), adică un grup general liniar pe V. Cu alte cuvinte, o reprezentare este o hartă:

\rho \colon G\to GL(V)

{\ displaystyle \ rho \ colon G \ to GL (V)}

\ rho \ colon G \ to GL (V)

astfel încât

\rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad \forall g_{1},g_{2}\in G.

{\ displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) = \ rho (g_ {1}) \ rho (g_ {2}), \ qquad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ în G. }

\ rho (g_ {1} g_ {2}) = \ rho (g_ {1}) \ rho (g_ {2}), \ qquad \ forall g_ {1}, g_ {2} \ în G.

În acest caz, V se numește spațiu de reprezentare, iar dimensiunea lui V se numește dimensiune de reprezentare. Este obișnuit să ne referim la V însuși ca reprezentare atunci când homomorfismul este clar din context (și adesea chiar și atunci când nu este).

În cazul în care V are o dimensiune finită egală cu n , este obișnuit să alegeți o bază pentru V și să identificați GL ( V ) cu GL ( n , K ), grupul de matrice inversabile n × n pe câmpul K.

Nucleul sau nucleul unei reprezentări $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ a unui grup G este definit ca subgrupul normal al lui G , a cărui imagine este pe $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este transformarea identității:

\ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=id\right\}

{\ displaystyle \ ker \ rho = \ left \ {g \ in G \ mid \ rho (g) = id \ right \}}

\ ker \ rho = \ left \ {g \ in G \ mid \ rho (g) = id \ right \}

O reprezentare fidelă apare atunci când homomorfismul G → GL ( V ) este injectiv , adică este cel al cărui nucleu este subgrupul trivial { e } format doar din elementul de identitate al grupului.

Având în vedere două K- spații vectoriale V și W , două reprezentări:

\rho _{1}\colon G\to GL(V)

{\ displaystyle \ rho _ {1} \ colon G \ to GL (V)}

\ rho _ {1} \ colon G \ to GL (V)

Și

\rho _{2}\colon G\rightarrow GL(W)

{\ displaystyle \ rho _ {2} \ colon G \ rightarrow GL (W)}

\ rho _ {2} \ colon G \ rightarrow GL (W)

se numesc echivalente sau izomorfe dacă și numai dacă există un izomorfism între spațiile vectoriale

\alpha \colon V\to W

{\ displaystyle \ alpha \ colon V \ to W}

\ alpha \ colon V \ to W

astfel încât pentru fiecare g din G

\alpha \circ \rho _{1}(g)\circ \alpha ^{-1}=\rho _{2}(g)

{\ displaystyle \ alpha \ circ \ rho _ {1} (g) \ circ \ alpha ^ {- 1} = \ rho _ {2} (g)}

\ alpha \ circ \ rho _ {1} (g) \ circ \ alpha ^ {{- 1}} = \ rho _ {2} (g)

Exemple

Să considerăm numărul complex u = e ^{2πi / 3} care are proprietatea u ³ = 1. Grupul ciclic C ₃ = {1, u , u ² } are o reprezentare ρ pe C ² dată de cele trei matrice:

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u ^ {2} \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ începe {bmatrix} 1 și 0 \\ 0 & u ^ {2} \\\ end {bmatrix}}

care produc ρ (1), ρ ( u ) și respectiv ρ ( u ² ). Această reprezentare este fidelă deoarece ρ este o hartă unu-la-unu .

O reprezentare izomorfă pentru C ₃ este dată de

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} u ^ {2} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ begin {bmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}} \ qquad {\ începe {bmatrix} u ^ {2} & 0 \\ 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}

Reductibilitate

Un subspatiu W de V invariant sub acțiune de grup se numește subreprezentare . Dacă V are o subrepresentare adecvată diferită de zero, se spune că reprezentarea este reductibilă . Altfel avem o reprezentare ireductibilă .

Dacă caracteristica câmpului K nu împarte cardinalitatea grupului, o reprezentare a unui grup finit poate fi descompusă într-o sumă directă de subreprezentări ireductibile (vezi teorema lui Maschke ). Acest lucru este valabil pentru reprezentările de câmp ale numerelor complexe .

În exemplul de mai sus, reprezentarea dată este descompozabilă în două subreprezentări unidimensionale (date de subspaiile span {(1,0)} și span {(0,1)}).

Generalizări

Setați reprezentări

O reprezentare a setului (cunoscută și sub numele de acțiune de grup sau reprezentare a permutărilor ) a unui grup G pe un set X este dată de o funcție ρ definită de G la X ^X , de setul de funcții de la X la X , astfel încât pentru fiecare g ₁ , g ₂ în G și pentru fiecare x în X să fie :

\rho (1)[x]=x

{\ displaystyle \ rho (1) [x] = x}

\ rho (1) [x] = x

\rho (g_{1}g_{2})[x]=\rho (g_{1})[\rho (g_{2})[x]]

{\ displaystyle \ rho (g_ {1} g_ {2}) [x] = \ rho (g_ {1}) [\ rho (g_ {2}) [x]]}

\ rho (g_ {1} g_ {2}) [x] = \ rho (g_ {1}) [\ rho (g_ {2}) [x]]

Această condiție și axiomele grupului determină ρ ( g ) să fie o bijecție (sau permutare ) pentru fiecare g din G. În mod echivalent putem defini o reprezentare a permutațiilor ca un omomorfism de grup de la G la grupul simetric S _X al mulțimii X.

Pentru mai multe informații, consultați articolul despre acțiunea în grup .

Reprezentări în alte categorii

Fiecare grup G poate fi văzut ca o categorie cu un singur obiect; morfismele din această categorie sunt tocmai elementele lui G. Având în vedere o categorie arbitrară C , o reprezentare a lui G în C este o funcție de la G la C. O astfel de funcție selectează un obiect X în C și un grup de homomorfisme din G în Aut ( X ), grupul de automorfisme din X.

În cazul în care C aparține lui Vect _K , categoria spațiilor vectoriale pe câmpul K , această definiție este echivalentă cu o reprezentare liniară. În mod similar, o reprezentare a seturilor este doar o reprezentare a lui G în categoria seturilor .

Într-un alt exemplu, categoria spațiilor topologice Top. Reprezentările din Top sunt omomorfisme de la G la grupul homeomorfismelor unui spațiu topologic X.

Există alte două tipuri de reprezentări strâns legate de reprezentările liniare:

reprezentări proiective : în categoria spațiilor proiective . Acestea pot fi descrise ca „reprezentări liniare cu excepția transformărilor scalare”.
reprezentări afine : în categoria spațiilor afine . Un exemplu este dat de grupul euclidian care acționează similar asupra spațiului euclidian .

Bibliografie

Fulton-Harris Introducere în teoria reprezentării cu accent pe grupurile Lie.
Yurii I. Lyubich. Introducere în teoria reprezentărilor Banach ale grupurilor . Traducere din ediția în limba rusă din 1985 (Harkov, Ucraina). Birkhäuser Verlag. 1988.

Elemente conexe

Controlul autorității	Tesauro BNCF 54492 · LCCN (EN) sh85112944 · GND (DE) 7503476-1 · BNF (FR) cb11932754t (dată) · BNE (ES) XX5225372 (dată)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică