Matricile Pauli

Wolfgang Pauli (1900-1958), cca.

În mecanica cuantică, matricile Pauli sunt un set de matrice 2 × 2 unitare hermitiene complexe . De obicei indicate prin litera greacă σ ( sigma ), ele pot fi indicate și cu $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ ( tau ) atunci când este utilizat în legătură cu simetria izospinului . Acestea își datorează numele fizicianului Wolfgang Pauli și sunt definite după cum urmează:

\sigma _{1}\equiv \sigma _{x}\equiv {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ sigma _ {1} \ equiv \ sigma _ {x} \ equiv {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}

\ sigma _ {1} \ equiv \ sigma _ {x} \ equiv {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}

\sigma _{2}\equiv \sigma _{y}\equiv {\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ sigma _ {2} \ equiv \ sigma _ {y} \ equiv {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}}

\ sigma _ {2} \ equiv \ sigma _ {y} \ equiv {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}

\sigma _{3}\equiv \sigma _{z}\equiv {\begin{pmatrix}1&0\\0&{-1}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ equiv \ sigma _ {z} \ equiv {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {- 1} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {3} \ equiv \ sigma _ {z} \ equiv {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & {- 1} \ end {pmatrix}}}

Proprietăți algebrice

Spus $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ matricea identității, satisfac următoarea egalitate:

\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I

{\ displaystyle \ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = I}

\ sigma _ {1} ^ {2} = \ sigma _ {2} ^ {2} = \ sigma _ {3} ^ {2} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix}} = THE

De asemenea, verifică următoarele relații de comutare și anti- comutare :

{\begin{matrix}[\sigma _{i},\sigma _{j}]&=&2i\varepsilon ^{ijk}\sigma _{k}\\\{\sigma _{i},\sigma _{j}\}&=&2\delta _{ij}I\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \ varepsilon ^ {ijk} \ sigma _ {k} \\\ {\ sigma _ {i} , \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {ij} I \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} [\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j}] & = & 2i \ varepsilon ^ {{ijk}} \ sigma _ {k} \\\ {\ sigma _ {i}, \ sigma _ {j} \} & = & 2 \ delta _ {{ij}} I \ end {matrix}}

unde este $\varepsilon ^{ijk}$ ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {ijk}}$ $\ varepsilon ^ {{ijk}}$ este tensorul Levi-Civita , $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ este delta Kronecker . Rapoartele anterioare pot fi scrise pe scurt ca:

\sigma _{i}\sigma _{j}=i\varepsilon _{ijk}\sigma _{k}+\delta _{ij}\cdot I

{\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ varepsilon _ {ijk} \ sigma _ {k} + \ delta _ {ij} \ cdot I}

\ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = i \ varepsilon _ {{ijk}} \ sigma _ {k} + \ delta _ {{ij}} \ cdot I

În cele din urmă, determinantul și urmele sunt date de ( i = 1,2,3 ):

{\begin{matrix}\det(\sigma _{i})&=&-1\\\operatorname {tr} (\sigma _{i})&=&0\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 \\\ operatorname {tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} \ det (\ sigma _ {i}) & = & - 1 \\\ operatorname {tr} (\ sigma _ {i}) & = & 0 \ end {matrix}}

Din relațiile anterioare deducem pur și simplu că valorile proprii ale celor trei matrice Pauli sunt ± 1.

Cele trei matrice, astfel definite, cu adăugarea identității, formează un set complet de matrici, adică o bază a spațiului matricilor hermitiene 2 × 2:

A=c_{0}I+c_{1}\sigma _{1}+c_{2}\sigma _{2}+c_{3}\sigma _{3}\

{\ displaystyle A = c_ {0} I + c_ {1} \ sigma _ {1} + c_ {2} \ sigma _ {2} + c_ {3} \ sigma _ {3} \}

A = c_ {0} I + c_ {1} \ sigma _ {1} + c_ {2} \ sigma _ {2} + c_ {3} \ sigma _ {3} \

SUS (2)

Matricile Pauli sunt proporționale cu generatoarele grupului SU (2) , a căror algebră Lie corespunzătoare se dovedește a fi izomorfă cu algebra Lie a grupului de rotații SO (3).

Fizică

Reprezentarea spinului jumătate întreg

Deoarece grupul SU (2) este acoperirea universală a SO (3) (grupul de rotații în spațiu), putem aplica rezultatul obținut de Bargmann în dezvoltarea sa a teoriei reprezentărilor proiective :

Având în vedere un grup Lie $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și grupul său de acoperire corespunzător $G^{*}$ ${\ displaystyle G ^ {*}}$ $G ^ {{*}}$ , orice reprezentare proiectivă ( unitară ) a $G^{*}$ ${\ displaystyle G ^ {*}}$ $G ^ {{*}}$ induce o reprezentare proiectivă (unitară) a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$

Prin urmare, să $r=(\alpha _{r},{\vec {v}}_{r})$ ${\ displaystyle r = (\ alpha _ {r}, {\ vec {v}} _ {r})}$ $r = (\ alpha _ {r}, {{\ vec v}} _ {r})$ , un element al SO (3), cu $\alpha _{r}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {r}}$ $\ alpha _ {r}$ Și ${\vec {v}}_{r}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {r}}$ ${{\ vec v}} _ {r}$ unghiul și respectiv axa de rotație. Mai mult, lasă $R(r)$ ${\ displaystyle R (r)}$ $R (r)$ o reprezentare a $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în UP (2) pentru rotire pe jumătate întregi:

R(r)={\begin{pmatrix}\lambda _{0}-i\lambda _{z}&-\lambda _{y}-i\lambda _{x}\\\lambda _{y}-i\lambda _{x}&\lambda _{0}+i\lambda _{z}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle R (r) = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {0} -i \ lambda _ {z} & - \ lambda _ {y} -i \ lambda _ {x} \\\ lambda _ { y} -i \ lambda _ {x} & \ lambda _ {0} + i \ lambda _ {z} \ end {pmatrix}}}

R (r) = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {0} -i \ lambda _ {z} & - \ lambda _ {y} -i \ lambda _ {x} \\\ lambda _ {y} - i \ lambda _ {x} & \ lambda _ {0} + i \ lambda _ {z} \ end {pmatrix}}

unde este

\lambda _{0}=\cos \left({\frac {1}{2}}\,\alpha \right),\quad {\vec {\lambda }}={\vec {v}}\,\mathrm {sen} \left({\frac {1}{2}}\,\alpha \right)

{\ displaystyle \ lambda _ {0} = \ cos \ left ({\ frac {1} {2}} \, \ alpha \ right), \ quad {\ vec {\ lambda}} = {\ vec {v} } \, \ mathrm {sen} \ left ({\ frac {1} {2}} \, \ alpha \ right)}

\ lambda _ {0} = \ cos \ left ({\ frac {1} {2}} \, \ alpha \ right), \ quad {\ vec \ lambda} = {\ vec v} \, {\ mathrm { sen}} \ left ({\ frac {1} {2}} \, \ alpha \ right)

Se întâmplă că $R(r)$ ${\ displaystyle R (r)}$ $R (r)$ este o reprezentare proiectivă a SU (2) și, prin urmare, a SO (3), cu multiplicator ± 1:

R(r)R(s)=\pm R(rs)

{\ displaystyle R (r) R (s) = \ pm R (rs)}

R (r) R (s) = \ pm R (rs)

și astfel matricile Pauli pot fi utilizate pentru a descrie spinul observabil pentru o particulă fermionică.

Calcul cuantic

În calculul cuantic, porțile logice cuantice individuale pentru qubiți sunt matrici unitare 2 × 2. Matricile Pauli se numără printre cei mai importanți operatori cu un singur qubit. În acest context, descompunerea Cartan menționată mai sus se numește „descompunerea ZY a unei singure porți logice qubit”. Prin alegerea unei perechi Cartan diferite, se poate obține „descompunerea XY analogică a unei porți logice cu un singur qubit”.

Bibliografie

Jun John Sakurai , Mecanica cuantică modernă , Zanichelli, 1996, ISBN 88-08-12706-0 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica