Matrici Gell-Mann

Matricile lui Gell-Mann, numite astfel în onoarea fizicianului Murray Gell-Mann , câștigător al premiului Nobel din SUA, sunt un set de matrice hermitiene complexe 3 × 3. Acestea sunt generatoarele infinitezimale ale SU (3) .

În mod specific, matricile pot fi scrise ca:

\lambda _{1}:={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{2}:={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{3}:={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{4}:={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}~,

{\ displaystyle \ lambda _ {1}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ { 2}: = {\ begin {pmatrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {3}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {4}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~,}

{\ displaystyle \ lambda _ {1}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ { 2}: = {\ begin {pmatrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {3}: = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {4}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~,}

\lambda _{5}:={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{6}:={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{7}:={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}~,\quad \lambda _{8}:={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}~.

{\ displaystyle \ lambda _ {5}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {6}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {7}: = {\ începe {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {8}: = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {pmatrix}} ~.}

{\ displaystyle \ lambda _ {5}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {6}: = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {7}: = {\ începe {pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \ end {pmatrix}} ~, \ quad \ lambda _ {8}: = {\ frac {1} {\ sqrt {3}}} {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \ end {pmatrix}} ~.}

Similar cu matricile Pauli , adică cele care constituie generatoarele SU (2), matricile Gell-Mann sunt zero-trace și Hermitian. În fizica elementară a particulelor descriu schimbarea culorii , la fel cum matricile Pauli descriu spinul și izospinul .

La fel ca matricile Pauli, matricile Gell-Mann satisfac unele relații importante de comutare. Acestea sunt:

[\lambda _{i},\lambda _{j}]=i{\mathcal {K}}_{ijk}\lambda _{k}

{\ displaystyle [\ lambda _ {i}, \ lambda _ {j}] = i {\ mathcal {K}} _ {ijk} \ lambda _ {k}}

{\ displaystyle [\ lambda _ {i}, \ lambda _ {j}] = i {\ mathcal {K}} _ {ijk} \ lambda _ {k}}

unde sunt elementele tensorului K de rangul 3

{\mathcal {K}}_{123}=2;\;{\mathcal {K}}_{147}=1;\;{\mathcal {K}}_{156}=-1;\;{\mathcal {K}}_{246}=1;\;{\mathcal {K}}_{257}=1;

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {123} = 2; \; {\ mathcal {K}} _ {147} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {156} = - 1; \; {\ mathcal {K}} _ {246} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {257} = 1;}

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {123} = 2; \; {\ mathcal {K}} _ {147} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {156} = - 1; \; {\ mathcal {K}} _ {246} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {257} = 1;}

{\mathcal {K}}_{345}=1;\;{\mathcal {K}}_{367}=-1;\;{\mathcal {K}}_{458}={\sqrt {3}};\;{\mathcal {K}}_{678}={\sqrt {3}}~.

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {345} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {367} = - 1; \; {\ mathcal {K}} _ {458} = {\ sqrt {3}}; \; {\ mathcal {K}} _ {678} = {\ sqrt {3}} ~.}

{\ displaystyle {\ mathcal {K}} _ {345} = 1; \; {\ mathcal {K}} _ {367} = - 1; \; {\ mathcal {K}} _ {458} = {\ sqrt {3}}; \; {\ mathcal {K}} _ {678} = {\ sqrt {3}} ~.}

și toate elementele ale căror triple de indici nu sunt permutări ale triplelor anterioare sunt egale cu zero. Prin adăugarea componentelor lui K pe al treilea indice, se obține o matrice total antisimetrică.

Bibliografie

Grozin, A. , „Teoria eficientă a quarcurilor grele” Berlin etc. Springer, 2004, ISBN 3540206922

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică