Buclă (algebră)

O buclă este o structură algebrică neasociativă utilizată în matematică .

Definiție

O buclă constă dintr-un set care nu este gol $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ echipat cu o operație binară

(\cdot ):L\times L\to L

{\ displaystyle (\ cdot): L \ times L \ to L}

{\ displaystyle (\ cdot): L \ times L \ to L}

astfel încât:

există un element $1_{L}$ ${\ displaystyle 1_ {L}}$ ${\ displaystyle 1_ {L}}$ , numit neutru, astfel încât $1_{L}\cdot a=a\cdot 1_{L}=a$ ${\ displaystyle 1_ {L} \ cdot a = a \ cdot 1_ {L} = a}$ ${\ displaystyle 1_ {L} \ cdot a = a \ cdot 1_ {L} = a}$ pentru fiecare $a\in L$ ${\ displaystyle a \ în L}$ ${\ displaystyle a \ în L}$ ;
ecuația $a\cdot x=b$ ${\ displaystyle a \ cdot x = b}$ ${\ displaystyle a \ cdot x = b}$ are o singură soluție $x\in L$ ${\ displaystyle x \ în L}$ ${\ displaystyle x \ în L}$
ecuația $x\cdot a=b$ ${\ displaystyle x \ cdot a = b}$ ${\ displaystyle x \ cdot a = b}$ are o singură soluție $x\in L$ ${\ displaystyle x \ în L}$ ${\ displaystyle x \ în L}$

Proprietate

fiecare cvasigrup cu un element neutru este o buclă și fiecare buclă este o buclă stângă ;
fiecare element al buclei are un singur invers stâng și un singur invers drept ;
o buclă asociativă este un grup .

Teoria buclelor poate fi urmărită înapoi la cea a grupurilor, deși nu poate fi urmărită complet la ea într-un mod liniar și exhaustiv.

Buclă, plic și folder

Având o buclă $(L,\cdot )$ ${\ displaystyle (L, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (L, \ cdot)}$ să definim câteva hărți caracteristice

traducerile din stânga, $\lambda _{a}:x\to a\cdot x$ ${\ displaystyle \ lambda _ {a}: x \ to a \ cdot x}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {a}: x \ to a \ cdot x}$
traducerile potrivite, $\rho _{a}:x\to x\cdot a$ ${\ displaystyle \ rho _ {a}: x \ to x \ cdot a}$ ${\ displaystyle \ rho _ {a}: x \ to x \ cdot a}$
abaterile centrale, $\tau _{a}:x\to \rho _{a}\lambda _{a}^{-1}(x)$ ${\ displaystyle \ tau _ {a}: x \ to \ rho _ {a} \ lambda _ {a} ^ {- 1} (x)}$ ${\ displaystyle \ tau _ {a}: x \ to \ rho _ {a} \ lambda _ {a} ^ {- 1} (x)}$
abaterile din stânga, $\delta _{a,\,b}^{\lambda }:x\to \lambda _{a\cdot \,b}^{-1}\lambda _{a}\lambda _{b}(x)$ ${\ displaystyle \ delta _ {a, \, b} ^ {\ lambda}: x \ to \ lambda _ {a \ cdot \, b} ^ {- 1} \ lambda _ {a} \ lambda _ {b} (X)}$ ${\ displaystyle \ delta _ {a, \, b} ^ {\ lambda}: x \ to \ lambda _ {a \ cdot \, b} ^ {- 1} \ lambda _ {a} \ lambda _ {b} (X)}$
abateri corecte, $\delta _{a,\,b}^{\rho }:x\to \rho _{a\cdot \,b}^{-1}\rho _{b}\rho _{a}(x)$ ${\ displaystyle \ delta _ {a, \, b} ^ {\ rho}: x \ to \ rho _ {a \ cdot \, b} ^ {- 1} \ rho _ {b} \ rho _ {a} (X)}$ ${\ displaystyle \ delta _ {a, \, b} ^ {\ rho}: x \ to \ rho _ {a \ cdot \, b} ^ {- 1} \ rho _ {b} \ rho _ {a} (X)}$

Aceste hărți ne permit să definim unele grupuri asociate cu o buclă. Astfel de grupuri sunt

grupul de traduceri, generat de toate traducerile buclei
grupul $G(L)$ ${\ displaystyle G (L)}$ ${\ displaystyle G (L)}$ a traducerilor din stânga, generate de toate traducerile din stânga ale buclei
grupul de traduceri din dreapta, generat de toate traducerile din stânga ale buclei

Astfel de grupuri acționează în mod natural asupra $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ ca elemente ale grupului simetric pe $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . În special, stabilizatorii relativi ai elementului neutru sunt generați de abaterile respective.

Triplul $\xi ={\big (}G(L),H(L),\Lambda {\big )}$ ${\ displaystyle \ xi = {\ big (} G (L), H (L), \ Lambda {\ big)}}$ ${\ displaystyle \ xi = {\ big (} G (L), H (L), \ Lambda {\ big)}}$ unde este $H(L)$ ${\ displaystyle H (L)}$ ${\ displaystyle H (L)}$ este stabilizatorul din $G(L)$ ${\ displaystyle G (L)}$ ${\ displaystyle G (L)}$ a elementului neutru e $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ setul de traduceri din stânga se numește plic fidel.

În schimb, un triplu $\xi =(G,H,L)$ ${\ displaystyle \ xi = (G, H, L)}$ ${\ displaystyle \ xi = (G, H, L)}$ unde este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este un grup, $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un subgrup de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este o transversă stângă a coeficientului $G/H^{g}$ ${\ displaystyle G / H ^ {g}}$ ${\ displaystyle G / H ^ {g}}$ pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ ${\ displaystyle g \ în G}$ se numește folder.

Bucla stângă și starea Bruck

Familiile bucle

Moufang Loop (de Ruth Moufang )

Este o buclă $(L,\cdot )$ ${\ displaystyle (L, \ cdot)}$ ${\ displaystyle (L, \ cdot)}$ care satisface identitatea $(a\cdot b)\cdot (c\cdot a)=(a\cdot (b\cdot c))\cdot a$ ${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot (c \ cdot a) = (a \ cdot (b \ cdot c)) \ cdot a}$ ${\ displaystyle (a \ cdot b) \ cdot (c \ cdot a) = (a \ cdot (b \ cdot c)) \ cdot a}$ pentru fiecare a, b, c în $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

Proprietate

Buclele Moufang non-banale, adică nu sunt grupuri, satisfac o formă slabă de asociativitate.
Următoarea identitate

(ab) (ca) = (a (bc)) a

(multiplicarea prin juxtapunere ) este echivalentă cu fiecare dintre următoarele

a (b (ac)) = ((ab) a) c

a (b (cb)) = ((ab) c) b

Cele trei ecuații anterioare se numesc identitatea Moufang. Cu fiecare este posibilă definirea unei bucle Moufang.

Caracterizând identitățile anterioare prin plasarea unuia dintre elementele egale cu elementul neutru, avem

a (ab) = (aa) b

(ab) b = a (bb)

a (ba) = (ab) a

prin urmare, toate buclele Moufang sunt alternative .

Moufang a mai arătat că sublocul generat de unul dintre cele două elemente ale buclei Moufang este asociativ (și, prin urmare, este un grup), astfel încât buclele Moufang manifestă asociativitatea puterii .
Când lucrați cu bucle Moufang, este obișnuit să nu folosiți paranteze în expresiile cu doar două elemente distincte.

Buclă ottonionică

Același subiect în detaliu: Ottonioni .

Ca exemplu de buclă, putem aminti cvasigrupul format din elementele unitare ale alamelor .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică