Octet (matematică)

În matematică , octetii (sau octonionii ) sunt o extensie neasociativă a cuaternionilor . Algebra relativă este adesea notată cu $\mathbb {O}$ ${\ displaystyle \ mathbb {O}}$ ${\ mathbb {O}}$ sau cu O. ^[1] ^[2]

Istorie

Au fost inventate de John T. Graves în 1843 și independent de Arthur Cayley , care a publicat prima lucrare despre ele în 1845 . Ele sunt adesea denumite numere Cayley, octeți Cayley sau algebră Cayley .

Operații algebrice

Octetii formează o algebră non-asociativă cu 8 dimensiuni pe câmpul numerelor reale și, prin urmare, pot fi manipulate de octuple (secvențe de lungime 8) ale numerelor reale. Spațiul vectorial al octetilor constă din combinațiile liniare ale următoarelor octete: 1 și ₁ și ₂ și ₃ și ₄ și ₅ și ₆ și ₇ . Acestea formează o bază a elementelor inversabile ale algebrei.

Adăugarea de octeți înseamnă adăugarea coeficienților relativi, ca și pentru numerele complexe sau cuaternioane , și mai general vectori . Înmulțirea octeților se obține prin biliniaritate din matricea de multiplicare a octeților de bază, al cărei tabel este prezentat mai jos. Cele șapte unități imaginare și unitatea nu constituie un grup din cauza lipsei de asociativitate, dar formează totuși un cvasigrup și mai precis o buclă .

·	1	și ₁	și ₂	și ₃	și ₄	și ₅	și ₆	și ₇
1	1	și ₁	și ₂	și ₃	și ₄	și ₅	și ₆	și ₇
și ₁	și ₁	−1	și ₄	și ₇	−și ₂	și ₆	−și ₅	−și ₃
și ₂	și ₂	−și ₄	−1	și ₅	și ₁	−și ₃	și ₇	−și ₆
și ₃	și ₃	−e ₇	−și ₅	−1	și ₆	și ₂	−și ₄	și ₁
și ₄	și ₄	și ₂	−și ₁	−și ₆	−1	și ₇	și ₃	−și ₅
și ₅	și ₅	−și ₆	și ₃	−și ₂	−e ₇	−1	și ₁	și ₄
și ₆	și ₆	și ₅	−e ₇	și ₄	−și ₃	−și ₁	−1	și ₂
și ₇	și ₇	și ₃	și ₆	−și ₁	și ₅	−și ₄	−și ₂	−1

Înmulțirea octetilor și Piano di Fano

Același subiect în detaliu: Piano di Fano .

Înmulțirea octetilor și Piano di Fano .

O regulă mnemonică la îndemână pentru a ne aminti produsele octetelor unitare este dată de diagrama planului Fano constând din șapte puncte și șapte linii (cercul dintre i , j , k este considerat o linie). Liniile trebuie considerate orientate în diagramă. Cele șapte puncte corespund celor șapte unități imaginare. Fiecare pereche de puncte distincte se află pe o singură linie și fiecare linie trece prin exact trei puncte. Fie ( a , b , c ) o ordonată triplă a punctelor situate pe o linie dată cu ordinea specificată de direcția săgeții. Înmulțirea este dată de:

ab = c și ba = - c

supus permutării ciclice . Această regulă împreună cu:

1 este identitate,
și ² = −1 pentru fiecare punct al diagramei, definește complet structura multiplicativă a octetilor. Fiecare dintre cele șapte linii generează o subalgebră de O izomorfă către cuaternionii H.

În special, subalgebrele cuaternionice sunt generate de unități imaginare cu următorii indici:

1,2,4
2,3,5
3,4,6
4.5.7
5,6,1
6,7,2
7,1,3

Reprezentarea „matricială” a octetilor

Deoarece înmulțirea octetilor nu este asociativă, contrar a ceea ce se întâmplă pentru cuaternionuri nu există o reprezentare matricială. Cu toate acestea, Max Zorn a propus o reprezentare convenabilă, similară vizual cu cea matricială, în care octetul este descompus ca un agregat de doi scalari și doi vectori tridimensionali ( Algebra lui Zorn ).

Fie A un element generic al algebrei lui Zorn, numit matricea-vector sau matricea lui Zorn :

A={\begin{bmatrix}a&{\vec {b}}\\{\vec {c}}&d\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a & {\ vec {b}} \\ {\ vec {c}} & d \\\ end {bmatrix}}}

A = {\ begin {bmatrix} a & {\ vec b} \\ {\ vec c} & d \\\ end {bmatrix}}

se definește produsul dintre două elemente ale algebrei lui Zorn:

{\begin{bmatrix}a&{\vec {b}}\\{\vec {c}}&d\\\end{bmatrix}}*{\begin{bmatrix}a'&{\vec {b}}'\\{\vec {c}}'&d'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}aa'+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}'&a{\vec {b}}'+{\vec {b}}d'-{\vec {c}}\wedge {\vec {c}}'\\{\vec {c}}a'+d{\vec {c}}'+{\vec {b}}\wedge {\vec {b}}'&dd'+{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}'\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a & {\ vec {b}} \\ {\ vec {c}} & d \\\ end {bmatrix}} * {\ begin {bmatrix} a '& {\ vec {b}} '\\ {\ vec {c}}' & d '\\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} aa' + {\ vec {b}} \ cdot {\ vec {c }} '& a {\ vec {b}}' + {\ vec {b}} d '- {\ vec {c}} \ wedge {\ vec {c}}' \\ {\ vec {c}} a '+ d {\ vec {c}}' + {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {b}} '& dd' + {\ vec {c}} \ cdot {\ vec {b}} '\\\ end {bmatrix}}}

{\ begin {bmatrix} a & {\ vec b} \\ {\ vec c} & d \\\ end {bmatrix}} * {\ begin {bmatrix} a '& {\ vec b}' \\ {\ vec c} '& d' \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} aa '+ {\ vec b} \ cdot {\ vec c}' & a {\ vec b} '+ {\ vec b} d '- {\ vec c} \ wedge {\ vec c}' \\ {\ vec c} a '+ d {\ vec c}' + {\ vec b} \ wedge {\ vec b} '& dd '+ {\ vec c} \ cdot {\ vec b}' \\\ end {bmatrix}}

=AB+{\begin{bmatrix}0&-{\vec {c}}\wedge {\vec {c}}'\\+{\vec {b}}\wedge {\vec {b}}'&0\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle = AB + {\ begin {bmatrix} 0 & - {\ vec {c}} \ wedge {\ vec {c}} '\\ + {\ vec {b}} \ wedge {\ vec {b} } '& 0 \\\ end {bmatrix}}}

= AB + {\ begin {bmatrix} 0 & - {\ vec c} \ wedge {\ vec c} '\\ + {\ vec b} \ wedge {\ vec b}' & 0 \\\ end {bmatrix} }

care corespunde multiplicării comune a matricelor cu excepția termenilor produsului vector care fac această multiplicare neasociativă.

Cu aceste definiții, avem că octetii pot fi exprimați sub formă de „vector matricial” în algebra lui Zorn. Avem că un octet X poate fi pus sub forma:

X={\begin{bmatrix}x+iy&\mathbf {v} +i\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +i\mathbf {w} &x-iy\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} x + iy & \ mathbf {v} + i \ mathbf {w} \\ - \ mathbf {v} + i \ mathbf {w} & x-iy \ end {bmatrix }}.}

X = {\ begin {bmatrix} x + iy & {\ mathbf v} + i {\ mathbf w} \\ - {\ mathbf v} + i {\ mathbf w} & x-iy \ end {bmatrix}}.

unde x și y sunt numere reale și v și w sunt vectori în R ³ . Observați similaritatea cu reprezentarea matricială a cuaternionilor :

X={\begin{bmatrix}x+iy&v+iw\\-v+iw&x-iy\end{bmatrix}}.

{\ displaystyle X = {\ begin {bmatrix} x + iy & v + iw \\ - v + iw & x-iy \ end {bmatrix}}.}

X = {\ begin {bmatrix} x + iy & v + iw \\ - v + iw & x-iy \ end {bmatrix}}.

unde de data aceasta x, y, v, w sunt toate numere reale.

„ Determinantul ” unei matrice Zorn este definit ca de obicei:

\det {\begin{bmatrix}a&\mathbf {b} \\\mathbf {c} &d\end{bmatrix}}=ad-\mathbf {b} \cdot \mathbf {c}

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} a & \ mathbf {b} \\\ mathbf {c} & d \ end {bmatrix}} = ad- \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {c}}

\ det {\ begin {bmatrix} a & {\ mathbf b} \\ {\ mathbf c} & d \ end {bmatrix}} = ad - {\ mathbf b} \ cdot {\ mathbf c}

.

Acest determinant este o formă pătratică a algebrei lui Zorn care satisface regula:

\det(AB)=\det(A)\det(B).

{\ displaystyle \ det (AB) = \ det (A) \ det (B).}

\ det (AB) = \ det (A) \ det (B).

Prin urmare, determinantul matricei Zorn asociat cu un octet este:

\det {\begin{bmatrix}x+iy&\mathbf {v} +i\mathbf {w} \\-\mathbf {v} +i\mathbf {w} &x-iy\end{bmatrix}}=x^{2}+y^{2}+\mathbf {v} ^{2}+\mathbf {w} ^{2}

{\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} x + iy & \ mathbf {v} + i \ mathbf {w} \\ - \ mathbf {v} + i \ mathbf {w} & x-iy \ end {bmatrix }} = x ^ {2} + y ^ {2} + \ mathbf {v} ^ {2} + \ mathbf {w} ^ {2}}

\ det {\ begin {bmatrix} x + iy & {\ mathbf v} + i {\ mathbf w} \\ - {\ mathbf v} + i {\ mathbf w} & x-iy \ end {bmatrix}} = x ^ {2} + y ^ {2} + {\ mathbf v} ^ {2} + {\ mathbf w} ^ {2}

,

adică norma pătrată a octetului în sine.

Proprietate

Octetii furnizează singura algebră dimensională non-asociativă definibilă pe câmp a numerelor reale. Singurele algebre asociative cu dimensiuni finite sunt constituite de numerele reale în sine (algebră unidimensională), de numere complexe (algebră bidimensională) și de cuaternioane (algebră cu patru dimensiuni). În timp ce comutativitatea înmulțirii se pierde deja cu cuaternionii, octetii își pierd și asociativitatea:

\,(ij)l=-i(jl)

{\ displaystyle \, (ij) l = -i (jl)}

\, (ij) l = -i (jl)

Cu toate acestea, în ele nu există divizori ai zero .

Același subiect în detaliu: domeniul integrității .

Cu toate acestea, acestea sunt legate de unele structuri matematice, cum ar fi grupurile Lie excepționale. Grupul de automorfisme (simetrice) al octetilor este grupul Lie G2 .

Notă

^ P. Lounesto , p. 97 .
^ I.-R. Portios , p. 178 .

Bibliografie

( EN ) P. Lounesto, Clifford Algebras and Spinors , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-59916-4 .
( RO ) H.-D. Ebbinghaus și colab. (eds.), Numere , Springer, 1991.
( EN ) I.-R. Porteous, Clifford Algebras and the ClassicalGroups , Cambridge University Press, 1995, ISBN 0-521-55177-3 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe octet

linkuri externe

The Octonions - un articol de John C. Baez

Controlul autorității	LCCN (EN) sh2002008702 · GND (DE) 4745179-8 · BNF (FR) cb15608111r (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] P. Lounesto , p. 97 .

[2] I.-R. Portios , p. 178 .

[1]

[2]