Planul lui Fano

Planul lui Fano. Circumferința trebuie, de asemenea, considerată drept „ dreaptă ”

Planul Fano (de la matematicianul italian Gino Fano ) este planul proiectiv pe câmpul finit $\mathbb {F} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$ ${\ mathbb {F}} _ {2}$ cu două elemente. Este planul proiectiv cu mai puține elemente: conține 7 puncte (fiecare dintre ele conținute în trei linii) și 7 linii (fiecare dintre ele conține trei puncte).

Coordonate omogene

Ca orice spațiu proiectiv , planul Fano poate fi descris prin coordonate omogene : în acest caz, fiecare punct este identificat printr-o triada de numere, fiecare dintre ele fiind 0 sau 1, cu excepția triadei (0,0, 0) , care nu determină niciun punct. În consecință, planul Fano este reprezentat de cele șapte triple (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1) , (1,1,0) și (1,1,1).

În aceste coordonate, date două puncte $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , al treilea punct al liniei care trece prin $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ poate fi identificat pur și simplu adăugând ( modulul 2) coordonatele celor două puncte.

Prin dualitate , chiar și liniile planului Fano pot fi reprezentate cu coordonate omogene prin triple de 0 și 1: în acest caz, un punct $p=(p_{0},p_{1},p_{2})$ ${\ displaystyle p = (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2})}$ $p = (p_ {0}, p_ {1}, p_ {2})$ aparține unei linii drepte $r=(r_{0},r_{1},r_{2})$ ${\ displaystyle r = (r_ {0}, r_ {1}, r_ {2})}$ $r = (r_ {0}, r_ {1}, r_ {2})$ dacă numărul de 1 municipii dintre coordonatele din $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ iar cele din $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este chiar. De exemplu, punctul (1,0,1) aparține liniei (1,1,1), în timp ce punctul (1,0,0) nu.

Descriere axiomatică

O modalitate alternativă de a descrie planul lui Fano este prin intermediul unui set de axiome . Următoarele axiome caracterizează planul Fano:

fiecare linie a avionului are cel puțin trei puncte;
cel puțin trei linii drepte trec prin fiecare punct al planului;
pentru fiecare pereche de puncte există o singură linie dreaptă;
fiecare pereche de linii drepte se întâlnește la un singur punct;
fiecare linie a avionului are cel mult trei puncte;
maximum trei linii drepte trec prin fiecare punct al planului.

Ultimele două sunt cele care determină cu adevărat planul lui Fano.

Simetriile

În ceea ce privește orice spațiu proiectiv, setul de proiectivități ale planului Fano este un grup , grupul proiectiv general $PGL_{3}(\mathbb {F} _{2})$ ${\ displaystyle PGL_ {3} (\ mathbb {F} _ {2})}$ $PGL_ {3} ({\ mathbb {F}} _ {2})$ ; În acest caz, în plus, acest grup este izomorf pentru grupul proiectiv special $PSL_{3}(\mathbb {F} _{2})$ ${\ displaystyle PSL_ {3} (\ mathbb {F} _ {2})}$ $PSL_ {3} ({\ mathbb {F}} _ {2})$ iar la grupul liniar general $GL_{3}(\mathbb {F} _{2})$ ${\ displaystyle GL_ {3} (\ mathbb {F} _ {2})}$ $GL_ {3} ({\ mathbb {F}} _ {2})$ .

$PGL_{2}(\mathbb {F} _{2})$ ${\ displaystyle PGL_ {2} (\ mathbb {F} _ {2})}$ $PGL_ {2} ({\ mathbb {F}} _ {2})$ este un grup simplu cu 168 de elemente.

Matroizi

Planul lui Fano poate fi de asemenea gândit ca un matroid cu șapte elemente, notat cu $F_{7}$ ${\ displaystyle F_ {7}}$ $F_ {7}$ . $F_{7}$ ${\ displaystyle F_ {7}}$ $F_ {7}$ este reprezentabil pe $\mathbb {F} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$ ${\ mathbb {F}} _ {2}$ și pe toate câmpurile caracteristicii 2, dar pe nici un alt câmp; în consecință nu este nici un matroid obișnuit, nici un matroid grafic sau cografic .

În plus, $F_{7}$ ${\ displaystyle F_ {7}}$ $F_ {7}$ este un minor exclus pentru clasa matroidelor obișnuite și pentru clasa matroidelor grafice.

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometria 1 , Torino, Bollati Boringhieri , 1989, ISBN 978-88-339-5447-9 .
James G. Oxley, Matroid Theory , New York, Oxford University Press, 1992, ISBN 0-19-853563-5. .