Multiplicare

3 × 4 = 12, deci doisprezece puncte pot fi organizate în trei rânduri de patru puncte (sau în patru coloane de trei)

Înmulțirea este una dintre cele patru operații fundamentale ale aritmeticii . Aceasta este o modalitate rapidă de a reprezenta suma numerelor egale. Rezultatul unei înmulțiri se numește produs , în timp ce cele două numere înmulțite sunt numite factori atunci când sunt considerați împreună și, respectiv, înmulțirea și multiplicarea atunci când sunt luate individual. Este adesea indicat prin simbolul unei cruci × sau prin punctul matematic de înălțime la jumătate ⋅ sau în câmpul computerului prin asterisc * .

Notaţie

În scrierea matematică, există două simboluri diferite utilizate pentru a indica multiplicarea: ambele dintre următoarele notații înseamnă „cinci înmulțite cu două” și ambele sunt citite cinci cu două :

{\begin{matrix}5\times 2\\5\cdot 2\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 5 \ times 2 \\ 5 \ cdot 2 \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} 5 \ times 2 \\ 5 \ cdot 2 \ end {matrix}}

Dacă cei doi multiplicatori nu sunt scrise în cifre și, prin urmare, nu există riscul de neînțelegere, este de asemenea posibil să le juxtapunem, ca în:

\,2z

{\ displaystyle \, 2z}

\, 2z

\,2(z+2)

{\ displaystyle \, 2 (z + 2)}

\, 2 (z + 2)

de asemenea, pentru a citi aceste formule se aplică același principiu: dacă nu există riscul de neînțelegere, for poate fi omis, ca în prima ( două zete ), altfel se va spune, ca și în a doua ( două pentru, paranteze deschise, zeta plus două, paranteză închisă sau două pentru, între paranteze, zeta plus două ) sau în cele din urmă două care multiplică zeta plus două .

În limbaje de programare și calculatoare , multiplicarea este de obicei indicată cu un asterisc (*) , datorită unui obicei născut din limbajul de programare FORTRAN ^{[ fără sursă ]} .

Definiție prin numere naturale

Având în vedere două numere întregi pozitive $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , numit primul „multiplicator” și al doilea „multiplicator”, definiția multiplicării nu este altceva decât:

n\cdot m:=\underbrace {n+n+\dots +n} _{m{\text{ volte}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ underbrace {n + n + \ dots + n} _ {m {\ text {times}}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ underbrace {n + n + \ dots + n} _ {m {\ text {times}}}}

sau „adăugați numărul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ pentru $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ori ". ^[1] ^[2]

Folosind o formulă mai restricționată, cu simbolul însumării :

n\cdot m:=\sum _{k=1}^{m}n

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {m} n}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {m} n}

Deci, de exemplu:

2 × 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
5 × 2 = 5 + 5 = 10
3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
m × 6 = m + m + m + m + m + m

Având în vedere proprietatea comutativă a înmulțirii (vezi mai jos ), uneori ^[3] se dă următoarea definiție (echivalentă) a înmulțirii:

n\cdot m:=\sum _{k=1}^{n}m=\underbrace {m+m+\dots +m} _{n{\text{ volte}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} m = \ underbrace {m + m + \ dots + m} _ {n {\ text {times}}}}

{\ displaystyle n \ cdot m: = \ sum _ {k = 1} ^ {n} m = \ underbrace {m + m + \ dots + m} _ {n {\ text {times}}}}

Proprietăți algebrice

Pornind de la definiție, se poate arăta că multiplicarea are următoarele proprietăți:

Comutativitate: Nu contează ordinea în care se înmulțesc două numere. Într-adevăr, pentru orice pereche de numere x și y ,

x\cdot y=y\cdot x

{\ displaystyle x \ cdot y = y \ cdot x}

x \ cdot y = y \ cdot x

Este important să subliniem că această proprietate este valabilă doar pentru numere ( numere întregi , raționale , reale , complexe ), dar nu este întotdeauna valabilă, de exemplu, nu este valabilă atunci când matricile și cuaternionele sunt înmulțite între ele.

Proprietate asociativă: Pentru fiecare triplet de numere x , y și z ,

(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)

{\ displaystyle (x \ cdot y) \ cdot z = x \ cdot (y \ cdot z)}

(x \ cdot y) \ cdot z = x \ cdot (y \ cdot z)

adică ordinea în care sunt efectuate operațiile nu contează dacă acestea implică doar multiplicări.

Proprietate distributivă în ceea ce privește adăugarea: Puteți „distribui” înmulțirea diferitelor adunări ale unei sume:

x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z

{\ displaystyle x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z}

x \ cdot (y + z) = x \ cdot y + x \ cdot z

Element neutru: Fiecare număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși:

x\cdot 1=x

{\ displaystyle x \ cdot 1 = x}

x \ cdot 1 = x

1\cdot x=x

{\ displaystyle 1 \ cdot x = x}

1 \ cdot x = x

Numărul 1 se mai numește și elementul neutru pentru multiplicare.

Element zero: Înmulțirea oricărui număr cu zero are ca rezultat zero:

x\cdot 0=0

{\ displaystyle x \ cdot 0 = 0}

x \ cdot 0 = 0

pentru orice x .

Această definiție este în concordanță cu proprietatea distributivă, de fapt:

x\cdot y=x\cdot (y+0)=(x\cdot y)+(x\cdot 0)

{\ displaystyle x \ cdot y = x \ cdot (y + 0) = (x \ cdot y) + (x \ cdot 0)}

x \ cdot y = x \ cdot (y + 0) = (x \ cdot y) + (x \ cdot 0)

Pentru înmulțirea în câmpul numerelor raționale (vezi mai jos) este de asemenea valabilă

Existența inversului

Orice număr x, cu excepția zero, are inversul multiplicării,

{\frac {1}{x}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {x}}}

{\ frac {1} {x}}

, adică un număr definit în așa fel încât:

x\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)=1

{\ displaystyle x \ cdot \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 1}

x \ cdot \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) = 1

Înmulțirea cu axiomele lui Peano

În cartea Arithmetices principia, nova methodo exposita , Giuseppe Peano a propus un sistem axiomatic pentru numerele naturale; două dintre aceste axiome se referă la multiplicare:

a\times 1=a

{\ displaystyle a \ times 1 = a}

a \ times 1 = a

a\times b'=(a\times b)+a

{\ displaystyle a \ times b '= (a \ times b) + a}

a \ times b '= (a \ times b) + a

Aici b ' reprezintă următorul element natural al lui b . Cu celelalte nouă axiome ale lui Peano, este posibil să se demonstreze regulile comune de multiplicare, cum ar fi proprietățile distributive și asociative. Cele două axiome enumerate oferă o definiție recursivă a multiplicării.

Numere negative și regula semnelor

Extindem operația de multiplicare la cazul numerelor negative, definind următoarele: dat x număr natural

(-1)\cdot x=-x

{\ displaystyle (-1) \ cdot x = -x}

(-1) \ cdot x = -x

unde - x înseamnă inversul aditiv al lui x:

x+(-1)\cdot x=0

{\ displaystyle x + (- 1) \ cdot x = 0}

x + (- 1) \ cdot x = 0

De aici avem că înmulțirea oricărui număr întreg este redusă la înmulțirea numerelor întregi pozitive și a lui $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ . Modelul rezultat se numește regula semnelor :

Produsul a două numere pozitive este un număr pozitiv:
$+\cdot \ +=\ +$ ${\ displaystyle + \ cdot \ + = \ +}$ $+ \ cdot \ + = \ +$

sau „ mai mult pentru mai mult este mai mult ”.

Produsul unui număr negativ cu un număr pozitiv sau invers, este un număr negativ:
$+\cdot \ -=\ -$ ${\ displaystyle + \ cdot \ - = \ -}$ $+ \ cdot \ - = \ -$

-\cdot \ +=\ -

{\ displaystyle - \ cdot \ + = \ -}

- \ cdot \ + = \ -

sau „ mai mult pentru mai puțin este mai puțin ”.

Produsul a două numere negative este un număr pozitiv:
$-\cdot \ -=\ +$ ${\ displaystyle - \ cdot \ - = \ +}$ $- \ cdot \ - = \ +$

sau „ mai puțin pentru mai puțin este mai mult ”.

Această ultimă regulă generală are și o interpretare în viața reală. Să presupunem că câștigăm m euro pe an; în n ani vom avea mn euro (un număr pozitiv), în timp ce dacă acest câștig ar fi început în trecut, atunci n ani în urmă (adică „în mai puțini n ani”) am avea mn euro mai puțin (un număr negativ). Dacă, pe de altă parte, am pierdut m euro pe an (adică am câștigat „mai puțin m euro”), în n ani vom avea mn mai puțin, dar acum n ani am avut mn mai mult decât avem acum.

Numere raționale, reale și complexe

Definiția multiplicării poate fi extinsă în cele din urmă la numere raționale , numere reale și numere complexe .

Pentru numerele raționale avem asta

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}

{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d}}}

{\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {a \ cdot c} {b \ cdot d}}

,

verificarea faptului că definiția este independentă de reprezentanții aleși.

Pentru numerele reale, o definiție a multiplicării poate fi obținută luând modelul numărului real ca o secțiune a Dedekind : date două numere reale pozitive, reprezentate ca secțiuni în câmpul rațional, multiplicând (cu măsuri de precauție adecvate) minoritățile între ele și majoritățile printre ele se obține din nou o secțiune, care reprezintă produsul celor două numere. Definiția poate fi apoi extinsă la toate numerele reale urmând regula semnelor indicate în secțiunea anterioară.

În cele din urmă, pentru numerele complexe avem:

(a+ib)\cdot (c+id)=[(ac-bd)+i(bc+ad)].

{\ displaystyle (a + ib) \ cdot (c + id) = [(ac-bd) + i (bc + ad)].}

(a + ib) \ cdot (c + id) = [(ac-bd) + i (bc + ad)].

Calcul

Metode manuale:
- pentru a înmulți două numere cu stilou și hârtie, cea mai obișnuită abordare folosește tabelul de înmulțire și un algoritm care obține produsul final ca sumă a multor produse de înmulțiri mai simple. Timpul luat de această metodă crește pe măsură ce cifrele numerelor de multiplicat cresc; dacă doriți să economisiți timp și un rezultat aproximativ este suficient, puteți utiliza algoritmul de prostafereză , sau mai bine acela al logaritmilor .
- cel mai vechi suport instrumental este abacul care permite obținerea de rezultate exacte. Regula de diapozitive, care oferă rezultate aproximative (dar este mult mai rapidă), datează din secolul al XV-lea . În secolul al XX-lea , mai mult pentru capriciul academic decât pentru o reală necesitate practică, a fost proiectat un conducător prosteraic
- în 1962 matematicianul rus Anatoly Karatsuba definește primul algoritm pentru multiplicare cu o complexitate mai mică decât pătratică; în 1963 un alt rus, Andrei Toom, pune bazele algoritmului Toom-Cook , cu și mai puțină complexitate.
Metode mecanice:
- În secolul al XVIII-lea, Gottfried Leibniz a perfecționat pascalina adăugând multiplicare funcțiilor disponibile.
Metode electronice:
- Calculatoarele moderne de buzunar încapsulează logica algoritmilor într-un microcip.
- O prezentare generală a modalităților de implementare a multiplicării asistate de computer este disponibilă pe această pagină .

Notă

^ Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.
^ Multiplicare , în Sapere.it , De Agostini .
^ Mai ales în literatura anglo-saxonă unde 2 x 5 citește: „de două ori cinci”

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ multiplicare ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre multiplicare

linkuri externe

Multiplication , pe Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene .
( EN ) Multiplication / Multiplication (altă versiune) , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Eric W. Weisstein, Multiplication , în MathWorld , Wolfram Research.
Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 37024 · LCCN (EN) sh85088381 · GND (DE) 4170732-1 · BNF (FR) cb11976399g (dată) · NDL (EN, JA) 00.575.007

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Multiplicare , în Treccani.it - Enciclopedii online , Institutul Enciclopediei Italiene.

[2] Multiplicare , în Sapere.it , De Agostini .

[3] Mai ales în literatura anglo-saxonă unde 2 x 5 citește: „de două ori cinci”

[1]

[2]

[3]