Funcții eliptice Weierstrass

În matematică , funcțiile eliptice Weierstrass constituie unul dintre cele două tipuri exemplare de funcții eliptice (cealaltă fiind constituită din funcțiile eliptice ale lui Jacobi ). Ele poartă numele matematicianului german Karl Weierstrass (1815-1897).

Definiții

Funcţie

\wp

{\ displaystyle \ wp}

\ wp

de Weierstrass definit mai sus un subset al planului complex vizualizat cu o tehnică standard conform căreia albul corespunde unui pol, negru la zero și saturația maximă la

\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.

{\ displaystyle \ left | f (z) \ right | = \ left | f (x + iy) \ right | = 1 \;.}

{\ displaystyle \ left | f (z) \ right | = \ left | f (x + iy) \ right | = 1 \;.}

Observați rețeaua regulată a polilor și cele două rețele intercalate de zerouri.

Ca funcție eliptică Weierstrass putem defini trei funcții strâns legate, fiecare dintre acestea având anumite avantaje. Acestea sunt trei funcții cu liste diferite de argumente pentru care este utilizat același simbol, deoarece diferențele în argumente sunt destul de vizibile. Prima funcție ia ca argument o variabilă complexă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și o rețea $\Lambda$ ${\ displaystyle \ Lambda}$ $\ Lambda$ în planul complex. Al doilea are ca argumente $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și două numere complexe $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ Și $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ care constituie un dublet de generatoare, sau perioade, pentru zăbrele. Al treilea are ca argumente $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ și o formă $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ , element al jumătății superioare a planului . Acest parametru se leagă de argumentele celei de-a doua funcții cu relația $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ tau = \ omega _ {2} / \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ tau = \ omega _ {2} / \ omega _ {1}}$ , dacă se presupune că cele două perioade aparțin jumătății superioare a planului. Funcțiile celui de-al treilea tip, prin setarea unei valori pentru $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , devin funcțiile modulare ale $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ .

Ca o funcție având ca argumente cele două puncte $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ Și $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ , funcția eliptică Weierstrass este definită ca:

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2}):={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}

{\ displaystyle \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}): = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {m ^ {2} + n ^ {2} \ neq 0} \ left \ {{\ frac {1} {(zm \ omega _ {1} -n \ omega _ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {1} { \ left (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ right) ^ {2}}} \ right \}}

{\ displaystyle \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}): = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {m ^ {2} + n ^ {2} \ neq 0} \ left \ {{\ frac {1} {(zm \ omega _ {1} -n \ omega _ {2}) ^ {2}}} - {\ frac {1} { \ left (m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2} \ right) ^ {2}}} \ right \}}

Rețeaua periodică este apoi definită $\Lambda :=\{m\omega _{1}+n\omega _{2}:m,n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ Lambda: = \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ ${\ displaystyle \ Lambda: = \ {m \ omega _ {1} + n \ omega _ {2}: m, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ și funcția Weierstrass a unei variabile complexe și rețeaua ca:

\wp (z;\Lambda ):=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})

{\ displaystyle \ wp (z; \ Lambda): = \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2})}

{\ displaystyle \ wp (z; \ Lambda): = \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2})}

De sine $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ denotă un număr complex generic al jumătății superioare a planului, stabilim:

\wp (z;\tau ):=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}

{\ displaystyle \ wp (z; \ tau): = \ wp (z; 1, \ tau) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {n ^ {2} + m ^ {2} \ neq 0} {1 \ over (znm \ tau) ^ {2}} - {1 \ over (n + m \ tau) ^ {2}}}

{\ displaystyle \ wp (z; \ tau): = \ wp (z; 1, \ tau) = {\ frac {1} {z ^ {2}}} + \ sum _ {n ^ {2} + m ^ {2} \ neq 0} {1 \ over (znm \ tau) ^ {2}} - {1 \ over (n + m \ tau) ^ {2}}}

Expresia anterioară este omogenă în grad $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ iar acest lucru ne permite să definim funcția Weierstrass $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ având ca argumente două perioade generice, precum:

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2}):=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}

{\ displaystyle \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}): = \ wp (z / \ omega _ {1}; \ omega _ {2} / \ omega _ {1}) / \ omega _ {1} ^ {2}}

{\ displaystyle \ wp (z; \ omega _ {1}, \ omega _ {2}): = \ wp (z / \ omega _ {1}; \ omega _ {2} / \ omega _ {1}) / \ omega _ {1} ^ {2}}

poate fi calculat $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ foarte rapid în ceea ce privește funcțiile theta ; deoarece acestea converg foarte repede, acesta este un mod mult mai rapid de calcul $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ decât seria folosită pentru a o defini. Formula este:

\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau )

{\ displaystyle \ wp (z; \ tau) = \ pi ^ {2} \ vartheta ^ {2} (0; \ tau) \ vartheta _ {10} ^ {2} (0; \ tau) {\ vartheta _ {01} ^ {2} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {11} ^ {2} (z; \ tau)} + e_ {2} (\ tau)}

{\ displaystyle \ wp (z; \ tau) = \ pi ^ {2} \ vartheta ^ {2} (0; \ tau) \ vartheta _ {10} ^ {2} (0; \ tau) {\ vartheta _ {01} ^ {2} (z; \ tau) \ over \ vartheta _ {11} ^ {2} (z; \ tau)} + e_ {2} (\ tau)}

unde este:

e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau ))

{\ displaystyle e_ {2} (\ tau) = - {\ pi ^ {2} \ over {3}} (\ vartheta ^ {4} (0; \ tau) + \ vartheta _ {10} ^ {4} (0; \ tau))}

{\ displaystyle e_ {2} (\ tau) = - {\ pi ^ {2} \ over {3}} (\ vartheta ^ {4} (0; \ tau) + \ vartheta _ {10} ^ {4} (0; \ tau))}

Există un pol de ordinul doi în fiecare punct de pe rețea (inclusiv originea). Cu aceste definiții, $\wp (z)$ ${\ displaystyle \ wp (z)}$ $\ wp (z)$ este o funcție uniformă și derivata sa în raport cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , $\wp '$ ${\ displaystyle \ wp '}$ ${\ displaystyle \ wp '}$ , fotografii.

Ecuație diferențială

Cu această notație, funcția $\wp$ ${\ displaystyle \ wp}$ $\ wp$ satisface următoarea ecuație diferențială :

[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

{\ displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}}

{\ displaystyle [\ wp '(z)] ^ {2} = 4 [\ wp (z)] ^ {3} -g_ {2} \ wp (z) -g_ {3}}

în care dependența de $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ Și $\omega _{2}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ $\ omega _ {2}$ .

Ecuația integrală

Funcțiile eliptice Weierstrass pot fi definite ca inversul unei integrale eliptice . Într-adevăr, fie el

u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.

{\ displaystyle u = \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {ds} {\ sqrt {4s ^ {3} -g_ {2} s-g_ {3}}}}.}

{\ displaystyle u = \ int _ {y} ^ {\ infty} {\ frac {ds} {\ sqrt {4s ^ {3} -g_ {2} s-g_ {3}}}}.}

unde, g ₂ și g ₃ sunt constante, atunci obținem

y=\wp (u).

{\ displaystyle y = \ wp (u).}

{\ displaystyle y = \ wp (u).}

Acest lucru provine direct din integrarea ecuației diferențiale.

Bibliografie

E. Pascal (1896): Teoria funcțiilor eliptice , U. Hoepli, capitolele 3, 4
L. Bianchi (1901): Prelegeri despre teoria funcțiilor variabile complexe și a funcțiilor eliptice E. Spoerri capitolul 9
( EN ) ET Whittaker , GN Watson (1952): Un curs de analiză modernă , Cambridge University Press , capitolele 20, 21
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover (Vezi capitolul 18 )
( EN ) Serge Lang (1973): Elliptic Functions , Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
( EN ) Tom M. Apostol (1976): Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor , Springer, ISBN 0-387-97127-0 (Vezi capitolul 1)
( EN ) K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
( EN ) Tom M. Apostol , Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Ediția a doua (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (Vezi capitolul 1)
( EN ) Naum Illyich Akhiezer (1990): Elements of Theory of Elliptic Functions , AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 , AMS, Rhode Island, ISBN 0-8218-4532-2 . Traducere în limba engleză a textului rusesc publicată la Moscova în 1970.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcțiile eliptice Weierstrass

linkuri externe

( EN ) ED Solomentsev, Weierstrass elliptic functions , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică