Număr hiperreal

Un număr hiperreal este un element esențial în analiza non-standard , introdus de cercetarea lui Abraham Robinson de la Universitatea Yale în 1966 în cartea sa Non-Standard Analysis .

Definiție

Un număr hiperreal este un număr care aparține setului $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{*}}$ , o structură matematică care poate fi construită din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , dar care este mai larg. Este definit pornind de la numărul infinitesimal .

Potrivit lui Robinson, un infinitesimal este un număr ε care are o valoare absolută mai mică decât oricare ${\frac {1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$ ${\ frac {1} {n}}$ pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in {\ mathbb {N}}$ . Spre deosebire de Leibniz , el le atribuie acestor ε demnitatea numerelor:

categoria numerelor hiperreale este setul de reali, infinitesimali, reciproci de infinitesimali (numere infinite) și alte numere infinit apropiate de reali

Un număr hiperreal nefinit este, prin urmare, de forma:

a + ε

unde a este un număr real și ε un infinitesimal. În consecință, în jurul unui număr real, există un cartier de numere HyperReal la o distanță infinitezimală de ea, care constituie setul de un + ε: acest set se numește monadă și este indicată cu μ (a).

Se arată că ε este mai mic decât orice număr real pozitiv.

Mai formal, monada unui număr a este definită ca clasa de echivalență a relației $a\simeq b$ ${\ displaystyle a \ simeq b}$ $a \ simeq b$ de sine $a-b$ ${\ displaystyle ab}$ $a-b$ este un număr infinitesimal sau 0 .

Non-continuitate a liniei hiperreale

Linia realelor este scufundată în linia hiperrealei. Pentru acesta din urmă, axioma lui Arhimede nu se menține, deci nu este sigur că, date două numere a și b , cu 0 <a <b, există un număr întreg N pentru care relația Na> b este valabilă. În consecință, elementul de separare între două raze nu există întotdeauna.

Demonstrație

De fapt, să presupunem că împărțim linia hiperrealelor în două jumătăți de linie: o parte r care conține toate hiperrealitățile negative, zero și toate hiperrealitățile infinitesimale. Cealaltă parte r ' conține toate hiperrealitățile pozitive neinfinitezimale. Prin absurditate, să presupunem că σ este elementul de separare: va fi mai mare decât zero și mai mare decât toate elementele lui r . Dacă σ ar aparține lui r , ar fi infinitesimal. Dar, prin definiția infinitesimalului, și 2σ și Nσ, cu N cât de mare se dorește, ar fi așa și ar aparține lui r . Cu toate acestea, Nσ> σ și, prin urmare, σ nu pot fi elementul de separare. Dacă presupunem în schimb că σ aparține lui r ' , atunci nu este infinitesimal și, prin urmare, nici σ / 2 sau σ / N, cu N atât de mare pe cât ne place. Dar simetric σ / N <σ, iar acest lucru nu este posibil. Deci nu există element de separare între r ' și r .

Construcția setului hiperreal

În acest fel este posibil să construim un set hiperreal mai mare decât cel real. Indicați setul de reali, echipat cu suma și operațiunile produsului și ordonate de obicei, după cum urmează:

{\mathfrak {R}}=(\mathbb {R} ,+,\cdot ,\leq )

{\ displaystyle {\ mathfrak {R}} = (\ mathbb {R}, +, \ cdot, \ leq)}

{\ mathfrak {R}} = ({\ mathbb {R}}, +, \ cdot, \ leq)

Prin urmare, setul de hiperrealități va fi indicat ca:

{\mathfrak {R}}^{*}=(\mathbb {R} ^{*},+^{*},\cdot ^{*},\leq ^{*})

{\ displaystyle {\ mathfrak {R}} ^ {*} = (\ mathbb {R} ^ {*}, + ^ {*}, \ cdot ^ {*}, \ leq ^ {*})}

{\ mathfrak {R}} ^ {{*}} = ({\ mathbb {R}} ^ {{*}}, + ^ {{*}}, \ cdot ^ {{*}}, \ leq ^ { {*}})

Să fie acum $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ mulțimea numerelor naturale e $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ setul de secvențe de numere reale, astfel încât fiecare dintre elementele sale să aibă forma:

r=\langle r_{1},r_{2},r_{3},...\rangle =\langle r_{i}\rangle

{\ displaystyle r = \ langle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}, ... \ rangle = \ langle r_ {i} \ rangle}

r = \ langle r_ {1}, r_ {2}, r_ {3}, ... \ rangle = \ langle r_ {i} \ rangle

cu

i\in \mathbb {N}

{\ displaystyle i \ in \ mathbb {N}}

i \ in {\ mathbb {N}}

Prin urmare, operațiile de adunare și multiplicare sunt definite prin:

r\oplus s=\langle r_{i}+s_{i}\rangle

{\ displaystyle r \ oplus s = \ langle r_ {i} + s_ {i} \ rangle}

r \ oplus s = \ langle r_ {i} + s_ {i} \ rangle

r\otimes s=\langle r_{i}\cdot s_{i}\rangle

{\ displaystyle r \ otimes s = \ langle r_ {i} \ cdot s_ {i} \ rangle}

r \ otimes s = \ langle r_ {i} \ cdot s_ {i} \ rangle

Acum, dacă r și s sunt două elemente ale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ , atunci va spune asta $r\equiv s$ ${\ displaystyle r \ equiv s}$ $r \ equiv s$ dacă și numai dacă $\{i\in \mathbb {N} :r_{i}=s_{i}\}\in {\mathfrak {U}}$ ${\ displaystyle \ {i \ in \ mathbb {N}: r_ {i} = s_ {i} \} \ in {\ mathfrak {U}}}$ $\ {i \ in {\ mathbb {N}}: r_ {i} = s_ {i} \} \ in {\ mathfrak {U}}$ , unde este ${\mathfrak {U}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {U}}}$ ${\ mathfrak {U}}$ este un ultrafiltru asupra naturilor.

Această relație $\equiv$ ${\ displaystyle \ equiv}$ $\ equiv$ va fi de echivalență pe $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . În acest moment este posibil să partiționăm acest set în clase de echivalență . Setul acestor clase este indicat cu $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{*}}$ iar clasa care conține o anumită secvență s , va fi indicată prin $[s]$ ${\ displaystyle [s]}$ ${\ displaystyle [s]}$ sau $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ . Elementele $\mathbb {R} ^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {{*}}$ se numesc numere hiperreale.

Operațiuni și relații

În acest moment este posibil să se definească operațiuni și relații pe hiperreal:

$r+s=[\langle r_{i}+s_{i}\rangle ]$ ${\ displaystyle r + s = [\ langle r_ {i} + s_ {i} \ rangle]}$ $r + s = [\ langle r_ {i} + s_ {i} \ rangle]$ acesta este $[r]+[s]=[r\oplus s]$ ${\ displaystyle [r] + [s] = [r \ oplus s]}$ $[r] + [s] = [r \ oplus s]$
$r\cdot s=[\langle r_{i}\cdot s_{i}\rangle ]$ ${\ displaystyle r \ cdot s = [\ langle r_ {i} \ cdot s_ {i} \ rangle]}$ $r \ cdot s = [\ langle r_ {i} \ cdot s_ {i} \ rangle]$ acesta este $[r]\cdot [s]=[r\otimes s]$ ${\ displaystyle [r] \ cdot [s] = [r \ otimes s]}$ $[r] \ cdot [s] = [r \ otimes s]$
$r<s$ ${\ displaystyle r <s}$ $r <s$ dacă și numai dacă $\{i\in \mathbb {N} :r_{i}<s_{i}\}\in {\mathfrak {U}}$ ${\ displaystyle \ {i \ in \ mathbb {N}: r_ {i} <s_ {i} \} \ in {\ mathfrak {U}}}$ $\ {i \ in {\ mathbb {N}}: r_ {i} <s_ {i} \} \ in {\ mathfrak {U}}$
$r\leq s$ ${\ displaystyle r \ leq s}$ $r \ leq s$ dacă și numai dacă $r<s$ ${\ displaystyle r <s}$ $r <s$ sau $r=s$ ${\ displaystyle r = s}$ $r = s$