Teorema bazei lui Hilbert

În matematică , teorema bazei lui Hilbert este rezultatul algebrei comutative , care este fundamentală în studiul inelelor noetheriene . Se afirmă că dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este Noetherian, apoi inelul polinomial $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ este încă noetherian; recursiv, acest lucru demonstrează că $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ${\ displaystyle A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle A [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ , precum și fiecare $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ - algebra generată finit, este un inel noetherian.

Teorema a fost dovedită pentru prima dată de David Hilbert în 1888 pentru orice eventualitate $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un câmp și apoi generalizat în forma sa actuală de Emmy Noether . O dovadă constructivă (spre deosebire de cea a lui Hilbert) a fost dată de Paul Gordan în 1900. ^[1]

Rezultatul este important și în geometria algebrică , deoarece demonstrează că orice set algebric poate fi definit de un număr finit de ecuații polinomiale .

Demonstrație

Presupunem că este absurd $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ nu este noetherian; atunci există un ideal $I\subseteq A[x]$ ${\ displaystyle I \ subseteq A [x]}$ ${\ displaystyle I \ subseteq A [x]}$ nu generat finit. Construim o succesiune $p_{0},p_{1},\ldots ,p_{n},\ldots$ ${\ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle p_ {0}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}, \ ldots}$ de polinoame după cum urmează:

$p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ este un element al $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ de grad minim (printre elementele $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ );
$p_{n}$ ${\ displaystyle p_ {n}}$ $p_n$ este un element al $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {n-1})}$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {n-1})}$ de grad minim dintre elementele de $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{n-1})$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {n-1})}$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {n-1})}$ .

Este $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ coeficientul principal al $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ , și așa să fie $d_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ $din}$ gradul de $p_{i}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ $p_ {i}$ .

Este $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ idealul de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ generat de $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ ; atâta timp cât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este noetherian, $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este generat finit. În special, $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este generat de $a_{0},\ldots ,a_{N-1}$ ${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {N-1}}$ ${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {N-1}}$ pentru un întreg anume $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

În special, poate fi scris $a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i},\ e_{i}\in A$ ${\ displaystyle a_ {N} = \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} a_ {i}, \ e_ {i} \ în A}$ ${\ displaystyle a_ {N} = \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} a_ {i}, \ e_ {i} \ în A}$ ; considerăm polinomul

q(x):=\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}x^{d_{N}-d_{i}}p_{i}(x)

{\ displaystyle q (x): = \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} x ^ {d_ {N} -d_ {i}} p_ {i} (x)}

{\ displaystyle q (x): = \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} x ^ {d_ {N} -d_ {i}} p_ {i} (x)}

.

Pentru definiție, $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ aparține lui $(p_{0},\ldots ,p_{N-1})$ ${\ displaystyle (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ ${\ displaystyle (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ ; În plus, $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ este un polinom de grad $d_{N}$ ${\ displaystyle d_ {N}}$ ${\ displaystyle d_ {N}}$ al cărui coeficient director este $\sum _{i=0}^{N-1}e_{i}a_{i}=a_{N}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} a_ {i} = a_ {N}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {N-1} e_ {i} a_ {i} = a_ {N}}$ . În special, polinomul

q(x)-p_{N}(x)

{\ displaystyle q (x) -p_ {N} (x)}

{\ displaystyle q (x) -p_ {N} (x)}

este un polinom de grad $d_{N}-1$ ${\ displaystyle d_ {N} -1}$ ${\ displaystyle d_ {N} -1}$ care aparține $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ (pentru că vă aparțin amândoi $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ acea $p_{N}(x)$ ${\ displaystyle p_ {N} (x)}$ $p_ {N} (x)$ ) dar nu a $(p_{0},\ldots ,p_{N-1})$ ${\ displaystyle (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ ${\ displaystyle (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ (pentru că îți aparține $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ dar nu $p_{N}(x)$ ${\ displaystyle p_ {N} (x)}$ $p_ {N} (x)$ ). Cu toate acestea, acest lucru contrastează cu alegerea $p_{N}$ ${\ displaystyle p_ {N}}$ ${\ displaystyle p_ {N}}$ ca polinom de grad minim în $I\setminus (p_{0},\ldots ,p_{N-1})$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ ${\ displaystyle I \ setminus (p_ {0}, \ ldots, p_ {N-1})}$ : în consecință, $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ trebuie să fie un ideal generat finit, e $A[x]$ ${\ displaystyle A [x]}$ $A [x]$ este un inel noetherian.

Notă

^ ( FR ) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires , în Journal de mathématiques pure et appliquées 5 ^e série , vol. 6, 1900, pp. 141-156.

Bibliografie

( EN ) Michael Atiyah și Ian G. Macdonald , Introducere în algebră comutativă , Westview Press, 1969, ISBN 0-201-40751-5 .
( EN ) David Eisenbud , Algebra comutativă cu o perspectivă spre geometria algebrică , Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] ( FR ) Paul Gordan, Les invariants des formes binaires , în Journal de mathématiques pure et appliquées 5 ^e série , vol. 6, 1900, pp. 141-156.

[1]