Triplet pitagoric

Un triplu pitagoric este un triplu al numerelor naturale $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ astfel încât $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ . Numele provine din teorema lui Pitagora , din care rezultă că fiecare triunghi dreptunghiular cu laturi întregi corespunde unui triplu pitagoric și invers.

De sine $(a,b,c)$ ${\ displaystyle (a, b, c)}$ $(a, b, c)$ este un triplu pitagoric, este și el $(da,db,dc)$ ${\ displaystyle (da, db, dc)}$ ${\ displaystyle (da, db, dc)}$ , unde este $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este orice număr natural. Numarul $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este deci un divizor comun al celor trei numere $d la$ ${\ displaystyle da}$ ${\ displaystyle da}$ , $d b$ ${\ displaystyle db}$ ${\ displaystyle db}$ , $d c$ ${\ displaystyle dc}$ ${\ displaystyle dc}$ . Un triplu pitagoric se spune că este primitiv dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ nu au divizori comuni. Triunghiurile descrise de triplele pitagoreice neprimitive sunt întotdeauna similare cu cele descrise de tripletul primitiv corespunzător.

Există o formulă capabilă să genereze toate triplurile pitagoreice primitive; astfel de formule sunt menționate de Euclid (Ευκλείδης) în Elementele sale (τα Στοιχεία):

a=m^{2}-n^{2}\,;\;\;b=2mn\,;\;\;c=m^{2}+n^{2}.

{\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2} \ ,; \; \; b = 2mn \ ,; \; \; c = m ^ {2} + n ^ {2}.}

{\ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2} \ ,; \; \; b = 2mn \ ,; \; \; c = m ^ {2} + n ^ {2}.}

Formulele lui Euclid generează un triplu pitagoric primitiv dacă și numai dacă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sunt coprimă și una dintre ele este pare, iar cealaltă ciudată (dacă da $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ acea $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ sunt ciudate $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt pare și, prin urmare, acel triplu pitagoric nu poate fi primitiv). Toate triplurile primitive pot fi obținute în acest fel dintr-o singură pereche de numere coprimă $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ $m> n$ , în timp ce restul (neprimitiv) poate fi obținut prin înmulțirea termenilor unei triade primitive cu un factor adecvat. Prin urmare, formulele astfel modificate sunt capabile să genereze toate triplurile posibile, chiar dacă într-un mod non-univoc:

a=k\cdot (m^{2}-n^{2})\,;\,b=k\cdot (2mn)\,;\,c=k\cdot (m^{2}+n^{2}).

{\ displaystyle a = k \ cdot (m ^ {2} -n ^ {2}) \ ,; \, b = k \ cdot (2mn) \ ,; \, c = k \ cdot (m ^ {2} + n ^ {2}).}

{\ displaystyle a = k \ cdot (m ^ {2} -n ^ {2}) \ ,; \, b = k \ cdot (2mn) \ ,; \, c = k \ cdot (m ^ {2} + n ^ {2}).}

O consecință imediată a acestor formule este că triplele pitagoreice sunt infinite, ca posibile alegeri ale $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

De asemenea, este ușor să demonstrezi că produsul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pentru $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (din cele două laturi) este întotdeauna divizibil cu $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ , în timp ce produsul $la b c$ ${\ displaystyle abc}$ $abc$ (din toate cele trei laturi ale triunghiului pitagoric) este întotdeauna divizibil cu $60$ ${\ displaystyle 60}$ $60$ ( $60=3\cdot 4\cdot 5$ ${\ displaystyle 60 = 3 \ cdot 4 \ cdot 5}$ ${\ displaystyle 60 = 3 \ cdot 4 \ cdot 5}$ ).

Pitagora se triplează cu $c<100$ ${\ displaystyle c <100}$ ${\ displaystyle c <100}$

Există doar 16 tripluri pitagorice primitive cu $c<100$ ${\ displaystyle c <100}$ ${\ displaystyle c <100}$ :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Alte exemple de tripluri pitagorice

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Un bun punct de plecare pentru explorarea triplelor pitagoreice ^{[de ce este un bun punct de plecare? pentru ce anume? ]} este de a rescrie ecuația originală astfel:

a^{2}=c^{2}-b^{2}=(c-b)(c+b)

{\ displaystyle a ^ {2} = c ^ {2} -b ^ {2} = (cb) (c + b)}

{\ displaystyle a ^ {2} = c ^ {2} -b ^ {2} = (c-b) (c + b)}

.

Interesant este că pot exista mai multe tripluri pitagorice primitive cu același număr întreg minor. Primul exemplu este cu 20, care este cel mai mic număr întreg din două tripluri primitive: 20, 21, 29 și 20, 99, 101.

În schimb, numărul 1 229 779 565 176 982 820 este numărul întreg minor în exact 15 386 de tripluri primitive; cele mai mici și mai mari dintre acestea sunt:

1 229 779 565 176 982 820
1 230 126 649 417 435 981
1 739 416 382 736 996 181

Și

1 229 779 565 176 982 820
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 099
378 089 444 731 722 233 953 867 379 643 788 101.

Pentru curioși, luați în considerare factorul:

1 229 779 565 176 982 820 = 2 ² × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 × 31 × 37 × 41 × 43 × 47.

Numărul factorilor primi este legat de numărul mare de tripluri pitagoreice primitive. Rețineți că există numere întregi mai mari care sunt cele mai mici numere întregi dintr-un număr și mai mare de tripluri primitive. ^{[ neclar ]}

Ultima teoremă a lui Fermat afirmă că nu există tripluri non-banale similare cu cele pitagorice, dar cu exponenți mai mari decât $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ (adică ecuația $a^{n}=b^{n}+c^{n}$ ${\ displaystyle a ^ {n} = b ^ {n} + c ^ {n}}$ ${\ displaystyle a ^ {n} = b ^ {n} + c ^ {n}}$ nu admite soluții dacă $n>2$ ${\ displaystyle n> 2}$ $n> 2$ ; în afară, așa cum am menționat, cazurile banale în care cel puțin unul dintre numere este egal cu zero).

O legătură între triplele pitagoreice și primii gemeni poate fi stabilită prin derivatul aritmetic . De fapt, o semiprimă ai cărei factori primi sunt primi gemeni poate fi exprimată ca $n=p(p+2)$ ${\ displaystyle n = p (p + 2)}$ $n = p (p + 2)$ , derivatul său aritmetic ca $n'=2(p+1)$ ${\ displaystyle n '= 2 (p + 1)}$ $n '= 2 (p + 1)$ Și ${\sqrt {n^{2}+n'^{2}}}=(p+1)^{2}+1=p(p+2)+2=n+2$ ${\ displaystyle {\ sqrt {n ^ {2} + n '^ {2}}} = (p + 1) ^ {2} + 1 = p (p + 2) + 2 = n + 2}$ ${\ sqrt {n ^ {2} + n '^ {2}}} = (p + 1) ^ {2} + 1 = p (p + 2) + 2 = n + 2$ . Aceste numere sunt prime între ele și constituie, prin urmare, un triplu pitagoric primitiv.

Fiecare număr natural mai mare de 2 aparține cel puțin unui triplu pitagoric și fiecare număr prim poate aparține cel mult 2 tripluri (în ultima situație o dată ca un cateter și o dată ca o hipotenuză a triunghiului dreptunghic la care se referă).

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre triplurile pitagoreice

linkuri externe

( EN ) Pythagorean triple / Pythagorean triple (altă versiune) / Pythagorean triple (altă versiune) , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) Sequence A210503 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Controlul autorității	Thesaurus BNCF 58952 · GND (DE) 4587982-5

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Triplet pitagoric

Pitagora se triplează cu c<100{\ displaystyle c <100}

Alte exemple de tripluri pitagorice

Alte proiecte

linkuri externe

Pitagora se triplează cu $c<100$ ${\ displaystyle c <100}$ ${\ displaystyle c <100}$