numărul Liouville

Un număr de Liouville este un număr real , care poate fi aproximat „foarte bine“ , cu o secvență de numere raționale .

Formal, un număr x este Liouville dacă pentru fiecare număr întreg pozitiv n există numere întregi p și q cu q> 1 astfel încât

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}

{\ Displaystyle 0 <\ left | x - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | <{\ frac {1} {q ^ {n}}}}

0 <\ left | x - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | <{\ frac {1} {q ^ {n}}}

.

O definiție echivalentă este aceea că , pentru fiecare n există infinit mai multe perechi (p, q) de numere întregi care verifică această proprietate.

Este ușor să arătăm că orice număr de Liouville este irațional . În 1844 Joseph Liouville a arătat că numerele care poartă acum numele său nu sunt numai irațional, ci și transcendentă .

Se arată că numerele Liouville intervalul [0,1] sunt nenumărat , dar au măsură 0. ^[1] Acest lucru implică faptul că nu toate numerele transcendente sunt de la Liouville, și că , într - adevăr , această clasă de numere este foarte mică în comparație cu a setul de numere transcendente. Exemple de numere transcendente, dar nu sunt Liouville și și greacă pi .

Constantă Liouville , care, deoarece nu este dificil de dovedit, este un exemplu al numărului de Liouville, este primul număr care a fost demonstrată transcendență.

Iraţionalitate

Să presupunem că x = a / b cu numere întregi a și b, iar n este astfel încât 2 ^{n -1>} b. Apoi, pentru orice pereche de numere întregi p, q astfel încât q> 1, p / q ≠ a / b,

\left|x-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {a}{b}}-{\frac {p}{q}}\right|=\left|{\frac {aq-bp}{bq}}\right|\geq {\frac {1}{bq}}\geq {\frac {1}{2^{n-1}q}}\geq {\frac {1}{q^{n}}}

{\ Displaystyle \

din

stânga | x - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | = \

din

stânga | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | = \ left | {\ frac {aq bp} {bq}} \ dreapta | \ geq {\ frac {1} {bq}} \ geq {\ frac {1} {2 ^ {n-1} q}} \ geq {\ frac {1} {q ^ {n}}}}

\ Din stânga | x - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | = \ din stânga | {\ frac {a} {b}} - {\ frac {p} {q}} \ dreapta | = \ din stânga | {\ frac {aq bp} {bq}} \ dreapta | \ geq {\ frac {1} {bq}} \ geq {\ frac {1} {2 ^ {{n-1}} q}} \ geq {\ frac {1} {q ^ {n}}}

în contradicție cu proprietatea utilizată pentru a defini numere Liouville.

Transcendenta

Fiecare număr al Liouville este transcendent, așa cum a fost demonstrat de Liouville în 1844 (Liouville), deși invers nu este întotdeauna adevărat. Dovada se bazează pe următoarea lema.

Lema. Pentru orice algebrică irațional $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ de gradul n (adică , care rezolvă o ecuație de gradul n cu coeficienți întregi, dar nu mai mic grad ecuații), există o constantă Un astfel încât pentru fiecare pereche de numere întregi p, q cu q> 0

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}

{\ Displaystyle \

din

stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> {\ frac {A} {q ^ {n}}}}

\ Din stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> {\ frac {A} {q ^ {n}}}

Dovada lema.

Fie P (x) polinomul minimal al α (adică monic și grad minim astfel încât $P(\alpha )=0$ ${\ Displaystyle P (\ alpha) = 0}$ $P (\ alpha) = 0$ ). Deoarece polinoamele sunt Lipschitz într - un interval limitat, există M> 0 astfel încât pentru fiecare pereche a, b este dotat

|P(a)-P(b)|<M|a-b|

{\ Displaystyle | P (a) -P (b) | <M | ab |}

| P (a) -P (b) | <M | a-b |

Deci, în special,

M\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>\left|P(\alpha )-P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|=\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|

{\ M displaystyle \

din

stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> \

la

stânga | P (\ alpha) -P \ left ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta | = \

din

stânga | p \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta |}

M \ din stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> \ la stânga | P (\ alpha) -P \ left ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta | = \ din stânga | p \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta |

\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{M}}\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|

{\ Displaystyle \

din

stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> {\ frac {1} {M}} \

din

stânga | P \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta |}

\ Din stânga | \ alpha - {\ frac {p} {q}} \ dreapta |> {\ frac {1} {M}} \ din stânga | P \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta |

Să observăm acum că $P(p/q)\neq 0$ ${\ P displaystyle (p / q) \ neq 0}$ $P (p / q) \ neq 0$ , Altfel nu ar fi un alt polinom cu coeficienți raționali de grad mai mic, care încă mai are $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ca rădăcină împotriva ipotezei. De aici rezultă și inegalitatea $\left|P\left({\frac {p}{q}}\right)\right|\geq {\frac {1}{q^{n}}}$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga | P \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta | \ geq {\ frac {1} {q ^ {n}}}}$ $\ Din stânga | P \ stânga ({\ frac {p} {q}} \ dreapta) \ dreapta | \ geq {\ frac {1} {q ^ {n}}}$ , Deoarece poate reduce toți termenii P (p / q), $a_{i}{\frac {p^{i}}{q^{i}}}$ ${\ Displaystyle a_ {i} {\ frac {p ^ {i}} {q ^ {i}}}}$ $a_ {i} {\ frac {p ^ {i}} {q ^ {i}}}$ la același numitor q ^n, iar acest lucru se dovedește Ierna.

Demonstrarea transcenderea numerelor Liouville. Acum, să presupunem că numărul Liouville $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ambele algebrică de gradul n, fie A constantă dată de Ierna și r astfel încât ${\frac {1}{2^{r}}}<A$ ${\ Displaystyle {\ frac {1} {2 ^ {r}}} <A}$ ${\ Frac {1} {2 ^ {r}}} <A$ . Dacă r = m + n, atunci, pentru definirea numărului de Liouville, aveți