Spirală arhimedică

Un exemplu zilnic de spirală a lui Arhimede este un cablu înfășurat pe sol, unde fiecare bobină are aceeași lățime

O spirală Arhimede sau Arhimede în spirală, numit după matematicianul Arhimede , este o curbă care poate fi descrisă în coordonate polare $(r,\theta )$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ din următoarea ecuație:

r(\theta )=a+b\theta ,

{\ displaystyle r (\ theta) = a + b \ theta,}

{\ displaystyle r (\ theta) = a + b \ theta,}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale e $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ strict pozitiv. Modificarea parametrului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ rotiți spirala, în timp ce $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ verificați distanța dintre brațe.

Spirala lui Arhimede se distinge de spirala logaritmică prin faptul că brațele succesive au o distanță fixă (egală cu $2\pi b$ ${\ displaystyle 2 \ pi b}$ ${\ displaystyle 2 \ pi b}$ de sine $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ se măsoară în radiani ), în timp ce într-o spirală logaritmică distanțele urmează o progresie geometrică .

Această spirală arhimedică are două brațe, una pentru $\theta >-a/b$ ${\ displaystyle \ theta> -a / b}$ ${\ displaystyle \ theta> -a / b}$ și unul pentru $\theta <-a/b$ ${\ displaystyle \ theta <-a / b}$ ${\ displaystyle \ theta <-a / b}$ . Cele două brațe au o conexiune lină la origine. Un braț este obținut de la celălalt prin construirea imaginii sale în oglindă în raport cu o axă adecvată.

Uneori, expresia "spirala lui Arhimede" este utilizată pentru un grup mai general de spirale:

r(\theta )=a+b\theta ^{1/x}.

{\ displaystyle r (\ theta) = a + b \ theta ^ {1 / x}.}

{\ displaystyle r (\ theta) = a + b \ theta ^ {1 / x}.}

Spirala arhimediană normală se obține prin $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ . Alte spirale care se încadrează în acest grup sunt spirala hiperbolică ( $x=-1$ ${\ displaystyle x = -1}$ $x = -1$ ), Spirala lui Fermat ( $x=2$ ${\ displaystyle x = 2}$ $x = 2$ ), și lituo ( $x=-2$ ${\ displaystyle x = -2}$ ${\ displaystyle x = -2}$ ). Aproape toate spiralele găsite în natură sunt spirale logaritmice și nu spirale ale lui Arhimede.

Ecuația parametrică

Reprezentarea parametrică a spiralei arhimediene, deoarece parametrul variază $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în ${\biggl [}-{\frac {a}{b}},+\infty {\biggr )}$ ${\ displaystyle {\ biggl [} - {\ frac {a} {b}}, + \ infty {\ biggr)}}$ ${\ displaystyle {\ biggl [} - {\ frac {a} {b}}, + \ infty {\ biggr)}}$ , este dat de

{\begin{cases}x(\theta )=(a+b\theta )\cos \theta \\y(\theta )=(a+b\theta )\sin \theta \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = (a + b \ theta) \ cos \ theta \\ y (\ theta) = (a + b \ theta) \ sin \ theta \ end {cases} }}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x (\ theta) = (a + b \ theta) \ cos \ theta \\ y (\ theta) = (a + b \ theta) \ sin \ theta \ end {cases} }}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale e $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ strict pozitiv.

Curiozitate

Problema rectificării circumferinței , care a costat atât de multe eforturi geometrilor antici, a fost rezolvată și de Arhimede , introducând o nouă curbă, în plus față de cele care ar putea fi generate cu ajutorul dreptei și busolei . Aceasta a fost tocmai spirala lui. El a reușit să producă un rezultat care, dacă vă gândiți la instrumentele matematice ale vremii, este incredibil.

Luați în considerare așa-numitul prim cerc al lui Arhimede ^[1] (a se vedea figura din lateral). Trageți linia s normală pe raza AH a primului cerc și trecând prin originea spiralei A. Luați în considerare, apoi, linia tangentă la spirala de la H care intersectează linia s într-un punct pe care îl numim F. Arhimede arată că segmentul FA este rectificarea circumferinței cercului cu raza AH ^[2] . Procedând astfel, Arhimede mută problema rectificării circumferinței la cea a trasării tangentei la spirală, ceea ce este imposibil cu utilizarea dreptei și a busolei.

Notă

^ Primul cerc înseamnă cercul generat de raza vectorială a spiralei după o rotație completă.
^ În lucrarea Despre spirale , citim,
PROPUNEREA 18 : Dacă o linie dreaptă este tangentă la o spirală, în prima rotație, în termenul [H] al spiralei în sine și dacă o linie dreaptă perpendiculară pe principiul drept de rotație este luată din punctul care este începutul spirala, [linia dreaptă] astfel conducta întâlnește tangenta și segmentul de linie dintre tangentă și principiul spiralei va fi egal cu circumferința primului cerc.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe o spirală arhimedeană

Controlul autorității	Tezaur BNCF 38486 · LCCN (EN) sh85006546 · BNF (FR) cb122113122 (data)

Portalul elenismului

Portalul de matematică

[1] Primul cerc înseamnă cercul generat de raza vectorială a spiralei după o rotație completă.

[2] În lucrarea Despre spirale , citim,
PROPUNEREA 18 : Dacă o linie dreaptă este tangentă la o spirală, în prima rotație, în termenul [H] al spiralei în sine și dacă o linie dreaptă perpendiculară pe principiul drept de rotație este luată din punctul care este începutul spirala, [linia dreaptă] astfel conducta întâlnește tangenta și segmentul de linie dintre tangentă și principiul spiralei va fi egal cu circumferința primului cerc.

[1]

[2]