Teselarea Penrose

O teselare Penrose (semințe 5x2)

În geometrie, o teselare Penrose este un model de figuri geometrice bazat pe secțiunea aurie , care permite obținerea unei teselări de suprafețe infinite într-un mod aperiodic . A fost descoperită de Roger Penrose și Robert Ammann în 1974 .

Descriere

Există mai multe seturi posibile de plăci Penrose. Una dintre cele mai utilizate este compusă din două blocuri, fiecare având patru laturi cu lungimea unității. Ambele sunt legate de secțiunea de aur .

O diblă are două unghiuri de 72 ° și două de 108 °.
Cealaltă diblă are două unghiuri de 36 ° și două de 144 °.

Cu alte cuvinte, unghiurile sunt multipli ai unei zecimi de cerc complet (360 °), în funcție de raporturile {2,2,3,3} și {1,1,4,4}.

Perechea de blocuri poate fi construită pornind de la un romb având unghiuri acute de 72 ° și unghiuri obtuze de 108 °, una dintre laturi este readusă la cea mai mare diagonală și în acest fel se obțin două segmente care sunt în raport auriu . Prin îmbinarea acestui punct de pe diagonală cu vârfurile unghiurilor obtuse, se obțin cele două piese dorite, numite „săgeți” și „ zmeu ”.

Teselare Penrose care nu respectă regula paralelogramului

Ancorele trebuie unite în conformitate cu o singură regulă: nici o pereche de ancore nu trebuie unite în așa fel încât să formeze un singur paralelogram . Plăcile pot fi modificate cu indentări și dinți pentru a forța aplicarea regulii, dar teselarea arată mai bine dacă plăcile au părți netede.

Având în vedere această regulă, există o cantitate nenumărată de moduri de a tessela un plan infinit fără a lăsa goluri sau găuri. Imaginile prezintă teselări care dezvăluie o simetrie de rotație cu cinci mișcări și cinci simetrii axiale față de cinci axe care trec prin centru. Cu toate acestea, nu există simetrie translațională: aceasta înseamnă că teselările sunt aperiodice, modelul nu se repetă niciodată în același mod. Cu toate acestea, având în vedere o regiune tipar, oricât de mare ar fi, se va repeta de un număr infinit de ori în teselare (și, de fapt, în fiecare teselare Penrose).

Faptul că este posibil să se acopere planul non-periodic printr-o teselare a fost demonstrat, ca o propunere generală, în 1966 de Robert Berger , care la scurt timp a furnizat primul set de plăci, format din 20426 de elemente distincte. Numărul de elemente ale unui set de plăci care permit o teselare aperiodică a vârfului a fost apoi redus de alții, ajungând la minimum două, plăcile Penrose. Singura modalitate de utilizare a unei singure piese pare să necesite suprapunerea unora dintre piesele sale.

Teselare Penrose cu sămânță de 10x1

Interesante teselări "Penrose" cu mai mult de două plăci pot fi generate cu ușurință folosind plăci cu un modul unghiular mai mic, de exemplu 360/14 ° pentru figuri cu simetrie heptagonală (3 plăci rombice conform rapoartelor {1,1,6,6} , {2,2,5,5} și {3,3,4,4}) sau 360/18 ° pentru figuri cu simetrie ennagonală (4 plăci rombice conform rapoartelor {1,1,8,8}, { 2,2,7,7}, {3,3,6,6} și {4,4,5,5}) și așa mai departe, cu o lege evidentă a generării inductive pe măsură ce modulul de simetrie crește.

Numărul de teselări diferite care pot fi obținute crește foarte mult: de fapt, fiecare mod de acoperire a vârfului poate fi generat pornind de la o „sămânță” formată din dopuri capabile să acopere 360 ° sau ale căror module de colț concurente în același punct au respectiv 10 (Penrose, de ex. 10x1, 2x5, 4 + 4 + 2, 3 + 3 + 3 + 1, ...) sau 14 (14x1, 7x2, 5 + 5 + 4, 6 + 6 + 2, 4x3 + 2, ...) sau 18 etc.

Teselările non-periodice au fost considerate inițial doar ca structuri matematice interesante, dar s-a descoperit mai târziu că dispunerea atomilor în unele materiale urmează același model ca o teselare Penrose. Acest model nu este periodic (nu se repetă exact) dar este cvasiperiodic , din acest motiv materialele cu această caracteristică au fost numite cvasicristale .

Cum să desenezi plăci Penrose

Plăcile Penrose pot fi desenate folosind următorul sistem L :

variabile: 1 6 7 8 9 []
constante: + -;
start: [7] ++ [7] ++ [7] ++ [7] ++ [7]
reguli: 6 → 81 ++ 91 ---- 71 [-81 ---- 61] ++
7 → + 81-91 [--- 61-71] +
8 → -61 ++ 71 [+++ 81 ++ 91] -
9 → --81 ++++ 61 [+91 ++++ 71] - 71
1 → (eliminat la fiecare iterație)
unghi: 36 °

În acest sistem 1 înseamnă "trage înainte", + înseamnă "rotiți la stânga cu un unghi" și - înseamnă "rotiți la dreapta cu un unghi" (a se vedea intrarea siglei ). Simbolul [ înseamnă că sistemul salvează poziția curentă pentru a putea reveni la el atunci când se întâlnește simbolul corespunzător ] . Simbolurile 6, 7, 8 și 9 nu corespund niciunei acțiuni; sunt prezente doar pentru a putea produce evoluția corectă a curbei.

Evoluția sistemului L pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ .

Galerie de imagini

Teselare heptagonală Penrose cu semințe de 14x1
Teselare Penrose enagonală cu sămânță de 18x1
Teselare Penrose enagonală cu semințe de 6x3
Teselare Enragonală Penrose cu sămânță de 9x2

Bibliografie

Roger Penrose (1989) Noua minte a împăratului . ISBN 88-17-86552-4
( EN ) Roger Penrose „Set de plăci pentru acoperirea unei suprafețe”, brevetul 4133152 acordat la 9 ianuarie 1979
(EN) Martin Gardner , „Penrose Tiles”, capitolul 7 al cărții Cartea colosală a matematicii ( ISBN 0-393-02023-1 )

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere din Teslația Penrose

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Penrose Tiles în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Stephen Collins, Bob - Penrose Tiling Generator and Explorer
Giorgio Pietrocola, - Animații pe teselări Penrose , Maecla 2007

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

variabile:	1 6 7 8 9 []
constante:	+ -;
start:	[7] ++ [7] ++ [7] ++ [7] ++ [7]
reguli:	6 → 81 ++ 91 ---- 71 [-81 ---- 61] ++
	7 → + 81-91 [--- 61-71] +
	8 → -61 ++ 71 [+++ 81 ++ 91] -
	9 → --81 ++++ 61 [+91 ++++ 71] - 71
	1 → (eliminat la fiecare iterație)
unghi:	36 °