Madhava din Sangamagrama

Madhava (മാധവന്) din Sangamagrama sau Sangamagrama ( Sangamagrama , 1350 - 1425 ), este considerat unul dintre cei mai mari matematicieni și astronomi din Evul Mediu , în special pentru că a fost primul care a folosit dezvoltările seriilor .

Biografie

Se știe puțin despre el. A locuit între anii 1340 și 1425 lângă Cochin, astăzi Kochi , un oraș din sudul Indiei . A fost fondatorul Școlii Matematice din Kerala și este considerat de diverși cercetători drept tatăl fondator al analizei matematice, deoarece a făcut pasul decisiv care a permis trecerea de la procedurile finite ale matematicienilor antici la cele infinite prin conceptul de trecerea la limită , nucleul analizei clasice moderne.

Madhava a adus contribuții importante la teorii de calcul , trigonometrie , geometrie și algebră. Majoritatea operelor matematice ale lui Madhava s-au pierdut de-a lungul timpului, deoarece au fost scrise în principal pe suport perisabil; doar câteva dintre textele sale de astronomie au supraviețuit. Detaliile lucrărilor sale au apărut în multe lucrări scrise de succesorii săi, în special de Nilakantha Somayaji și Jyesthadeva , doi cărturari ai școlii din Kerala. O lucrare importantă este, de exemplu, Karana Paddhati , despre care s-a scris între 1375 și 1475: se credea că ar avea opera originală Madhava, dar s-a descoperit că a fost scrisă de succesorii săi.

Nilkantha a atribuit seria sânilor lui Madhava și nu se știe dacă Madhava a descoperit altele sau dacă au fost descoperite ulterior de ceilalți cărturari ai școlii din Kerala. Principalele descoperiri atribuite Madhava sunt:

Seria Taylor pentru sinus și cosinus .
Seria infinită ca dezvoltare a funcțiilor.
Seria Power ; în special seria de putere care dă π ( redescoperită ulterior de Leibniz ).
Seria Maclaurin .
Seria trigonometrică .
Soluții de ecuații transcendente cu proceduri de iterație .
Aproximarea numerelor transcendente prin fracții continue .

Alte contribuții

Mai exact, Madhava a fost, de asemenea, responsabil pentru multe alte descoperiri semnificative și originale:

Întreaga serie.
Aproximări raționale ale seriei infinite.
Seria Taylor de funcții cosinus și sinus (întreaga serie Madhava-Newton).
Seria Taylor a funcției tangente .
Seria Taylor a funcției arctangente . ( Seria Madhava-Gregory ).
Seriile Taylor aproximări de ordinul II ale funcțiilor cosinusului și sinusului.
Aproximarea de ordinul trei a seriei Taylor a funcției sinusoidale.
Serie întreagă de π (de obicei atribuită lui Leibniz).
Serie întreagă de π / 4 (seria Euler).
Seria de raze întregi.
Seria întregului diametru .
Întreaga serie a circumferinței .
Unghi întreg θ serie (echivalent cu seria lui Gregory).
Fracții continue infinite .
Integrare .
Soluția ecuațiilor transcendentale prin iterație .
Aproximarea numerelor transcendente prin fracții continue .
Teste de convergență a seriei infinite.
El a calculat corect valoarea lui π cu 11 zecimale, cea mai exactă valoare a lui π după aproape o mie de ani.
Tabelele cosinusului și sinusului cu 9 zecimale de precizie, care au rămas cele mai exacte până în secolul al XVII-lea .

Seria sânilor

Lucrările de matematică au fost scrise de succesorii săi de exemplu. ^{[ neclar ]} Mahajyanayana prakara , care înseamnă metodă de calcul al dimensiunii sânilor și Yukti-Bhasa scrisă de Jyesthadeva în malayalam , limba regională a Kerala, în jurul anului 1550. Aceste lucrări sunt preluate în secolul al XIX-lea de unii scriitori precum Sarma care a scris „A History of the Kerala School of Hindu Astronomy (Hoshiarpur, 1972)” și Gupta care a făcut o traducere a textului lui Jyesthadeva în matematica sa „The Madhava-Gregory series”. Educația 7 (1973) ".

Madhava a descoperit seria echivalentă a lui Mac Laurin pentru dezvoltarea sinusului, cosinusului și arctangentului în jurul anului 1400, cu mai mult de 200 de ani înainte ca matematicienii să-l descopere în Europa. Jyesthadeva a descris seria Madhava după cum urmează: Primul termen este produsul sinusului dat și a razei dorite a arcului împărțită la cosinusul arcului. Termenii ulteriori sunt obținuți printr-un proces de iterație atunci când primul termen este înmulțit în mod repetat cu rădăcina pătrată a sinusului și împărțită la rădăcina pătrată a cosinusului.

Toți termenii sunt apoi împărțiți cu numerele impare 1,3,5. Arcul se obține prin adăugarea sau scăderea termenilor de grad impar de la cei de grad par, respectiv. Se stabilește că sânul arcului sau orice alt complement al acestuia este cel mai mic ar trebui luat ca sân dat. Cu toate acestea, termenii obținuți din iterația de mai sus nu vor tinde spre cantitatea care dispare.

Acesta este pasajul notabil care descrie seria Madahava, dar acest pasaj din Jyesthadeva a fost scris și cu mai mult de 100 de ani înainte ca James Gregory să redescopere această dezvoltare a seriei. Ceea ce a scris Madhava despre serie este echivalent, în notație modernă, cu următorul. Sensul sinusului de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ este scris în notația noastră ca r păcat $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ și cosinusul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ca r cos $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ , unde r este raza.

$r\theta ={\frac {r\ \sin \theta }{\cos \theta }}-(1/3)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{3}}{\left(\cos \theta \right)^{3}}}+(1/5)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{5}}{\left(\cos \theta \right)^{5}}}-(1/7)\,r\,{\frac {\left(\sin \theta \right)^{7}}{\left(\cos \theta \right)^{7}}}+...$ ${\ displaystyle r \ theta = {\ frac {r \ \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} - (1/3) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {3}} {\ left (\ cos \ theta \ right) ^ {3}}} + (1/5) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {5 }} {\ left (\ cos \ theta \ right) ^ {5}}} - (1/7) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {7}} { \ left (\ cos \ theta \ right) ^ {7}}} + ...}$ ${\ displaystyle r \ theta = {\ frac {r \ \ sin \ theta} {\ cos \ theta}} - (1/3) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {3}} {\ left (\ cos \ theta \ right) ^ {3}}} + (1/5) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {5 }} {\ left (\ cos \ theta \ right) ^ {5}}} - (1/7) \, r \, {\ frac {\ left (\ sin \ theta \ right) ^ {7}} { \ left (\ cos \ theta \ right) ^ {7}}} + ...}$

cu alte pasaje pe care le împarte prin rege apare $\tan \theta =\sin \theta /\cos \theta$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = \ sin \ theta / \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle \ tan \ theta = \ sin \ theta / \ cos \ theta}$

\theta =\tan \theta -(1/3)\tan ^{3}\theta +(1/5)\tan ^{5}\theta -\ldots

{\ displaystyle \ theta = \ tan \ theta - (1/3) \ tan ^ {3} \ theta + (1/5) \ tan ^ {5} \ theta - \ ldots}

{\ displaystyle \ theta = \ tan \ theta - (1/3) \ tan ^ {3} \ theta + (1/5) \ tan ^ {5} \ theta - \ ldots}

Această serie este obținută din dezvoltarea seriei de putere a funcției arctangente . Acest lucru este echivalent cu seria lui Gregory . Folosind o aproximare rațională a acestei serii a găsit valorile numărului π. Urmează o metodă pentru a obține rapid convergența seriei prin transformarea seriei infinite originale de $\pi .$ ${\ displaystyle \ pi.}$ ${\ displaystyle \ pi.}$

A pozat Madhava $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ = π / 4 în această serie obținând:.

π / 4 = 1 - 1/3 + 1/5 - ...

și apoi și inserții $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ = π / 6 pentru a obține:

$\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{1 \over 3\cdot 3}+{1 \over 5\cdot 3^{2}}-{1 \over 7\cdot 3^{3}}+\cdots \right)$ ${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right)}$ ${\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ left (1- {1 \ over 3 \ cdot 3} + {1 \ over 5 \ cdot 3 ^ {2}} - {1 \ over 7 \ cdot 3 ^ {3}} + \ cdots \ right)}$

Știm că Madhava a obținut o aproximare pentru π corectă până la a unsprezecea zecimală:

2 827 433 388 233/900 000 000 000 = 3,14159265359

O aproximare mai bună poate fi obținută din ultima serie a lui Madahava scrisă mai sus luând primii 21 de termeni.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Madhava di Sangamagrama , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Madhava of Sangamagrama on MacTutor , University of St Andrews, Scotland.

Controlul autorității	VIAF (EN) 264 627 658 · GND (DE) 1027039928 · CERL cnp02061667 · WorldCat Identities (EN) VIAF-264 627 658

Portalul de astronomie

Portal Biografii

Portalul de matematică