Formula lui Leibniz pentru pi

În matematică , formula Madhava-Leibniz pentru π este o serie convergentă , mai corect numită serie Madhava-Leibniz fiind un caz particular al unei serii mai generale pentru tangenta inversă, dintre care primul descoperitor a fost Madhava din Sangamagrama . Este, de asemenea, cunoscut sub numele de seria lui Gregory pentru π , numită după matematicianul scoțian James Gregory care a redescoperit-o cu câțiva ani înainte de însuși Leibniz.

Se afirmă că:

suma infinită cu semne alternante a tuturor reciprocelor numerelor naturale impare , începând de la plus unu, este egală cu un sfert de pi .

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots + {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

^[1]

Demonstrație

Luați în considerare seria geometrică

1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots ={\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.

{\ displaystyle 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - \ cdots = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}, \ qquad | x | <1.}

{\ displaystyle 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - \ cdots = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}, \ qquad | x | <1.}

Aceasta este limita succesiunii seriei trunchiate

G_{n}(x)=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-+\cdots -x^{4n-2}={\frac {1-x^{4n}}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.

{\ displaystyle G_ {n} (x) = 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - + \ cdots -x ^ {4n-2} = { \ frac {1-x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}}, \ qquad | x | <1.}

{\ displaystyle G_ {n} (x) = 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - + \ cdots -x ^ {4n-2} = { \ frac {1-x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}}, \ qquad | x | <1.}

Prin împărțirea integrandei

{\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1-x^{4n}}{1+x^{2}}}+{\frac {x^{4n}}{1+x^{2}}}=G_{n}(x)+{\frac {x^{4n}}{1+x^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = {\ frac {1-x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} + {\ frac {x ^ { 4n}} {1 + x ^ {2}}} = G_ {n} (x) + {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} = {\ frac {1-x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} + {\ frac {x ^ { 4n}} {1 + x ^ {2}}} = G_ {n} (x) + {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}}}

și integrând ambii membri între 0 și 1, avem asta

\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{0}^{1}G_{n}(x)\,dx+\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\ .

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} G_ {n} (x) \, dx + \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} \, dx \.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} G_ {n} (x) \, dx + \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} \, dx \.}

Calcularea primei integrale (cea cu seria trunchiată $G_{n}(x)\,$ ${\ displaystyle G_ {n} (x) \,}$ ${\ displaystyle G_ {n} (x) \,}$ ) termen la termen se obține, trecând la limită , suma solicitată. A doua contribuție pe termen este anulată pentru $n\rightarrow \infty$ ${\ displaystyle n \ rightarrow \ infty}$ $n \ rightarrow \ infty$ atâta timp cât

\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}x^{4n}\,dx={\frac {1}{4n+1}}\ .

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} \, dx <\ int _ {0} ^ {1} x ^ { 4n} \, dx = {\ frac {1} {4n + 1}} \.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {4n}} {1 + x ^ {2}}} \, dx <\ int _ {0} ^ {1} x ^ { 4n} \, dx = {\ frac {1} {4n + 1}} \.}

Integrala completă

\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}} \, dx}

primul membru are arctan (1) - arctan (0) = π / 4 și, prin urmare

{\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots .

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots.}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots.}

QED

O dovadă alternativă a formulei lui Leibniz poate fi obținută prin teorema lui Abel aplicată seriei de putere (convergentă pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ ${\ displaystyle | x | <1}$ )

\arctan x=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{x^{2n+1} \over {2n+1}}

{\ displaystyle \ arctan x = \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n} {x ^ {2n + 1} \ over {2n + 1}}}

{\ displaystyle \ arctan x = \ sum _ {n \ geq 0} (- 1) ^ {n} {x ^ {2n + 1} \ over {2n + 1}}}

care se obține prin integrarea seriei geometrice ( absolut convergente pentru $|x|<1$ ${\ displaystyle | x | <1}$ $| x | <1$ )

1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+x^{8}-\cdots ={\frac {1}{1+x^{2}}}

{\ displaystyle 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - \ cdots = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

{\ displaystyle 1-x ^ {2} + x ^ {4} -x ^ {6} + x ^ {8} - \ cdots = {\ frac {1} {1 + x ^ {2}}}}

termen la termen.

Serie obținută

Unii termeni pot fi evidențiați astfel:

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots =\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}\right)+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11}} + \ cdots = \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11 }} \ right) + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11}} + \ cdots = \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11 }} \ right) + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

Și efectuarea:

\left({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}\right)+\cdots ={\frac {2}{1\cdot 3}}+{\frac {2}{5\cdot 7}}+{\frac {2}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1 } {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11}} \ right) + \ cdots = {\ frac {2} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {2} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {2} {9 \ cdot 11}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1 } {7}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {11}} \ right) + \ cdots = {\ frac {2} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {2} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {2} {9 \ cdot 11}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

Prin împărțirea ambelor părți la două:

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) (2n + 3)}} = {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(2n + 1) (2n + 3)}} = {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}.}

rețineți că am folosit doar valori egale ale lui n . Exemplul n = 0,2,4 ... n + 2.

Eficiența în calculul π

Formula lui Leibniz este ineficientă pentru un calcul mecanic al pi, datorită numărului mare de pași care trebuie efectuați pentru a obține o precizie ridicată. Calculul a 10 cifre semnificative folosind formula lui Leibniz necesită mai mult de 10 000 000 000 de operații matematice și mai mult timp decât este necesar pentru a calcula milioane de cifre semnificative cu formule mai eficiente.

Cu toate acestea, dacă seria este trunchiată la momentul potrivit, expansiunea zecimală va fi de acord cu cea a π pentru mai multe cifre, cu excepția cifrelor simple sau a grupurilor; de exemplu, se obține luarea a 5 000 000 de termeni

3.141592 4 5358979323846 4 643383279502 7 841971693993 873 058 ...

unde cifrele subliniate sunt incorecte. Erorile pot fi prezise: sunt generate de numerele lui Euler E _n conform formei asimptotice

{\frac {\pi }{2}}-2\sum _{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum _{m=0}^{\infty }{\frac {E_{2m}}{N^{2m+1}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ sum _ {k = 1} ^ {N / 2} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {2k-1} } \ sim \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2m}} {N ^ {2m + 1}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ sum _ {k = 1} ^ {N / 2} {\ frac {(-1) ^ {k-1}} {2k-1} } \ sim \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2m}} {N ^ {2m + 1}}}}

unde N este un număr întreg divizibil cu 4. Dacă N este o putere de zece, fiecare termen al sumei din dreapta este o fracție zecimală. Formula este un caz special al formulei de sumă a lui Bool pentru serii alternative. În 1992, Jonathan Borwein și Mark Limber au folosit primele mii de numere ale lui Euler pentru a calcula π până la cifra 5 236 cu formula lui Leibniz. ^[2]

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Gregory Series , în MathWorld , Wolfram Research.
^ (EN) Borwein Jonathan, David Bailey și Roland Girgensohn, Secvențe, Serii, Produse și Integrale în Experimentare în Matematică - Căi Computaționale către Descoperire, Natick, Massachusetts, AK Peters, 2004, pp. 28 -30, ISBN 978-1-56881-136-9 .

Bibliografie

( EN ) Jonathan Borwein, David Bailey și Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics - Computational Paths to Discovery , Natick, Massachusetts, AK Peters, 2004, ISBN 978-1-56881-136-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Gregory Series în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[wolfram-1] (EN) Eric W. Weisstein, Gregory Series , în MathWorld , Wolfram Research.

[2] (EN) Borwein Jonathan, David Bailey și Roland Girgensohn, Secvențe, Serii, Produse și Integrale în Experimentare în Matematică - Căi Computaționale către Descoperire, Natick, Massachusetts, AK Peters, 2004, pp. 28 -30, ISBN 978-1-56881-136-9 .

[1]

[2]