rădăcină pătrată din 2

rădăcină pătrată din 2
Simbol	${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$
Valoare	1, 414213562373095048801 ... (secvența A002193 a OEIS )
Fracție continuă	[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...] (secvența A040000 a OEIS)
Împreună	numere algebrice irațional
Constantele corelate	Deliana constantă
Rădăcina pătrată a doua este egal cu ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu o latură lungă

În matematică , rădăcina pătrată a doua (√2) - de asemenea , cunoscut sub numele de constanta pitagoreică - este numărul real obținut ca rezultat al extragerii rădăcinii pătrate din numărul natural 2 , sau, echivalent, numărul care înmulțit cu ea însăși 2.

Este un număr irațional , care joacă un rol foarte important în istoria matematicii , deoarece acesta este asociat cu descoperirea incomensurabilității , a demonstrat, în contextul matematicii grecești , cu un elegant dovada pentru absurd .

In geometrici termeni este egală cu lungimea ipotenuzei unui isoscel drept triunghi ale cărui picioare sunt de lungime egală cu unul , sau, într - un mod echivalent, cu raportul dintre diagonala și latura unui pătrat.

Valoarea sa la zecimala cincizecea este:

1, 35623 73095 04880 41421 16887 24209 69807 85696 71875 37694 ...

Ca o soluție a ecuației pătratice $x^{2}-2=0$ ${\ displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} -2 = 0}$ , Acest număr este rădăcina unui polinom cu coeficienți în domeniul de numere raționale și este, prin urmare, un număr de algebrică .

Istorie

Babilonienii a dat prima aproximarea ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , prin

1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}\approx 1.41421{\overline {296}}...

{\ Displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} \ approx 1.41421 {\ overline {296}} ...}

{\ Displaystyle 1 + {\ frac {24} {60}} + {\ frac {51} {60 ^ {2}}} + {\ frac {10} {60 ^ {3}}} \ approx 1.41421 {\ overline {296}} ...}

O altă aproximare a acestui număr este cea dată de un vechi indian matematic text, cel Sulbasutras , care menționează:

„Creșterea lungimii [a laturii] a treia parte sale, apoi se adaugă partea a douăsprezecea, în cele din urmă scade 1/34 din partea a douăsprezecea“

Adică

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{12\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686

{\ Displaystyle 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {12}} - {\ frac {1} {12 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408} } \ cca 1.414215686}

{\ Displaystyle 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {12}} - {\ frac {1} {12 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408} } \ cca 1.414215686}

Această aproximare vechi indian este al șaptelea din seria de aproximări din ce în ce precise , bazate pe numere Pell , care poate fi derivată din fracția continuă a ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ .

Demonstrarea irationalitatea rădăcina 2 este adesea atribuită grec Ippasos , filosof și matematician al școlii pitagoreice .

algoritmi de calcul

Primele 10 000 de locuri zecimale ale numărului.

Există un număr mare de algoritmi pentru a calcula cifrele de ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , Cu toate acestea cele mai multe utilizat de computere este încă vechea metoda de calcul babilonian rădăcini: alege orice valoare inițială $F_{0}$ ${\ F_ displaystyle {0}}$ ${\ F_ displaystyle {0}}$ ; apoi, folosindu-l ca prima valoare, itera următoarea funcție recursiv:

F_{n+1}={\frac {F_{n}+{\frac {2}{F_{n}}}}{2}}

{\ F_ displaystyle {n + 1} = {\ frac {F_ {n} + {\ frac {2} {F_ {n}}}} {2}}}

{\ F_ displaystyle {n + 1} = {\ frac {F_ {n} + {\ frac {2} {F_ {n}}}} {2}}}

,

Cu cât numărul de iterații, cu atât mai bine acuratețea rezultatului. În februarie 2006, folosind această metodă, 200,000,000,000 cifrele au fost calculate în 13 zile și 14 ore. Dintre iraționale neperiodice constante matematice , numai π a fost calculată cu o mai mare precizie.

Dovada iraționalitate

Dovada de absurditate

Este absurd să presupunem că ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ este rațional, adică, este posibil să se exprime sub forma unei fracții $m \over n$ ${\ displaystyle m \ over n}$ ${\ displaystyle m \ over n}$ , Care se presupune a fi ireductibil :

{m \over n}={\sqrt {2}}

{\ Displaystyle {m \ peste n} = {\ sqrt {2}}}

{\ Displaystyle {m \ peste n} = {\ sqrt {2}}}

de la care

{m^{2} \over n^{2}}=2

{\ Displaystyle {m ^ {2} \ peste n ^ {2}} = 2}

{\ Displaystyle {m ^ {2} \ peste n ^ {2}} = 2}

adică

m^{2}=2n^{2}

{\ Displaystyle m ^ {2} = 2n ^ {2}}

{\ Displaystyle m ^ {2} = 2n ^ {2}}

Termenul $2n^{2}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2}}$ ${\ displaystyle 2n ^ {2}}$ este chiar și, prin urmare, de asemenea, $m^{2}$ ${\ displaystyle m ^ {2}}$ ${\ displaystyle m ^ {2}}$ este chiar și în consecință $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în sine trebuie să fie chiar și (pătratul unui număr impar este întotdeauna impar), astfel încât există un oportun $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât $m=2k$ ${\ Displaystyle m = 2k}$ ${\ Displaystyle m = 2k}$ . Substituind, obținem:

(2k)^{2}=2n^{2}

{\ Displaystyle (2k) ^ {2} = 2n ^ {2}}

{\ Displaystyle (2k) ^ {2} = 2n ^ {2}}

care, în curs de dezvoltare pătrat, simplificarea $4k^{2}=2n^{2}$ ${\ Displaystyle 4k ^ {2} = 2n ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 4k ^ {2} = 2n ^ {2}}$ și împărțind la $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ devine

2k^{2}=n^{2}

{\ Displaystyle 2k ^ {2} = n ^ {2}}

{\ Displaystyle 2k ^ {2} = n ^ {2}}

Cu un raționament identic, fiind acum $2k^{2}$ ${\ Displaystyle 2k ^ {2}}$ ${\ Displaystyle 2k ^ {2}}$ chiar se deduce că, de asemenea, $n^{2}$ ${\ displaystyle n ^ {2}}$ $n ^ {2}$ , și apoi $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ele însele, sunt la rândul lor egale.

Este $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ acea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Prin urmare, acestea se dovedesc a fi chiar, ceea ce contrazice ipoteza inițială conform căreia ${m \over n}$ ${\ Displaystyle {m \ peste n}}$ ${\ Displaystyle {m \ peste n}}$ este ireductibil: se concluzionează că ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ ea nu poate fi exprimat sub forma unei fracții, adică, este irațional.

Dovada cu teorema fundamentală a aritmeticii

O dovadă alternativă se bazează pe teorema fundamentală a aritmeticii . În primul rând, se presupune că ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ să fie rațional. De aici rezultă că (a se vedea dovada anterioară)

a^{2}=2b^{2}

{\ Displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}

{\ Displaystyle a ^ {2} = 2b ^ {2}}

Dar, din teorema fundamentală a aritmeticii, a și b au o factorizare diferită, astfel încât $a=2^{x}m$ ${\ Displaystyle a = 2 ^ {x} m}$ ${\ Displaystyle a = 2 ^ {x} m}$ Și $b=2^{y}n$ ${\ Displaystyle b = 2 ^ {y} n}$ ${\ Displaystyle b = 2 ^ {y} n}$ cu x și y întregi pozitivi și m și n întregi impare pozitive. De aici obținem că

a^{2}=2^{2x}m^{2}

{\ Displaystyle a ^ {2} = 2 ^ {2x} m ^ {2}}

{\ Displaystyle a ^ {2} = 2 ^ {2x} m ^ {2}}

Și

b^{2}=2^{2y}n^{2}

{\ Displaystyle b ^ {2} = 2 ^ {2y} n ^ {2}}

{\ Displaystyle b ^ {2} = 2 ^ {2y} n ^ {2}}

Substituind în prima formulă:

2^{2x}\cdot m^{2}=2\cdot 2^{2y}n^{2}\,

{\ Displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 \ cdot 2 ^ {2y} n ^ {2} \,}

{\ Displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 \ cdot 2 ^ {2y} n ^ {2} \,}

din care, funcționând pe dreapta:

2^{2x}\cdot m^{2}=2^{2y+1}\cdot n^{2}

{\ Displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 ^ {2y + 1} \ cdot n ^ {2}}

{\ Displaystyle 2 ^ {2x} \ cdot m ^ {2} = 2 ^ {2y + 1} \ cdot n ^ {2}}

Aceasta implică faptul că o factorizare de 2 cu putere chiar și (2x este, cu siguranță, chiar) este egală cu o factorizare de 2 cu putere impar (2y + 1). Acest lucru contrazice teorema fundamentală a aritmeticii, și, prin urmare, în mod absurd, se dovedește că ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ este irațional.

dovada analitică

Lema 1: lăsați-l să fie $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ în \ mathbb {R} ^ {+}}$ Și $p_{1},p_{2},\dots ,q_{1},q_{2},\dots \in \mathbb {N}$ ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ dots, qjndex {1}, qjndex {2}, \ dots \ în \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ dots, qjndex {1}, qjndex {2}, \ dots \ în \ mathbb {N}}$ astfel încât $\left|\alpha q_{n}-p_{n}\right|\neq 0$ ${\ Displaystyle \$ din $stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta | \ neq 0}$ ${\ Displaystyle \ din stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta | \ neq 0}$ pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ Și

$\lim _{n\rightarrow \infty }p_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}=\infty$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} qjndex {n} = \ infty}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} qjndex {n} = \ infty}$

$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\alpha q_{n}-p_{n}\right|=0$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \$ din $stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta | = 0}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ din stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta | = 0}$

asa de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este irațional.

Dovada: Să presupunem $\alpha =a/\ \!b$ ${\ Displaystyle \ alpha = a / \! \ B}$ ${\ Displaystyle \ alpha = a / \! \ B}$ cu $a,b\in \mathbb {N} ^{+}$ ${\ Displaystyle a, b \ în \ mathbb {N} ^ {+}}$ ${\ Displaystyle a, b \ în \ mathbb {N} ^ {+}}$ .

Pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ suficient de mare, vom avea

$0<\left|\alpha q_{n}-p_{n}\right|<1/\ \!b$ ${\ Displaystyle 0 <\$ din $stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ b}$ ${\ Displaystyle 0 <\ din stânga | \ alpha qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ b}$

asa de

$0<\left|aq_{n}/\ \!b-p_{n}\right|<1/\ \!b$ ${\ Displaystyle 0 <\ left |! Aq_ {n} / \ \ b-P_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ b}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left |! Aq_ {n} / \ \ b-P_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ b}$

$0<\left|aq_{n}-bp_{n}\right|<1$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | aq_ {n} -bp_ {n} \ dreapta | <1}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | aq_ {n} -bp_ {n} \ dreapta | <1}$

dar fiind $aq_{n}-bp_{n}$ ${\ Displaystyle aq_ {n} -bp_ {n}}$ ${\ Displaystyle aq_ {n} -bp_ {n}}$ un întreg acest lucru este absurd, prin urmare, $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este irațional.

${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ este irațional.

Să zicem: Dovada $p_{1}=q_{1}=1$ ${\ Displaystyle P_ {1} = {1} qjndex = 1}$ ${\ Displaystyle P_ {1} = {1} qjndex = 1}$ Și

$p_{n+1}=p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}$ ${\ Displaystyle P_ {n + 1} = P_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {n + 1} = P_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}}$

$q_{n+1}=2p_{n}q_{n}$ ${\ Displaystyle qjndex {n + 1} = 2p_ {n} qjndex {n}}$ ${\ Displaystyle qjndex {n + 1} = 2p_ {n} qjndex {n}}$

pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ .

Vom demonstra prin inducție că deține

$0<\left|{\sqrt {2}}q_{n}-p_{n}\right|<1/\ \!2^{2^{n-1}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n-1}}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n-1}}}$

pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ . Teza are pentru $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , intr-adevar

$0<\left|{\sqrt {2}}q_{1}-p_{1}\right|<1/\ \!2$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {1} -p_ {1} \ dreapta |! <1 / \ \ 2}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {1} -p_ {1} \ dreapta |! <1 / \ \ 2}$

și în cazul în care este valabil pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ apoi merge pentru $n=n+1$ ${\ Displaystyle n = n + 1}$ ${\ Displaystyle n = n + 1}$ atâta timp cât

$0<\left|{\sqrt {2}}q_{n}-p_{n}\right|^{2}<1/\ \!2^{2^{n}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! ^ {2} <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n} -p_ {n} \ dreapta |! ^ {2} <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$

$0<\left|{\sqrt {2}}(2p_{n}q_{n})-(p_{n}^{2}+2q_{n}^{2})\right|<1/\ \!2^{2^{n}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} (2p_ {n} qjndex {n}) - (P_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}) \ dreapta | <1 / \! \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} (2p_ {n} qjndex {n}) - (P_ {n} ^ {2} + 2q_ {n} ^ {2}) \ dreapta | <1 / \! \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$

$0<\left|{\sqrt {2}}q_{n+1}-p_{n+1}\right|<1/\ \!2^{2^{n}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n + 1} -p_ {n + 1} \ dreapta |! <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ left | {\ sqrt {2}} qjndex {n + 1} -p_ {n + 1} \ dreapta |! <1 / \ \ 2 ^ {2 ^ {n}}}$

În cele din urmă, aplicând Lema 1 urmează irationalitatea ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ .

Dovada cu numerele 2-adice

Să considerăm ecuația $x^{2}=2$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = 2}$ ${\ Displaystyle x ^ {2} = 2}$ pe $\mathbb {Q} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ (domeniul numerelor 2-adice ), nu are nici o soluție , deoarece evaluarea-p - adice al primului element este chiar în timp ce al doilea element este impar. Pe de altă parte $\mathbb {Q} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ este o extensie a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , Așa că, dacă ecuația nu are soluții în $\mathbb {Q} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {2}}$ ea nici măcar nu are soluții în $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Și $\pm {\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {2}}}$ $\ pm {\ sqrt {2}}$ este irațional.

Proprietate

Jumatate de ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ , Egală cu aproximativ 0.70710 67811, este un număr comun în geometrie și trigonometrie , deoarece coordonatele unității vectorului care formează un unghi de 45 ° cu axele ortogonale plan cartezian sunt

\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ stânga ({\ frac {\ sqrt {2}} {2}}, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ dreapta)}

Acest număr este de asemenea comun, deoarece

\cos(45^{\circ })=\sin(45^{\circ })={\frac {\sqrt {2}}{2}}

{\ Displaystyle \ cos (45 ^ {\} Circ) = \ sin (45 ^ {\} Circ) = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}

{\ Displaystyle \ cos (45 ^ {\} Circ) = \ sin (45 ^ {\} Circ) = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}

O altă proprietate este faptul că:

{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}-1

{\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1}

.

În plus

{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}\cdots }}}}=2

{\ Displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}} \ cdots}}}} = 2}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}} \ cdots}}}} = 2}

${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ea poate fi în cele din urmă exprimate folosind unitatea imaginară folosind numai rădăcini:

{\sqrt {2}}={\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}={\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {{\ sqrt {i}} + i {\ sqrt {i}}} {i}} = {\ frac {{\ sqrt {}} -i - i {\ sqrt {}}} -i {- i}}}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = {\ frac {{\ sqrt {i}} + i {\ sqrt {i}}} {i}} = {\ frac {{\ sqrt {}} -i - i {\ sqrt {}}} -i {- i}}}

Declarațiile serii și produse

Identitatea

\sin {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=\cos {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\,

{\ Displaystyle \ păcat {\ stânga ({\ frac {\ pi} {4}} \ dreapta)} = \ cos {\ stânga ({\ frac {\ pi} {4}} \ dreapta)} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \,}

{\ Displaystyle \ păcat {\ stânga ({\ frac {\ pi} {4}} \ dreapta)} = \ cos {\ stânga ({\ frac {\ pi} {4}} \ dreapta)} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \,}

împreună cu reprezentările prin intermediul produselor infinite ale funcțiilor sinus și cosinus, ne permit să formule derive , cum ar fi

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ stânga (1 - {\ frac {1} {(4k + 2) ^ { 2}}} \ dreapta) = \ stânga (1 - {\ frac {1} {4}} \ dreapta) \ stânga (1 - {\ frac {1} {36}} \ dreapta) \ stânga (1- { \ frac {1} {100}} \ dreapta) \ cdots}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ stânga (1 - {\ frac {1} {(4k + 2) ^ { 2}}} \ dreapta) = \ stânga (1 - {\ frac {1} {4}} \ dreapta) \ stânga (1 - {\ frac {1} {36}} \ dreapta) \ stânga (1- { \ frac {1} {100}} \ dreapta) \ cdots}

sau

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k + 2) ^ {2}} {(4k + 1) (4k + 3)} } = \ stânga ({\ frac {2 \ cdot 2} {1 \ cdot 3}} \ dreapta) \ stânga ({\ frac {6 \ cdot 6} {5 \ cdot 7}} \ dreapta) \ stânga ({ \ frac {10 \ cdot 10} {9 \ cdot 11}} cdots \ dreapta) \ stânga ({\ frac {14 \ cdot 14} {13 \ cdot 15}} \ dreapta) \}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(4k + 2) ^ {2}} {(4k + 1) (4k + 3)} } = \ stânga ({\ frac {2 \ cdot 2} {1 \ cdot 3}} \ dreapta) \ stânga ({\ frac {6 \ cdot 6} {5 \ cdot 7}} \ dreapta) \ stânga ({ \ frac {10 \ cdot 10} {9 \ cdot 11}} cdots \ dreapta) \ stânga ({\ frac {14 \ cdot 14} {13 \ cdot 15}} \ dreapta) \}

sau

{\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ stânga (1 + {\ frac {1} {4k + 1}} \ dreapta) \ stânga (1- { \ frac {1} {4k + 3}} \ dreapta) = \ stânga (1 + {\ frac {1} {1}} \ dreapta) \ stânga (1 - {\ frac {1} {3}} \ dreapta ) \

la

stânga (1 + {\ frac {1} {5}} \ dreapta) \

la

stânga (1 -. {\ frac {1} {7}} \ dreapta) \ cdots}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = \ prod _ {k = 0} ^ {\ infty} \ stânga (1 + {\ frac {1} {4k + 1}} \ dreapta) \ stânga (1- { \ frac {1} {4k + 3}} \ dreapta) = \ stânga (1 + {\ frac {1} {1}} \ dreapta) \ stânga (1 - {\ frac {1} {3}} \ dreapta ) \ la stânga (1 + {\ frac {1} {5}} \ dreapta) \ la stânga (1 -. {\ frac {1} {7}} \ dreapta) \ cdots}

Numărul poate fi , de asemenea , exprimat prin seria Taylor a funcțiilor trigonometrice . De exemplu, seria de cos (π / 4) dă

{\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {({\frac {\pi }{4}})^{2}}{2!}}+{\frac {({\frac {\pi }{4}})^{4}}{4!}}-{\frac {({\frac {\pi }{4}})^{6}}{6!}}+\cdots .

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} \ stânga ({\ frac { ! \ pi} {4}} \ dreapta) ^ {2k}} {(2k)}} = 1 - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {2}} {2! }} + {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {4}} {4}} - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ { 6}} {6!}} + \ Cdots.}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} \ stânga ({\ frac { ! \ pi} {4}} \ dreapta) ^ {2k}} {(2k)}} = 1 - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {2}} {2! }} + {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ {4}} {4}} - {\ frac {({\ frac {\ pi} {4}}) ^ { 6}} {6!}} + \ Cdots.}

Reprezentarea prin fracție continuă

De la proprietate scris:

{\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}-1

{\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {{\ sqrt {2}} + 1}} = {\ sqrt {2}} - 1}

,

recursiv înlocuind pentru fiecare ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ $\ sqrt2$ (la numitor), generează simplu fracțiunea a continuat :

{\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}=...=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}}}}}

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}} = ... = 1+ { \ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}}}}}} }

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}} = ... = 1+ { \ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {1 + {\ sqrt {2}}}}}}}}}} }

Reprezentarea ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ prin fracțiune continuă este în sfârșit

\!\ {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.

{\ Displaystyle \! \ {\ Sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} { \ ddots}}}}}}}}}.

{\ Displaystyle \! \ {\ Sqrt {2}} = 1 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} { \ ddots}}}}}}}}}.

Standardul ISO 216 (dimensiunea hârtiei)

${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}$ este de aproximativ raportul dintre cea mai scurtă și cea mai lungă latură a unei foi de hârtie într - unul din formatele prevăzute în ISO 216 standard, cunoscut mai bine ca formatele UNI. Acest raport asigură tăierea unei foi în jumătate de-a lungul liniei care unește cele două punctele de centru ale mai lungi părți rezultatele în două foi mai mici, care mențin același raport între părți.

Mai mult decât atât, în cazul în care foaia de pornire este într-unul din formatele prevăzute de standard, cele două foi obținute prin tăierea în jumătate sunt, de asemenea, în format standard. Codul format din două foi mai mici, se obține prin adăugarea la 1 la cifra a codului foii de pornire mare. De exemplu, dacă se taie o foaie A4 (210 × 297 mm, dimensiunea hârtiei de scris obișnuită) în jumătate, obțineți două foi de format A5 (148 x 210 mm, dimensiunea unui fluturaș).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere de pe rădăcina pătrată a 2

linkuri externe

Primele milioane de locuri zecimale ale numărului
Root dovada de 2 , pe computer-facile.com.

Controlul autorității	BNF (FR) cb15504722x (data)

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică