322

Tableta Plimpton 322

Din sutele de mii de tăblițe de lut babiloniene descoperite de la începutul secolului al XIX-lea, câteva mii au un subiect matematic. Unul dintre cele mai faimoase exemple de matematică babiloniană este tableta numită Plimpton 322, care poartă numele colecției GA Plimpton de la Universitatea Columbia . Se crede că tableta a fost scrisă în jurul anului 1800 î.Hr. , conține numere în scriere cuneiformă aranjate într-un tabel de patru coloane pe 15 rânduri. Tabelul este o listă a triplelor pitagoreice ale căror numere sunt soluțiile teoremei pitagoreice , $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$ $a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}$ , de exemplu, (3,4,5).

Pentru articole populare despre acest subiect, a se vedea Robson (2002) sau Conway și Guy (1996). Robson (2001) este o discuție mai tehnică și mai detaliată a interpretării numerelor tabletelor cu o bibliografie extinsă.

Proveniență și întâlnire

Plimpton 322 este o tabletă de lut parțial ciobită de aproximativ 13cm lățime, 9cm înălțime și 2cm grosime. Editorul din New York, George A. Plimpton, a cumpărat tableta de la un anticariat, Edgar J. Banks, în jurul anului 1922 și a lăsat-o moștenire, împreună cu întreaga sa colecție, la Universitatea Columbia la mijlocul anilor 1930. Potrivit Banks, tableta provine de la Senkereh, un site din sudul Irakului corespunzător orașului antic Larsa . ^[1]

Se crede că tableta a fost scrisă în jurul anului 1800 î.Hr. , bazată parțial pe stilul scrisului cuneiform : Robson (2002) scrie că scrisul de mână „este tipic documentelor din sudul Irakului de acum 4000-3500 de ani”. Mai precis, pe baza asemănărilor cu alte tablete din Larsa care conțin în mod explicit date în text, Plimpton 322 poate fi datat în perioada 1822-1784 î.Hr. ^[2]

Numerele

Conținutul principal al Plimpton 322 este un tabel de numere, cu patru coloane și cincisprezece rânduri, în notație sexagesimală babiloniană . A patra coloană este pur și simplu o listă de numere de la 1 la 15. Cea de-a doua și a treia coloană sunt complet vizibile în tableta rămasă. Unghiul care cuprinde prima coloană este așchiat și, conform unei integrări probabile (Neugebauer MCT), fiecare rând a început cu numărul 1, ceea ce face ca numerele să fie șaizeci. Aici numerele 1 sunt plasate între paranteze.

I coloană	Coloana II	Coloana III	Coloana IV
(1 :) 59:00:15	1:59	2:49	1
(1 :) 56: 56: 58: 14: 50: 06: 15	56:07	1:20:25	2
(1 :) 55: 07: 41: 15: 33: 45	1:16:41	1:50:49	3
(1 :) 53: 10: 29: 32: 52: 16	3:31:49	5:09:01	4
(1 :) 48: 54: 01: 40	1:05	1:37	5
(1 :) 47: 06: 41: 40	5:19	8:01	6
(1 :) 43: 11: 56: 28: 26: 40	38:11	59:01	7
(1 :) 41: 33: 45: 14: 03: 45	13:19	20:49	8
(1 :) 38: 33: 36: 36	8:01	12:49	9
(1 :) 35: 10: 02: 28: 27: 24: 26	1:22:41	2:16:01	10
(1 :) 33:45	45	1:15	11
(1 :) 29: 21: 54: 02: 15	27:59	48:49	12
(1 :) 27: 00: 03: 45	2:41	4:49	13
(1 :) 25: 48: 51: 35: 06: 40	29:31	53:49	14
(1 :) 23: 13: 46: 40	56	1:46	15

Este posibil ca alte coloane să fie prezente în partea ruptă a tabletei din stânga acestor coloane. Mai mult, în sistemul sexagesimal, deoarece zero nu există sau, fiind rar înlocuit cu un spațiu, nu este întotdeauna ușor să distingem unitățile de fracțiuni. De parcă am scrie 123 și 12.3 în același mod.

Interpretare

Numerele din a doua coloană reprezintă lungimea catetului c ₁ mai scurtă decât un triunghi unghiular , în timp ce numerele din a treia coloană reprezintă lungimea „ ipotenuzei i. Lungimile c ₂ ale celei mai lungi laturi ale triunghiului pot fi reconstituite și erau aproape sigur într-o coloană acum distrusă. Cele trei numere ajung astfel să reprezinte un triplu pitagoric. Numerele din prima coloană pot fi considerate raportul $i^{2}/c_{2}^{2}$ ${\ displaystyle i ^ {2} / c_ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle i ^ {2} / c_ {2} ^ {2}}$ (adică pătratul secantei ). Dar, în cazul în care prima coloană nu include 1, ele pot fi considerate și drept pătratul tangentei $c_{1}^{2}/c_{2}^{2}$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {2} / c_ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {1} ^ {2} / c_ {2} ^ {2}}$ (pentru binecunoscuta relație goniometrică $tg^{2}(\alpha )=sec^{2}(\alpha )-1$ ${\ displaystyle tg ^ {2} (\ alpha) = sec ^ {2} (\ alpha) -1}$ ${\ displaystyle tg ^ {2} (\ alpha) = sec ^ {2} (\ alpha) -1}$ , unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este unghiul dintre catetul c ₂ și hipotenuză)

Opiniile savanților diferă în legătură cu modul în care au fost generate aceste numere și de ce babilonienii erau interesați de tabelele de acest tip.

Neugebauer (1951) consideră că tabelul este o listă a triplelor pitagoreice.
Joyce (1995) favorizează o interpretare trigonometrică , pentru care tabelul ar fi un tabel trigonometric de pătrate de cosinus sau tangente .
Robson (2001, 2002), bazat pe lucrări anterioare ale lui Bruins (1949, 1955) și alții, descrie tabelul în termeni geometrici concreti și susține că babilonienii l-au interpretat și în termeni geometrici. Robson își bazează interpretările pe o altă tabletă, YBC 6967, care provine aproximativ din același timp și loc. ^[3] Această tabletă descrie o metodă de rezolvare a unei probleme pe care în zilele noastre o numim o ecuație de gradul doi în formă $x-{\tfrac {1}{x}}=c$ ${\ displaystyle x - {\ tfrac {1} {x}} = c}$ ${\ displaystyle x - {\ tfrac {1} {x}} = c}$ , pentru pași (descriși în termeni geometrici) în care rezolvatorul calculează o succesiune de valori intermediare v ₁ = c / 2, v ₂ = v ₁ ² , v ₃ = 1 + v ₂ și v ₄ = v ₃ ^1/2 , din care putem calcula x = v ₄ + v ₁ și 1 / x = v ₄ - v ₁ . Robson susține că coloanele Plimpton 322 pot fi interpretate ca următoarele valori, pentru valorile regulate ale numerelor x și 1 / x în ordine: v ₃ în prima coloană, v ₁ = ( x - 1 / x ) / 2 în a doua coloană și v ₄ = ( x + 1 / x ) / 2 în a treia coloană. Conform acestei interpretări, x și 1 / x ar fi apărut în tabletă în porțiunea ruptă din stânga primei coloane. De exemplu, linia 11 din Plimpton 322 poate fi generată în acest mod pentru x = 2. Apoi tableta poate fi interpretată ca o succesiune de exerciții efectuate de tipul rezolvat cu metoda tabletei YBC6967. Robson speculează că ar fi putut fi folosit de un profesor ca un set de probleme care să fie atribuite elevilor.

Notă

^ Robson (2002), p. 109.
^ Robson (2002), p. 111.
^ Neugebauer, O; Sachs, AJ,Mathematical Cuneiform Texts , American Oriental Series, vol. 29, New Haven, American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, 1945, text Ua.

Bibliografie

( EN ) Bruins, Evert M., On Plimpton 322, Pythagorean numbers in Babylonian Mathematics , în Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings , vol. 52, 1949, pp. 629-632.

( EN ) Bruins, Evert M., triade pitagoreice în matematică babiloniană: erorile de pe Plimpton 322 , în Sumer , vol. 11, 1951, pp. 117-121.

(EN) Conway, John H .; Guy, Richard K. , Cartea numerelor , Copernic, 1996, pp. 172–176 , ISBN 0-387-97993-X .

(EN) Joyce, David E., Plimpton 322 , 1995.

( EN ) Neugebauer, O., Sachs, A.,Mathematical Cuneiform Texts , New Haven, American Oriental Society, 1945, p. 177.

( EN ) Neugebauer, O., The Exact Sciences in Antiquity , ediția a II-a, Copenhaga, Munksgaard, 1951, ISBN Disponibil ca reeditare Dover, ISBN 978-0-486-22332-2 .