Funcția gamma

Funcția gamma pe numerele reale

În matematică , funcția Gamma , cunoscută și sub numele de funcția gamma a lui Euler, este o funcție meromorfă , continuă pe numere reale pozitive, care extinde conceptul de numere factoriale la numere complexe , în sensul că pentru orice număr întreg non-negativ $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ avem:

\Gamma (n+1)=n!

{\ displaystyle \ Gamma (n + 1) = n!}

\ Gamma (n + 1) = n!

,

unde este $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ denotă factorialul de $n,$ ${\ displaystyle n,}$ $n,$ adică produsul întregilor din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ : $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ ${\ displaystyle n! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots n}$ ${\ displaystyle n! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdots n}$ .

Definiție

Valoarea absolută a funcției gamma în planul complex

Notatia $\Gamma (z)$ ${\ displaystyle \ Gamma (z)}$ $\ Gamma (z)$ se datorează lui Legendre . Dacă partea reală a numărului complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este pozitiv, apoi integralul

\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {z-1} \, e ^ {- t} \, dt}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} t ^ {z-1} \, e ^ {- t} \, dt}

converge absolut . Cu toate acestea, prin utilizarea continuării analitice , definiția $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ la toate numerele complexe $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ , chiar și cu o parte reală pozitivă, cu excepția numărului întreg mai mic sau egal cu zero. Folosind integrarea parțială, de fapt, se poate arăta că:

\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\,,

{\ displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) \ ,,}

\ Gamma (z + 1) = z \ Gamma (z) \ ,,

pentru care avem:

\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}}}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}}}

.

În acest fel, definiția $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ poate fi extins de către demiplan $\mathrm {Re} (z)>0$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)> 0}$ $\ mathrm {Re} (z)> 0$ la asta $\mathrm {Re} (z)>-1$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)> - 1}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Re} (z)> - 1}$ (cu excepția stâlpului din $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ ), și ulterior întregului plan complex (cu poli în $z=0,-1,-2,\dots$ ${\ displaystyle z = 0, -1, -2, \ dots}$ ${\ displaystyle z = 0, -1, -2, \ dots}$ ).

De cand $\Gamma (1)=1$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ $\ Gamma (1) = 1$ , relația de mai sus implică, pentru toate numerele naturale $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , acea:

\Gamma (n+1)=n!\,.

{\ displaystyle \ Gamma (n + 1) = n! \,.}

\ Gamma (n + 1) = n! \,.

În statistici , integrala este întâlnită frecvent (de exemplu în variabila normală aleatoare ):

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx={\sqrt {2\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} dx = {\ sqrt {2 \ pi}}}

\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} dx = \ sqrt {2 \ pi}

care se obține prin plasare ${\textstyle {\frac {x^{2}}{2}}=t}$ ${\ textstyle {\ frac {x ^ {2}} {2}} = t}$ ${\ textstyle {\ frac {x ^ {2}} {2}} = t}$ , și apoi $x={\sqrt {2t}}$ ${\ displaystyle x = {\ sqrt {2t}}}$ $x = \ sqrt {2t}$ , obtinand astfel ${\textstyle dx={\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {t}}}}dt}$ ${\ textstyle dx = {\ frac {\ sqrt {2}} {2 {\ sqrt {t}}}} dt}$ ${\ textstyle dx = {\ frac {\ sqrt {2}} {2 {\ sqrt {t}}}} dt}$

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2}}{2}}t^{-{\frac {1}{2}}}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2}}\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)\\&={\sqrt {2\pi }}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} dx & = 2 \ int _ { 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} dx \\ & = 2 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} t ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- t} dt \\ & = {\ sqrt {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = {\ sqrt {2 \ pi}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} dx & = 2 \ int _ { 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {\ frac {x ^ {2}} {2}}} dx \\ & = 2 \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} t ^ {- {\ frac {1} {2}}} e ^ {- t} dt \\ & = {\ sqrt {2}} \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) \\ & = {\ sqrt {2 \ pi}} \ end {align}}}

Expresii alternative

Următoarele expresii alternative pentru funcția Gamma sunt valabile pe întregul plan complex (cu excepția polilor):

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n! n ^ {z}} {z (z + 1) \ cdots (z + n)}}}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {n! n ^ {z}} {z (z + 1) \ cdots (z + n)}}}

datorită lui Gauss ,

\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}

{\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z}} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) ^ {- 1} e ^ {z / n}}

\ Gamma (z) = \ frac {e ^ {- \ gamma z}} {z} \ prod_ {n = 1} ^ \ infty \ left (1 + \ frac {z} {n} \ right) ^ {- 1} și ^ {z / n}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni , datorită lui Schlömilch și se poate obține prin aplicareateoremei de factorizare Weierstrass la funcție ${\frac {1}{\Gamma (z)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}}}$

{\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} { n}} \ right) și ^ {- {\ frac {z} {n}}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} { n}} \ right) și ^ {- {\ frac {z} {n}}}}

O altă expresie alternativă este următoarea:

\Gamma (z)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {1}{z+n}}+\int _{1}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.

{\ displaystyle \ Gamma (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} {\ frac {1} {z + n}} + \ int _ {1} ^ {+ \ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} dt.}

\ Gamma (z) = \ sum_ {n = 0} ^ {+ \ infty} \ frac {(- 1) ^ n} {n!} \ Frac {1} {z + n} + \ int_1 ^ {+ \ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} dt.

În această formulă, polii ordinii sunt expliciți $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și rezidual ${\frac {(-1)^{n}}{n!}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}}}$ $\ frac {(- 1) ^ n} {n!}$ pe care funcția Gamma o are $z=-n$ ${\ displaystyle z = -n}$ $z = -n$ , pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ număr întreg negativ.

Singularitatea din origine poate fi dedusă și din relația de recurență. Intr-adevar

\lim _{z\to 0}\Gamma (z)=\lim _{z\to 0}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\lim _{z\to 0}{\frac {1}{z}},

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to 0} \ Gamma (z) = \ lim _ {z \ to 0} {\ frac {\ Gamma (z + 1)} {z}} = \ lim _ {z \ la 0} {\ frac {1} {z}},}

\ lim_ {z \ to 0} \ Gamma (z) = \ lim_ {z \ to 0} \ frac {\ Gamma (z + 1)} {z} = \ lim_ {z \ to 0} \ frac {1} {z},

unde s-a folosit raportul $\Gamma (1)=1$ ${\ displaystyle \ Gamma (1) = 1}$ $\ Gamma (1) = 1$ .

Proprietate

Alte proprietăți importante ale funcției Gamma sunt formula de reflecție Euler:

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi  \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,

{\ displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}, \ qquad z \ not \ in \ mathbb {Z},}

{\ displaystyle \ Gamma (1-z) \ Gamma (z) = {\ pi \ over \ sin (\ pi z)}, \ qquad z \ not \ in \ mathbb {Z},}

și duplicare:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2z)

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} {\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma (2z )}}

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {1-2z} {\ sqrt {\ pi}} \, \ Gamma (2z )}}

care la rândul său este un caz special al formulei de înmulțire:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {m}} \ right) \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {m}} \ right) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {m-1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} m ^ {1/2-mz} \ Gamma ( mz)}

{\ displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z + {\ frac {1} {m}} \ right) \ Gamma \ left (z + {\ frac {2} {m}} \ right) \ cdots \ Gamma \ left (z + {\ frac {m-1} {m}} \ right) = (2 \ pi) ^ {(m-1) / 2} m ^ {1/2-mz} \ Gamma ( mz)}

care pentru $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ devine:

\Gamma \left({\frac {1}{m}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m}}\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2}}{\sqrt {m}}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {m}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {2} {m}} \ right) \ cdots \ Gamma \ left ({\ frac { m-1} {m}} \ right) = {\ frac {(2 \ pi) ^ {(m-1) / 2}} {\ sqrt {m}}}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {m}} \ right) \ Gamma \ left ({\ frac {2} {m}} \ right) \ cdots \ Gamma \ left ({\ frac { m-1} {m}} \ right) = {\ frac {(2 \ pi) ^ {(m-1) / 2}} {\ sqrt {m}}}}

Această din urmă identitate poate fi obținută și din formula de reflecție și identitatea trigonometrică $\prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m}}={\frac {m}{2^{m-1}}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} = {\ frac {m} {2 ^ {m-1}}}}$ ${\ displaystyle \ prod _ {k = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} = {\ frac {m} {2 ^ {m-1}}}}$ .

Derivații funcției Gamma:

\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

{\ displaystyle \ Gamma ^ {(n)} (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} [\ ln {(t)}] ^ {n} \, t ^ {z-1} \ , e ^ {- t} \, dt}

{\ displaystyle \ Gamma ^ {(n)} (z) = \ int _ {0} ^ {+ \ infty} [\ ln {(t)}] ^ {n} \, t ^ {z-1} \ , e ^ {- t} \, dt}

poate fi exprimat ca o funcție a aceleiași funcții Gamma și a altor funcții, de exemplu:

\Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z),

{\ displaystyle \ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z),}

\ Gamma '(z) = \ Gamma (z) \ psi_0 (z),

unde este $\psi _{0}$ ${\ displaystyle \ psi _ {0}}$ $\ psi_0$ este funcția poligamică de ordin zero. În special,

\Gamma '(1)=-\gamma ,

{\ displaystyle \ Gamma '(1) = - \ gamma,}

\ Gamma '(1) = - \ gamma,

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este constanta Euler-Mascheroni .

Mai mult, avem:

{\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z}}-{\frac {1}{n}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln {\ Gamma {(z)}} = {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {0} (z) = - \ gamma - {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + z }} - {\ frac {1} {n}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} \ ln {\ Gamma {(z)}} = {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {0} (z) = - \ gamma - {\ frac {1} {z}} - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {1} {n + z }} - {\ frac {1} {n}} \ right)}

că pentru $z=m$ ${\ displaystyle z = m}$ ${\ displaystyle z = m}$ întregul pozitiv se reduce la o sumă finită

\psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}=-\gamma +H_{m-1}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (m) = {\ frac {\ Gamma '{(m)}} {\ Gamma {(m)}}} = - \ gamma +1 + {\ frac {1} { 2}} + \ dots + {\ frac {1} {m-1}} = - \ gamma + H_ {m-1}}

{\ displaystyle \ psi _ {0} (m) = {\ frac {\ Gamma '{(m)}} {\ Gamma {(m)}}} = - \ gamma +1 + {\ frac {1} { 2}} + \ dots + {\ frac {1} {m-1}} = - \ gamma + H_ {m-1}}

unde este $H_{m-1}$ ${\ displaystyle H_ {m-1}}$ ${\ displaystyle H_ {m-1}}$ este (m-1) -al număr armonic .

Derivarea de membru la membru cu privire la $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ inca ai

{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {1} (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + z) ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} = \ psi _ {1} (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + z) ^ {2}}}}

că pentru $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ ${\ displaystyle z = 0}$ divergă, în timp ce pentru $z=1$ ${\ displaystyle z = 1}$ ${\ displaystyle z = 1}$ devine seria armonică generalizată de ordinul 2

\left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle \ left [{\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} \ right] _ {z = 1} = \ psi _ {1} (1) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 1) ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

{\ displaystyle \ left [{\ frac {d} {dz}} {\ frac {\ Gamma '{(z)}} {\ Gamma {(z)}}} \ right] _ {z = 1} = \ psi _ {1} (1) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {(n + 1) ^ {2}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {2}}} = \ zeta (2) = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

Lukacs a studiat alte proprietăți în O caracterizare a distribuției gamei în 1955 Annals of Mathematical Statistics .

De asemenea, ne amintim că, pornind de la funcția Gamma, funcția de ordine poligamă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este definit după cum urmează:

\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\left({\frac {d}{dz}}\right)^{m}\psi _{0}(z)

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z): = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m + 1} \ ln {\ Gamma (z)} = \ left ({ \ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ dreapta) ^ {m} \ psi _ {0} (z)}

{\ displaystyle \ psi _ {m} (z): = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m + 1} \ ln {\ Gamma (z)} = \ left ({ \ frac {d} {dz}} \ right) ^ {m} {\ frac {\ Gamma '(z)} {\ Gamma (z)}} = \ left ({\ frac {d} {dz}} \ dreapta) ^ {m} \ psi _ {0} (z)}

.

Valori remarcabile

Probabil, cea mai cunoscută valoare pe care funcția Gamma o ia asupra numerelor care nu sunt întregi este:

\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}},}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = {\ sqrt {\ pi}},}

care poate fi găsit prin plasare $z={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle z = {\ frac {1} {2}}}$ $z = \ frac {1} {2}$ în formula de reflecție.

În plus față de aceasta și de valoarea menționată mai sus asumată pentru numerele naturale, sunt interesante și următoarele proprietăți, care afectează multiplii impari ai ${\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ $\ frac {1} {2}$

\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}}{\sqrt {\pi }}={{\frac {n}{2}}-1 \choose {\frac {n-1}{2}}}\left({\frac {n-1}{2}}\right)!{\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {(n-2) !!} {2 ^ {(n-1) / 2}}} {\ sqrt {\ pi}} = {{\ frac {n} {2}} - 1 \ alege {\ frac {n-1} {2}}} \ left ({\ frac {n-1} {2}} \ right)! {\ sqrt {\ pi}}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {(n-2) !!} {2 ^ {(n-1) / 2}}} {\ sqrt {\ pi}} = {{\ frac {n} {2}} - 1 \ alege {\ frac {n-1} {2}}} \ left ({\ frac {n-1} {2}} \ right)! {\ sqrt {\ pi}}}

\Gamma \left(-{\frac {n}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{{\Biggl (}{\begin{matrix}-1/2\\{\frac {n+1}{2}}\end{matrix}}{\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2}}\right)!}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left (- {\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {{\ Biggl (} {\ begin {matrix} -1/2 \\ {\ frac {n + 1} {2}} \ end {matrix}} {\ Biggr)} \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)!}}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left (- {\ frac {n} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {{\ Biggl (} {\ begin {matrix} -1/2 \\ {\ frac {n + 1} {2}} \ end {matrix}} {\ Biggr)} \ left ({\ frac {n + 1} {2}} \ right)!}}}

unde este $n!!$ ${\ displaystyle n !!}$ $n !!$ denotă semifactorialul și paranteză rotundă pe două niveluri coeficientul binomial .

Teorema unicității

Același subiect în detaliu: teorema lui Bohr-Mollerup .

Teorema Bohr-Mollerup afirmă că, dintre toate funcțiile care extind funcția factorială, numai funcția Gamma este de așa natură încât logaritmul său este o funcție convexă .

Bibliografie

Donato Greco , Complimente de analiză , capitolul 12, Napoli, Liguori Editore, 1978, pp. 227-248, ISBN 88-207-0325-4 .
Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Mathematical Analysis Due , capitolul 8, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 978-88-207-2675-1 .
(EN) Milton Abramowitz și Irene Stegun, Manual de funcții matematice , capitolul 6, New York, 1964.
( DE ) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der gammafunktion , Leipzig, 1906.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre funcția Gamma

linkuri externe

Capitol dedicat funcției Gamma în Biblioteca digitală a funcțiilor matematice

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00562231

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică