Teorema lui Hölder

În analiza matematică , teorema lui Hölder afirmă că funcția Gamma nu satisface nicio ecuație diferențială algebrică ai cărei coeficienți sunt funcții raționale . Acest rezultat a fost demonstrat pentru prima dată de Otto Hölder în 1887; s-au găsit mai târziu multe alte dovezi alternative. ^[1]

Teorema se generalizează și la funcțiile q-gamma.

Afirmație

Pentru fiecare $n\in \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ , nu există polinom diferit de zero $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ astfel încât

\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\!\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0,

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad P \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad P \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) = 0,}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este funcția Gamma . $\quad \blacksquare$ ${\ displaystyle \ quad \ blacksquare}$ ${\ displaystyle \ quad \ blacksquare}$

De exemplu, definiți-vă $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},Y_{2}]$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, Y_ {2}]}$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, Y_ {2}]}$ ca $P~{\stackrel {\text{df}}{=}}~X^{2}Y_{2}+XY_{1}+(X^{2}-\nu ^{2})Y_{0}$ ${\ displaystyle P ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ X ^ {2} Y_ {2} + XY_ {1} + (X ^ {2} - \ nu ^ {2}) Y_ {0}}$ ${\ displaystyle P ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ X ^ {2} Y_ {2} + XY_ {1} + (X ^ {2} - \ nu ^ {2}) Y_ {0}}$ . Apoi ecuația

P(z;f(z),f'(z),f''(z))=z^{2}f''(z)+zf'(z)+(z^{2}-\nu ^{2})f(z)\equiv 0

{\ displaystyle P (z; f (z), f '(z), f' '(z)) = z ^ {2} f' '(z) + zf' (z) + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) f (z) \ equiv 0}

{\ displaystyle P (z; f (z), f '(z), f' '(z)) = z ^ {2} f' '(z) + zf' (z) + (z ^ {2} - \ nu ^ {2}) f (z) \ equiv 0}

se numește ecuație diferențială algebrică , care, în acest caz, are soluții $f=J_{\nu }$ ${\ displaystyle f = J _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle f = J _ {\ nu}}$ Și $f=Y_{\nu }$ ${\ displaystyle f = Y _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle f = Y _ {\ nu}}$ - funcțiile Bessel de primul și respectiv al doilea tip. Prin urmare, se spune că $J_{\nu }$ ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$ și $Y_{\nu }$ ${\ displaystyle Y _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle Y _ {\ nu}}$ sunt diferențial algebric (de asemenea transcendent algebric ). Majoritatea funcțiilor speciale ale fizicii matematice sunt diferențial algebrice. Toate combinațiile de funcții transcendente algebric sunt transcendente algebric. Teorema lui Hölder afirmă pur și simplu că funcția gamma, $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , nu este algebric diferențial și, prin urmare, este hipertrascendent . ^[2]

Demonstrație

Este $n\in \mathbb {N} _{0}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N} _ {0}}$ , și presupunem că un polinom diferit de zero $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ ${\ displaystyle P \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ există astfel încât

\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\!\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0.

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad P \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) = 0.}

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad P \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) = 0.}

Deoarece un polinom diferit de zero $\mathbb {C} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} [X]}$ nu poate da naștere polinomului nul pe niciun domeniu deschis ne-gol al $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ (prin teorema fundamentală a algebrei ), se poate presupune fără pierderea generalității că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ conține un monomiu având o putere diferită de zero a uneia dintre necunoscute $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$ ${\ displaystyle Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}}$ .

Să presupunem, de asemenea, că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ au cel mai mic grad total în ceea ce privește ordinea lexicografică $Y_{0}<Y_{1}<\ldots <Y_{n}<X$ ${\ displaystyle Y_ {0} <Y_ {1} <\ ldots <Y_ {n} <X}$ ${\ displaystyle Y_ {0} <Y_ {1} <\ ldots <Y_ {n} <X}$ . De exemplu,

\deg \!\left(-3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}\right)<\deg \!\left(2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}\right)

{\ displaystyle \ deg \! \ left (-3X ^ {10} Y_ {0} ^ {2} Y_ {1} ^ {4} + iX ^ {2} Y_ {2} \ right) <\ deg \! \ left (2XY_ {0} ^ {3} -Y_ {1} ^ {4} \ right)}

{\ displaystyle \ deg \! \ left (-3X ^ {10} Y_ {0} ^ {2} Y_ {1} ^ {4} + iX ^ {2} Y_ {2} \ right) <\ deg \! \ left (2XY_ {0} ^ {3} -Y_ {1} ^ {4} \ right)}

deoarece cea mai mare putere a $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ în fiecare monomiu primul polinom este mai mic decât cel al celui de-al doilea polinom.

Ulterior, se observă că

{\begin{aligned}\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad &~P\!\left(z+1;\Gamma (z+1),{\Gamma ^{(1)}}(z+1),{\Gamma ^{(2)}}(z+1),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z+1)\right)\\=&~P\!\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]^{(1)},[z\Gamma (z)]^{(2)},\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\=&~P\!\left(z+1;z\Gamma (z),z{\Gamma ^{(1)}}(z)+\Gamma (z),z{\Gamma ^{(2)}}(z)+2{\Gamma ^{(1)}}(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad & ~ P \! \ left (z + 1; \ Gamma ( z + 1), {\ Gamma ^ {(1)}} (z + 1), {\ Gamma ^ {(2)}} (z + 1), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z + 1) \ right) \\ = & ~ P \! \ left (z + 1; z \ Gamma (z), [z \ Gamma (z)] ^ {(1)}, [z \ Gamma ( z)] ^ {(2)}, \ ldots, [z \ Gamma (z)] ^ {(n)} \ right) \\ = & ~ P \! \ left (z + 1; z \ Gamma (z ), z {\ Gamma ^ {(1)}} (z) + \ Gamma (z), z {\ Gamma ^ {(2)}} (z) +2 {\ Gamma ^ {(1)}} ( z), \ ldots, z {\ Gamma ^ {(n)}} (z) + n {\ Gamma ^ {(n-1)}} (z) \ right). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad & ~ P \! \ left (z + 1; \ Gamma ( z + 1), {\ Gamma ^ {(1)}} (z + 1), {\ Gamma ^ {(2)}} (z + 1), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z + 1) \ right) \\ = & ~ P \! \ left (z + 1; z \ Gamma (z), [z \ Gamma (z)] ^ {(1)}, [z \ Gamma ( z)] ^ {(2)}, \ ldots, [z \ Gamma (z)] ^ {(n)} \ right) \\ = & ~ P \! \ left (z + 1; z \ Gamma (z ), z {\ Gamma ^ {(1)}} (z) + \ Gamma (z), z {\ Gamma ^ {(2)}} (z) +2 {\ Gamma ^ {(1)}} ( z), \ ldots, z {\ Gamma ^ {(n)}} (z) + n {\ Gamma ^ {(n-1)}} (z) \ right). \ end {align}}}

Dacă este definit un al doilea polinom $Q\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ ${\ displaystyle Q \ in \ mathbb {C} [X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}$ prin transformare

Q~{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}),

{\ displaystyle Q ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1} , \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}),}

{\ displaystyle Q ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1} , \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}),}

atunci obținem următoarea ecuație diferențială algebrică pentru $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ :

\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad Q\!\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)\equiv 0.

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad Q \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) \ equiv 0.}

{\ displaystyle \ forall z \ in \ mathbb {C} \ setminus \ mathbb {Z} _ {\ leq 0}: \ qquad Q \! \ left (z; \ Gamma (z), \ Gamma '(z), \ ldots, {\ Gamma ^ {(n)}} (z) \ right) \ equiv 0.}

Mai mult, dacă $X^{h}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}$ ${\ displaystyle X ^ {h} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}}$ ${\ displaystyle X ^ {h} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}}$ este monomiul cu cel mai înalt grad în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , apoi cel mai înalt monomial din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}$ ${\ displaystyle X ^ {h + h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}}$ ${\ displaystyle X ^ {h + h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} Y_ {0} ^ {h_ {0}} Y_ {1} ^ {h_ {1}} \ cdots Y_ {n} ^ {h_ {n}}}$ . În consecință, polinomul

Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}P

{\ displaystyle QX ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} P}

{\ displaystyle Q-X ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}} P}

are un grad total mai mic de $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și din moment ce dă naștere unei ecuații algebrice pentru $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , trebuie să fie polinomul nul prin ipoteza minimalității lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Prin urmare, definitorie $R\in \mathbb {C} [X]$ ${\ displaystyle R \ in \ mathbb {C} [X]}$ ${\ displaystyle R \ in \ mathbb {C} [X]}$ ca $R~{\stackrel {\text{df}}{=}}~X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}$ ${\ displaystyle R ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ X ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}}}$ ${\ displaystyle R ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ X ^ {h_ {0} + h_ {1} + \ cdots + h_ {n}}}$ , primesti

Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).

{\ displaystyle Q = P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1} ) = R (X) \ cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}).}

{\ displaystyle Q = P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1} ) = R (X) \ cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}).}

Acum, înlocuind $X=0$ ${\ displaystyle X = 0}$ ${\ displaystyle X = 0}$ în $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ da ai

Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.

{\ displaystyle Q (0; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) = P (1; 0, Y_ {0}, 2Y_ {1}, \ ldots, nY_ {n-1 }) = R (0) \ cdot P (0; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1} , \ ldots, Y_ {n}]}.}

{\ displaystyle Q (0; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) = P (1; 0, Y_ {0}, 2Y_ {1}, \ ldots, nY_ {n-1 }) = R (0) \ cdot P (0; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1} , \ ldots, Y_ {n}]}.}

O schimbare de variabile în acest caz produce $P(1;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}$ ${\ displaystyle P (1; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}}$ ${\ displaystyle P (1; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}}$ , și o aplicație a inducției matematice (împreună cu modificări variabile la fiecare pas inductiv) la expresia precedentă

P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})

{\ displaystyle P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}) = R (X) \ cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n})}

{\ displaystyle P (X + 1; XY_ {0}, XY_ {1} + Y_ {0}, XY_ {2} + 2Y_ {1}, \ ldots, XY_ {n} + nY_ {n-1}) = R (X) \ cdot P (X; Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n})}

dezvăluie că

\forall m\in \mathbb {N} :\qquad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.

{\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N}: \ qquad P (m; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [ Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}.}

{\ displaystyle \ forall m \ in \ mathbb {N}: \ qquad P (m; 0, Y_ {1}, Y_ {2}, \ ldots, Y_ {n}) = 0 _ {\ mathbb {C} [ Y_ {0}, Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}]}.}

Acest lucru este posibil dacă și numai dacă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este divizibil cu $Y_{0}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ ${\ displaystyle Y_ {0}}$ , care contrazice minimalitatea $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Prin urmare, nu există așa ceva $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ , și apoi $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ nu este diferențial algebric. ^[2] ^[3] QED

Notă

^ Bank, Steven B. și Kaufman, Robert. „O notă asupra teoremei lui Hölder referitoare la funcția gamma ”, Mathematische Annalen , vol. 232, 1978.
^ ^a ^b Rubel, Lee A. „Un sondaj al funcțiilor transcendentale transcendentale”, The American Mathematical Monthly 96 : pp. 777-788 (noiembrie 1989).
^ Boros, George & Moll, Victor. Integrale irezistibile , Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 decembrie 2011. DOI : 10.1017 / CBO9780511617041.003

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Bank, Steven B. și Kaufman, Robert. „O notă asupra teoremei lui Hölder referitoare la funcția gamma ”, Mathematische Annalen , vol. 232, 1978.

[Rubel-2] Rubel, Lee A. „Un sondaj al funcțiilor transcendentale transcendentale”, The American Mathematical Monthly 96 : pp. 777-788 (noiembrie 1989).

[3] Boros, George & Moll, Victor. Integrale irezistibile , Cambridge University Press, 2004, Cambridge Books Online, 30 decembrie 2011. DOI : 10.1017 / CBO9780511617041.003

[1]

[2]

[3]