Functie rationala

În matematică , o funcție rațională este o funcție care poate fi exprimată ca un raport între polinoame , similar cu un număr rațional care este un număr care poate fi exprimat ca un raport între numere întregi .

Definiție

Funcția rațională y = (x²-3x-2) / (x²-4)

O funcție rațională într-o variabilă este o funcție ca:

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}

unde este $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ Și $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ sunt două polinoame . De exemplu:

f(x)={\frac {1+x-x^{2}}{1-x^{3}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 + xx ^ {2}} {1-x ^ {3}}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1 + x-x ^ {2}} {1-x ^ {3}}}}

este o funcție rațională cu o singură variabilă.

O funcție este numită un număr întreg rațional atunci când un polinom apare pe al doilea membru. Pentru a obține valoarea variabilei dependente $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , se efectuează tranzacții constând din sume, diferențe și produse. La $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de aceea orice valoare poate fi atribuită.

O funcție se numește divizată rațional atunci când al doilea membru arată o fracție al cărei numărător și numitor sunt polinoame. În acest caz, pentru a obține valoarea variabilei dependente $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , pe lângă operațiunile constând din sume, diferențe și produse, trebuie efectuată operațiunea de divizare. La $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de aceea orice valoare care nu anulează numitorul poate fi atribuită.

O funcție rațională poate fi reală sau complexă, în funcție de dacă coeficienții polinoamelor sunt numere reale sau complexe . Mai general, coeficienții trebuie să fie elemente ale unui câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (care poate fi precis $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ sau $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ ).

Domeniul (într-adevăr, mai precis, setul definitoriu ) al funcției este setul tuturor valorilor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care nu sunt rădăcini ale $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Asta e tot $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât numitorul $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ este diferit de zero. De fapt, numai pentru aceste valori are sens să împărțiți $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ pentru $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ .

De exemplu, funcția rațională descrisă mai sus, atunci când este considerată pe numere reale, este definită pe orice $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ minus punctul $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ ${\ displaystyle x = 1}$ . Când este considerat pe numere complexe, acesta este definit pe toate $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb C}$ minus cele trei rădăcini cubice ale unității

x_{1}=1\quad x_{2}=e^{2\pi i/3}\quad x_{3}=e^{4\pi i/3}

{\ displaystyle x_ {1} = 1 \ quad x_ {2} = e ^ {2 \ pi i / 3} \ quad x_ {3} = e ^ {4 \ pi i / 3}}

{\ displaystyle x_ {1} = 1 \ quad x_ {2} = e ^ {2 \ pi i / 3} \ quad x_ {3} = e ^ {4 \ pi i / 3}}

Pentru comoditate, următoarea discuție presupune că polinoamele $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ Și $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ nu au rădăcini în comun.

O funcție este irațională atunci când variabila independentă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ figura sub semnul rădăcină:

dacă indicele este egal, radicandul trebuie să fie pozitiv sau nul: domeniul este alcătuit din toate numerele reale, altele decât cele care fac radicandul negativ;
dacă indicele este impar, radicandul poate fi și negativ: domeniul este alcătuit din setul de numere reale.

Termenul "funcție rațională" este, de asemenea, utilizat pentru a descrie o relație între polinoame cu mai multe variabile, cum ar fi:

f(x,y)={\frac {1+2x+y^{2}}{y}}

{\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1 + 2x + y ^ {2}} {y}}}

{\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {1 + 2x + y ^ {2}} {y}}}

Ca mai sus, funcția este definită în toate punctele $K^{n}$ ${\ displaystyle K ^ {n}}$ $K ^ {n}$ (unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este numărul de variabile) pentru care numitorul nu este zero. Cu toate acestea, acest set nu este în general un număr finit de puncte: este un soi afin mai general.

Asimptote

Funcția rațională

y=(x^{3}-2x)/(2(x^{2}-5))

{\ displaystyle y = (x ^ {3} -2x) / (2 (x ^ {2} -5))}

{\ displaystyle y = (x ^ {3} -2x) / (2 (x ^ {2} -5))}

are două asimptote verticale și una oblică.

Dacă se are în vedere numerele reale, o funcție rațională poate avea asimptote , care pot fi ușor identificate în felul următor.

Asimptote verticale : acestea sunt liniile $x=c_{i}$ ${\ displaystyle x = c_ {i}}$ ${\ displaystyle x = c_ {i}}$ , unde este $c_{1},\ldots ,c_{k}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ ${\ displaystyle c_ {1}, \ ldots, c_ {k}}$ sunt rădăcinile polinomului $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ cu numitor.

Asimptotele orizontale : sunt prezente dacă și numai dacă gradul de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ este mai mare sau egal cu gradul de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ . Dacă au același grad, asimptota orizontală este linia $y=k$ ${\ displaystyle y = k}$ $y = k$ , unde este $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este egal cu raportul coeficientului termenului maxim de grad de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ și coeficientul termenului de grad maxim de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ , altfel asimptota este linia $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ . Aceasta este de fapt limita funcției for $x\to \infty$ ${\ displaystyle x \ to \ infty}$ $x \ to \ infty$ . Când gradul de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ $P (x)$ este mai mare decât gradul de $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ $Q (x)$ limita este infinită.

Asimptote oblice : sunt prezente dacă și numai dacă gradul de $P(x)$ ${\ displaystyle P (x)}$ ${\ displaystyle P (x)}$ este egală cu cea a $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ plus unu. Coeficientul unghiular al asimptotei este egal cu raportul dintre coeficienții termenilor de grad maxim al celor două polinoame.

Poli

Atunci când este considerată pe numere complexe, o funcție rațională are un pol pe fiecare rădăcină a lui $Q(x)$ ${\ displaystyle Q (x)}$ ${\ displaystyle Q (x)}$ , de ordin egal cu ordinea rădăcinii. O funcție rațională este deci o funcție meromorfă particulară $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$ ${\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {C}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ ${\ displaystyle f: {\ widehat {\ mathbb {C}}} \ to {\ widehat {\ mathbb {C}}}}$ definit pe sfera Riemann ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {C}}} = \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ . Printre acestea, transformările Möbius :

f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {az + b} {cz + d}}}

joacă un rol important în analiza complexă și în geometria proiectivă . Ele sunt singurele funcții meromorfe care induc o corespondență unu-la-unu pe sfera Riemann.

Descompunerea în fracții simple

Același subiect în detaliu: Descompunerea în fracții simple .

Descompunerea în fracții simple a unei funcții raționale este scrierea fracției printr-un polinom (care poate fi zero) adăugat la una sau mai multe fracții cu un numitor mai simplu. Această metodă oferă un algoritm care permite evaluarea primitivelor unei funcții raționale.

Pentru a ilustra ideea procedurii, este dată o funcție rațională $R(x)=f(x)/g(x)$ ${\ displaystyle R (x) = f (x) / g (x)}$ $R (x) = f (x) / g (x)$ , in care $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt polinoame și ia în considerare factorizarea $g(x)=g_{1}(x)\cdot g_{2}(x)\cdot \dots$ ${\ displaystyle g (x) = g_ {1} (x) \ cdot g_ {2} (x) \ cdot \ dots}$ $g (x) = g_ {1} (x) \ cdot g_ {2} (x) \ cdot \ dots$ a numitorului. Pentru fiecare factor care are forma $(ax+b)^{n}$ ${\ displaystyle (ax + b) ^ {n}}$ $(ax + b) ^ {n}$ fracțiunile sunt considerate $A_{1}/(ax+b)^{1},A_{2}/(ax+b)^{2},\dots ,A_{n}/(ax+b)^{n}$ ${\ displaystyle A_ {1} / (ax + b) ^ {1}, A_ {2} / (ax + b) ^ {2}, \ dots, A_ {n} / (ax + b) ^ {n} }$ $A_ {1} / (ax + b) ^ {1}, A_ {2} / (ax + b) ^ {2}, \ dots, A_ {n} / (ax + b) ^ {n}$ , în timp ce pentru fiecare factor care are forma $(ax^{2}+bx+c)^{n}$ ${\ displaystyle (ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}}$ $(ax ^ {2} + bx + c) ^ {n}$ fracțiile sunt considerate:

{\frac {A_{1}x+B_{1}}{(ax^{2}+bx+c)^{1}}},{\frac {A_{2}x+B_{2}}{(ax^{2}+bx+c)^{2}}},\dots ,{\frac {A_{n}x+B_{n}}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {A_ {1} x + B_ {1}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {1}}}, {\ frac {A_ {2} x + B_ {2 }} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {2}}}, \ dots, {\ frac {A_ {n} x + B_ {n}} {(ax ^ {2} + bx + c ) ^ {n}}}}

{\ frac {A_ {1} x + B_ {1}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ {1}}}, {\ frac {A_ {2} x + B_ {2}} { (ax ^ {2} + bx + c) ^ {2}}}, \ dots, {\ frac {A_ {n} x + B_ {n}} {(ax ^ {2} + bx + c) ^ { n}}}

Obținem astfel scrierea: ^[1]

R(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A_{1}}{ax+b}}+\dots +{\frac {A_{2}x+B_{2}}{ax^{2}+bx+c}}+\dots

{\ displaystyle R (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {ax + b}} + \ dots + {\ frac {A_ { 2} x + B_ {2}} {ax ^ {2} + bx + c}} + \ dots}

R (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}} = {\ frac {A_ {1}} {ax + b}} + \ dots + {\ frac {A_ {2} x + B_ {2}} {ax ^ {2} + bx + c}} + \ dots

și calcularea coeficienților $A_{i}$ ${\ displaystyle A_ {i}}$ $Către}$ Și $B_{i}$ ${\ displaystyle B_ {i}}$ $Bi}$ există o descompunere care permite, analizând fiecare termen, să integreze fracția inițială. Prin urmare, conduce $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ la o expresie ca:

\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}

{\ displaystyle \ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}}

\ sum _ {j} {\ frac {f_ {j} (x)} {g_ {j} (x)}}

unde este $f_{j}(x)$ ${\ displaystyle f_ {j} (x)}$ $f_ {j} (x)$ Și $g_{j}(x)$ ${\ displaystyle g_ {j} (x)}$ $g_ {j} (x)$ sunt polinoame de grad mai mic decât $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ .

Dacă aplicăm descompunerea cât mai mult posibil, obținem că numitorul fiecărui termen este o putere a unui polinom ne-factorizabil și numărătorul este un polinom de un grad mai mic decât cel al polinomului ne-factorizabil.

Notă

^ (EN) Eric W. Weisstein, Descompunerea fracției parțiale , în MathWorld , Wolfram Research.

Bibliografie

( EN ) II Priwalow, Einführung in die Funktionentheorie , 1–3, Teubner (1958–1959)
( EN ) AG Kurosh, Algebra superioară , MIR (1972) (Traducere din rusă)
(EN) JB Conway, Funcțiile unei variabile complexe, Springer (1973)
(EN) S. Lang, Algebra, Addison-Wesley (1984)

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere cu funcții raționale

linkuri externe

( EN ) Funcția rațională , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 33482

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Eric W. Weisstein, Descompunerea fracției parțiale , în MathWorld , Wolfram Research.

[1]